Le repaire des initiés

Le violon est un instrument à cordes frottées. À l'aide d'un archet, le musicien exerce une excitation sur une corde qui permet de la faire vibrer. En fonction de la position des doigts sur le manche, le violoniste peut modifier la note de la corde en raccourcissant sa longueur $\ell$. Les autres caractéristiques de la corde restent inchangées.
On se propose dans cet exercice de déterminer la longueur optimale $\ell$ des cordes d'un violon pour un passage le plus aisé possible entre les notes (c'est-à-dire sans avoir à déplacer la main le long du manche). La troisième corde, accordée à vide pour obtenir un la₃' doit présenter un écartement entre l'index (pour obtenir un ${\mathrm{la}}_3$) et l'auriculaire (pour obtenir un mi₄), techniquement réalisable sans avoir à bouger la main. On note ${\ell }_1$ et $f_1$ la longueur et la fréquence fondamentale de la corde associées à l'obtention du la#₃ ; ${\ell }_2$ et $f_2$ les mêmes grandeurs associées à l'obtention du mi₄. Le la₃, joué lorsque la troisième corde est jouée à vide, a une longueur $\ell$ et une fréquence $f.$