Chapitre 2
Cours
Addition et soustraction de nombres rationnels
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1Nombre rationnel et propriétés
ANombre rationnel
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Définition
Tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction est appelé un nombre rationnel.
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Il existe des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Par exemple, il est impossible d'écrire le nombre \pi sous la forme d'une fraction. On dit que \pi est un nombre irrationnel.
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Exemple
\frac{-4}{9} est un nombre rationnel.
\text{3,8} est aussi un nombre rationnel car 3,8=\frac{38}{10}.
\text{3,8} est aussi un nombre rationnel car 3,8=\frac{38}{10}.
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BÉgalité de fractions
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Propriété
La valeur d'une fraction ne change pas si on multiplie ou on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Si a, b et k sont trois nombres tels que b \neq 0 et k \neq 0, alors :
\frac{a}{b}=\frac{a \color{#2190A0} \times k}{b \color{#2190A0} \times k} et \frac{a}{b}=\frac{a \color{#2190A0} \div k}{b \color{#2190A0} \div k}.
Si a, b et k sont trois nombres tels que b \neq 0 et k \neq 0, alors :
\frac{a}{b}=\frac{a \color{#2190A0} \times k}{b \color{#2190A0} \times k} et \frac{a}{b}=\frac{a \color{#2190A0} \div k}{b \color{#2190A0} \div k}.
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Cette propriété est utilisée pour, entre autres choses :
- simplifier une fraction ;
- réduire des fractions au même dénominateur.
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Exemple
1. On a \frac{4}{3}=\frac{4 \color{#2190A0} \times 5}{3 \color{#2190A0} \times 5}=\frac{20}{15}.
2. Dans l'autre sens, on peut aussi écrire \frac{21}{49}=\frac{3 \color{#2190A0} \times 7}{7 \color{#2190A0} \times 7}=\frac{3}{7}.
3. On peut aussi utiliser les divisions et écrire \frac{48}{56}=\frac{48 \color{#2190A0} \div 8}{56 \color{#2190A0} \div 8}=\frac{6}{7}.
2. Dans l'autre sens, on peut aussi écrire \frac{21}{49}=\frac{3 \color{#2190A0} \times 7}{7 \color{#2190A0} \times 7}=\frac{3}{7}.
3. On peut aussi utiliser les divisions et écrire \frac{48}{56}=\frac{48 \color{#2190A0} \div 8}{56 \color{#2190A0} \div 8}=\frac{6}{7}.
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Propriété : égalité des produits en croix
Soit a, b, c et d quatre nombres entiers relatifs avec b \neq 0 et d \neq 0.
- Si \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, alors a \times d=b \times c.
- Réciproquement, si a \times d=b \times c, alors \frac{a}{b}=\frac{c}{d}.
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Cette égalité est également utilisée dans le chapitre 10 sur la proportionnalité.
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Exemple
Les fractions \frac{2}{5} et \frac{16}{40} ont égales car 2 \times 40=80 et 5 \times 16=80.
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