Exercices d'auto-évaluation

12

Soit $n$ un entier naturel tel que $\mathrm{PGCD}(n;75)=25$ et $\mathrm{PGCD}(n;20)=5$.
$n$ peut être égal à :

a. $100$

b. $35$

c. $25$

d. $70$

13

Pour tous entiers naturels $a$ et $b$ non nuls et divisibles par $68$ :

a. $\mathrm{PGCD}(a;b)|68.$

b. $\mathrm{PGCD}(a;b)$ est un multiple de $68$.

c. il existe $(x;y)\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que $ax+by=68$.

d. il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ premiers entre eux tels que $ax+by=1$.

14

Soit $a\in \mathbb{N}$. Quelle est la relation entre les propositions $\mathrm{A}$ : $«12a\equiv 0[3]»$ et $\mathrm{B}$ : $«a\equiv 0[3]»$ ?

a. $\mathrm{A}\iff \mathrm{B}$

b. $\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{A}$

c. $\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$

d. Aucune.

15

Soit $(a;b)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $11a=56b.$
On peut alors affirmer que :

a. $\mathrm{PGCD}(a;b)=1.$

b. $a$ divise $b$.

c. $11$ divise $b$.

d. $b$ divise $11$.

16

Parmi ces équations, quelles sont celles qui admettent des solutions dans ${\mathbb{Z}}^2$ ?

a. $51x+39y=0$

b. $51x+39y=1$

c. $51x+39y=3$

d. $51x+39y=2019$

17

Soient $a$, $x$ et $n$ trois entiers. La congruence $ax\equiv 1[n]$ signifie que :

a. il existe $b\in \mathbb{Z}$ tel que $ax-bn=1$.

b. $ax=n+1$.

c. $a$ et $n$ sont premiers entre eux.

d. $n$ divise $ax-1$.

18

Le $\text{PGCD}$ de $3n-1$ et $5n$ est égal à :

a. $1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

b. $5$ si, et seulement si, $5$ divise $3n-1$.

c. $5$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

d. $5$ si, et seulement si, $5$ divise $n-2$.

19

Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $2$, $6$ et $15$ divisent $n$ ?

a. $10$ divise $n$.

b. $12$ divise $n$.

c. $30$ divise $n$.

d. $60$ divise $n$.

A

Quel est l'ensemble des entiers naturels $n$ inférieurs à $200$ tels que $\text{PGCD}\left(512;n\right)=16$ ?

a. $\left\{1;3;5;7;9;11\right\}$

b. $\left\{16;48;80;112;144;176\right\}$

c. $\left\{16;48;64;80;96;112;128;144;160;176;192\right\}$

d. $\left\{32;64;96;128;160;192\right\}$

B

Soit${\left(u_n\right)}_n$ la suite définie par $u_0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=4u_n+3$. Que peut-on dire du $\text{PGCD}$ de $u_n$ et $u_{n+1}$ ?

a. Il est égal à $1$.

b. Rien, il dépend de $n$.

c. Il est égal à $3$.

d. Il divise $3$.

D

Soit $n$ un entier tel que $\{\begin{array}{l}n\equiv 0\left[9\right]\\ n\equiv 0\left[12\right]\end{array}$. Parmi les congruences suivantes, lesquelles sont vraies ?

a. $n\equiv 0\left[36\right]$

b. $n\equiv 0\left[108\right]$

c. $n\equiv 0\left[27\right]$

d. $n\equiv 0\left[4\right]$

E

Quelle est l'erreur dans cet énoncé du corollaire du théorème de Gauss : « Si $b$ et $c$ sont premiers entre eux et si $b$ divise $a$ alors $bc$ divise $a$. » ?

a. $b$ et $c$ doivent être premiers avec $a$ et non premiers entre eux.

b. Il faut aussi que $c$ divise $a$.

c. La conclusion est que $a$ divise $bc$.

d. Il n'est pas nécessaire que $b$ et $c$ soient premiers entre eux.

F

Quel est l'ensemble des solutions entières $n$ du système $\{\begin{array}{l}n\equiv 5\left[18\right]\\ n\equiv 8\left[15\right]\end{array}$ ?

a. L'ensemble vide $\varnothing$.

b. $\left\{30k-7;k\in \mathbb{Z}\right\}$

c. $\left\{90k+23;k\in \mathbb{Z}\right\}$

d. $\left\{90k+40;k\in \mathbb{Z}\right\}$

G

En divisant $128$ et $397$ par un même entier naturel non nul, on obtient respectivement $2$ et $1$ comme restes. Quelles sont les valeurs possibles de cet entier ?

a. $2$

b. $6$

c. $18$

d. $36$

H

Quelles relations sont vraies pour tous les entiers $a$, $b$, $c$ et $d$ ?

a. $\text{PGCD}(a;b)⩽\text{PGCD}(a^2;b)$

b. $\text{PGCD}(a;b)⩽\text{PGCD}(ad-bc;b)$

c. $\text{PGCD}(a;b)=\text{PGCD}(a^2;b)$

d. $\text{PGCD}(a;b)=\text{PGCD}(ad-bc;b)$