Suites géométriques à termes strictement positifs, décroissance exponentielle

Soit $n$ un entier naturel, $a$ et $k$ deux nombres réels strictement positifs. On appelle suite géométrique de raison a la suite de nombres définis pour tout $n$ par $u_n=k\cdot a^n$.
Pour $n=0$, on a $u_0=k$, appelé terme initial de la suite.

Dans une culture en laboratoire, une population de bactéries augmente de 4 % par heure. Au départ, il y a $u_0=5000$ bactéries. On désigne par $n$ le nombre d'heures passées depuis le début de la mise en culture et par $u_n$ le nombre de bactéries observées au bout de $n$ heures.
Alors $u_n$ est une suite géométrique de raison $a=1,04$ (augmentation de 4 %) et son expression en fonction de $n$ est $u_n=u_0\cdot a^n=5000\times 1,04^n$.

• Si $a\in ]0$; 1[, alors la suite $u_n$ est décroissante et tend vers 0.
• Si $a>1$, alors la suite $u_n$ est croissante et tend vers $+\infty$. On dit que la suite $u_n$ suit une croissance exponentielle.
• Si $a=1$, alors la suite est constante et égale à son terme initial $u_0$.

Après ingestion de 500 mg de paracétamol, celui-ci est décomposé dans l'organisme au cours du temps :

Dans un étang, au printemps, la population de larves d'insectes double tous les 5 jours pendant deux mois. Au début de la période, on dénombre 1 000 larves.

a. Estimez le nombre de larves au bout du premier mois (30 jours).

b. À quel moment pourra-t-on affirmer qu'il y a plus de 100 000 larves dans l'étang ?

La demi-vie d'un noyau radioactif d'iode 131 est estimée à 8,02 jours. C'est-à-dire qu'au bout de 8,02 jours, la moitié des noyaux d'iode 131 se sont désintégrés en noyau de xénon.

Déterminez la durée nécessaire pour qu'un échantillon pur de 1 000 000 de noyaux d'iode 131 n'en possède plus que 10 000. On pourra modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique.