1

D'après l'algorithme d'Euclide, le \mathbf{PGCD} des entiers naturels \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} est égal au dernier reste non nul lorsqu'on effectue les divisions euclidiennes successives. Cela permet de :

✔ déterminer le \text{PGCD} de deux entiers ;
✔ montrer que deux entiers sont premiers entre eux en vérifiant que leur \text{PGCD} vaut 1.

2

D'après l'identité de Bézout, pour tout couple \boldsymbol{(a\:; b) \in (\mathbb{Z})^{2}}, il existe \boldsymbol{(u\:; v) \in \mathbb{Z}^{2}} tel que \boldsymbol{au+bv=\mathbf{PGCD} (a\:; b)}. Cela permet de :

✔ montrer que deux entiers sont premiers entre eux ;
✔ déterminer si un entier est inversible modulo un entier naturel non nul ;
✔ démontrer le théorème de Gauss ;
✔ déterminer si une équation diophantienne de la forme a x+b y=c admet une solution.

3

D'après le théorème de Gauss, pour tous entiers relatifs non nuls \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} et \boldsymbol{c}, si \boldsymbol{a} divise \boldsymbol{bc} et si \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} sont premiers entre eux, alors \boldsymbol{a} divise \boldsymbol{c}. Cela permet de :

✔ résoudre une équation diophantienne de la forme a x=b y ;
✔ résoudre une congruence de la forme a x \equiv 0\:[n] lorsque a et n sont deux entiers naturels premiers entre eux.

4

D'après le corollaire du théorème de Gauss, pour tous entiers relatifs non nuls \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} et \boldsymbol{c}, si \boldsymbol{b} et \boldsymbol{c} sont premiers entre eux et divisent \boldsymbol{a}, alors \boldsymbol{bc} divise \boldsymbol{a}. Cela permet d' :

✔ établir la divisibilité d'un nombre par le produit de deux entiers premiers entre eux.