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p. 1-11

Nombres complexes

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 4

Cours 3

Théorème de Gauss et applications

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A
Théorème de Gauss

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Théorème

Soient

a

b

c

trois entiers relatifs non nuls.
Si

a ∣ b c

et si

a

b

sont premiers entre eux, alors

a ∣ c

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Remarque

La condition

a

b

premiers entre eux est essentielle. Par exemple,

4

divise le produit

2 \times 6 = 12

mais

4

ne divise ni

2

6

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Démonstration

Supposons que

a

divise

b c

et que

a

b

sont premiers entre eux.
Alors

PGCD (a; b) = 1

donc d'après le théorème de Bézout, il existe

(u; v) \in Z^{2}

tel que

a u + b v = 1

.
On a donc

a u c + b v c = c

. Or

a ∣ b c

par hypothèse et

a ∣ a u c

donc

a ∣ (a u c + b v c)

.
Ainsi,

a ∣ c

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Exemple

Soit

n

un diviseur impair de

210 = 105 \times 2

. Comme

n

est premier avec

2

(car

n

est impair), le théorème de Gauss permet d'affirmer que

n

divise

105

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Application et méthode - 7

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Énoncé

1. Déterminer le

PGCD

65

91

.
2. Résoudre dans

Z^{2}

l'équation

65 X = 91 Y

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Méthode

1. On applique l'algorithme d'Euclide : le dernier reste non nul est le

PGCD

cherché.

2. On simplifie l'équation par le

PGCD

pour obtenir deux nombres premiers entre eux et on utilise alors le théorème de Gauss pour obtenir une expression de

X

Y

.
On vérifie que le couple obtenu est bien solution de l'équation.

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Solution

1. On applique l'algorithme d'Euclide :

91 = 65 \times 1 + 26

;

65 = 26 \times 2 + 13

26 = 13 \times 2 + 0

donc

PGCD (91; 65) = 13

.

2. En divisant par

13

on obtient

65 X = 91 Y \Leftrightarrow 5 X = 7 Y

.
Or

5 X = 7 Y \Rightarrow 7∣5 X

, et

5

7

sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss,

7∣5 X \Rightarrow 7∣ X

.
Ainsi, si

(X; Y)

est solution de

(E_{0})

, alors il existe

k \in Z

tel que

X = 7 k

. Donc, si

5 X = 7 Y

, on a

5 \times 7 k = 7 \times Y

, d'où

Y = 5 k

.
Réciproquement, on vérifie que, pour tout

k \in Z

(7 k; 5 k)

est un couple solution :

65 \times 7 k = 455 k

91 \times 5 k = 455 k

.
Donc, pour tout entier

k

(7 k; 5 k)

est un couple solution.
Finalement, l'ensemble des solutions de

(E_{0})

est

{(7 k; 5 k), k \in Z}

Pour s'entraîner

Exercices

p. 133.

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B
Corollaire du théorème de Gauss

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Corollaire

Soient

a

b

c

trois entiers relatifs non nuls.
Si

b

c

sont premiers entre eux et divisent tous les deux

a

, alors

b c

divise

a

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Remarque

Comme pour le théorème de Gauss, la condition

b

c

sont premiers entre eux est primordiale. Par exemple,

15

divise

45

9

divise

45

, mais

9 \times 15 = 135

ne divise pas

45

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Démonstration

Soient

b

c

deux diviseurs de

a

premiers entre eux et

b^{'}

c^{'}

les entiers tels que

b b^{'} = a

c c^{'} = a

.
Alors

b b^{'} = c c^{'}

, donc

b ∣ c c^{'}

.
Comme

b

c

sont premiers entre eux, alors, d'après le théorème de Gauss,

b

divise

c^{'}

.
Soit alors

m

l'entier tel que

c^{'} = bm

. On a donc

a = c c^{'} = c bm

. D'où

b c

divise

a

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Exemple

Soit

n \in N

n (n^{2} - 1) = n (n - 1) (n + 1) = (n - 1) n (n + 1)

est le produit de

3

entiers consécutifs, donc

n (n^{2} - 1)

est divisible par

2

et par

3

.
Comme

2

3

sont premiers entre eux, alors le corollaire de Gauss énoncé ci-dessus affirme que

n (n^{2} - 1)

est divisible par

6

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Application et méthode - 8

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Énoncé

Montrer que, pour tout entier naturel

n

5 n^{2} (n^{2} + 11)

est un multiple de

30

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Méthode

Il faut montrer que, pour tout entier naturel

n

5 n^{2} (n^{2} + 11)

est un multiple de

6

et de

5

. On utilise une table de congruence modulo

6

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Solution

Pour tout

n \in N

5 n^{2} (n^{2} + 11)

est un multiple de

5

. Écrivons la table de congruence par

6

Reste de $n$ (mod $6$ )	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Reste de $n^{2}$ (mod $6$ )	$0$	$1$	$4$	$3$	$4$	$1$
Reste de $n^{2} + 11$ (mod $6$ )	$5$	$0$	$3$	$2$	$3$	$0$
Reste de $5 n^{2} (n^{2} + 11)$ (mod $6$ )	$0$	$0$	$60 \equiv 0$	$30 \equiv 0$	$60 \equiv 0$	$0$

Finalement, pour tout entier naturel

n

5 n^{2} (n^{2} + 11)

est un multiple de

6

.
Or, c'est aussi un multiple de

5

.
Comme

5

6

sont premiers entre eux, le corollaire du théorème de Gauss ci-dessus donne que

5 n^{2} (n^{2} + 11)

un multiple de

30

Pour s'entraîner

Exercices

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Théorème de Gauss et applications

AThéorème de Gauss

Remarque

Méthode

BCorollaire du théorème de Gauss

Remarque

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Nombres complexes, point de vue algébrique

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Divisibilité dans Z

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Nombres premiers

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

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Suites et matrices

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Théorème de Gauss

B
Corollaire du théorème de Gauss