Mathématiques 4e - Cahier d'exercices - 2022

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres relatifs
Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels
Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels
Ch. 4
Puissances
Ch. 5
Calcul littéral
Ch. 6
Résolution d’équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 7
Statistiques
Ch. 8
Probabilités
Ch. 9
Notion de fonctions
Ch. 10
Proportionnalité
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Théorème de Thalès
Ch. 13
Géométrie plane
Ch. 14
Géométrie dans l'espace
Chapitre 12
Exercices d'entraînement

Propriétés des triangles rectangles

9 professeurs ont participé à cette page
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Déterminer la mesure d'un angle avec le cosinus en trigonométrie

Définition :


Dans un triangle rectangle, on définit le cosinus d'un angle aigu comme le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
Avec les notations du triangle \text{ABC} rectangle en \text{A} suivant, on a {\cos (\widehat{\mathrm{ACB}})=\frac{\text { \color{#C62A58}longueur du côté adjacent à l'angle } \color{#C62A58}\widehat{\mathrm{ACB}}}{\color{#5EA85C}\text { longueur de l'hypoténuse }}=\frac{\color{#C62A58}\mathrm{AC}}{\color{#5EA85C}\mathrm{BC}}.}

Remarque : Si on connaît le cosinus d'un angle aigu, on utilise la calculatrice en mode degré qui, à l'aide de la touche \boxed{\text{Arccos}}, notée aussi \boxed{\text{cos}^{-1}} ou encore \boxed{\text{ACS}}, permet de déterminer la mesure de l'angle.
Triangle ABC, avec AC comme côté adjacent à l'angle ACB et BC comme hypothénuse.
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25
[Com.1]

Cocher la bonne réponse.
Triangle EGF.
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1. Quelle est l'hypoténuse du triangle \text{EGF} ?


2. Quel est le côté adjacent à l'angle \widehat\text{EFG} ?


3. Quel est le côté adjacent à l'angle \widehat\text{EGF} ?
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26
[Com.1 - Ch.1]

1. Repasser en rouge l'hypoténuse du triangle rectangle \text{ABC} et en bleu le côté adjacent à l'angle \widehat\text{ACB}.

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2. Repasser en rouge l'hypoténuse du triangle \text{ACL} et en vert le côté adjacent à l'angle \widehat\text{LAC}.

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Copie d'élève
[Ch.1 - Cal.3 - Rais.5]

Le professeur de Waïl donne l'exercice suivant.
On considère le triangle \text{JKL} rectangle en \text{J} dont les mesures sont données sur la figure suivante. Calculer \cos(\widehat\text{JLK}) et \cos(\widehat\text{JKL}).

Triangle JKL rectangle en J: JK = 4cm, KL = 5cm, LJ = 3cm.
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Voici la réponse de Waïl.
On a \cos(\widehat\text{JLK}) = \frac{3}{4} et \cos(\widehat\text{JKL}) = \frac{5}{4}.

Proposer une correction de la réponse de Waïl.
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[Cal.5]

À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de x au degré près.

1. Si \cos(x) = 0,5 alors x =
.

2. Si \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} alors x =
.

3. Si \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} alors x =
.

4. Si \cos(x) = 0,43 alors x \approx
.

5. Si \cos(x) = 0,2 alors x \approx
.

6. Si \cos(x) = 1,2 alors
.
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29
[Ch.1 - Mod.4]

À partir de la figure suivante, associer les expressions égales entre elles.
Triangle DAB rectangle contenant le triangle rectangle ADE et DBE.
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\cos (\widehat{\mathrm{DAB}})


\cos (\widehat{\mathrm{DBA}})


\cos (\widehat{\mathrm{ADE}})


\cos (\widehat{\mathrm{EDB}})
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30
[Ch.2 - Cal.5]

Soit \text{GEF} un triangle rectangle en \text{E}. Compléter le raisonnement suivant afin de déterminer un arrondi au degré près de l'angle \widehat\text{EGF}.

Triangle GEF, avec GF = 37 cm, EF = 35 cm et GE = 12 cm.
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Dans le triangle
rectangle en
,

{\cos(\widehat\text{EGF}) = \frac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots} = \frac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}.}


D'où \widehat\text{EGF} \approx
.
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31
[Ch.2 - Cal.5]

Dans le triangle \text{BAG} rectangle en \text{A}, on a \text{BG = 8,9~cm,} \text{BA = 8~cm} et \text{AG = 3,9~cm.}

Triangle BAG.
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1. Déterminer une mesure arrondie au centième de degré près de l'angle \widehat\text{AGB}.
2. En déduire une mesure arrondie au centième de degré près de l'angle \widehat\text{ABG}.
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32
Copie d'élève
[Rais.5]

Le professeur d'Anaïs donne le problème suivant.
Déterminer la mesure, au degré près, de l'angle \widehat\text{ABC} du triangle suivant.

Triangle ABC, avec AB = 7 et BC = 5.
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Voici la réponse d'Anaïs.
\cos (\widehat{\text{ABC}})=\frac{\text{BC}}{\text{BA}}=\frac{5}{7} donc \widehat{\text{ABC}} \approx 44^{\circ}.

Quelle est son erreur ?
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33
[Ch.1 - Ch.2 - Rais.3]

La tour de Pise est haute de 55,86 mètres et son sommet s'écarte de la verticale de 3,9 mètres. Faire un schéma et trouver au dixième de degré près l'inclinaison de la tour de Pise par rapport à la verticale.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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Calcul mental

1. 180-40-72=
2. 90-54,7=
3. 80 \div 100=
4. 12 \div 24=
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Le coin des experts

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34

À l'aide d'un carré de côté \text{1,} déterminer la valeur exacte de \cos(45).
Carré de côté 1.
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