Exercices 1 à 11
Exercices transversaux
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Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.
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1
Chapitres • 0. Nombres et calculs • 3. Fonctions affines
Soit \lambda un nombre réel. On considère la fonction f définie pour tout x réel par f(x) = (3 - \lambda)x + 2\lambda. 1. Expliquer pourquoi f est une fonction affine.
2. Déterminer le sens de variation de f sur \R lorsque : \lambda = 1 \:; \lambda = 7 \:; \lambda = -1\:; \lambda = 3 \:; \lambda = 0 .
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2
Chapitres • 0. Nombres et calculs • 11. Probabilités et échantillonnage
On lance un dé à 6 faces et on s'intéresse au nombre indiqué par le dé.
La loi de probabilité de cette expérience aléatoire est donnée par le tableau suivant.
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Probabilité | k | 0{,}2 | 0{,}2 | 0{,}2 | k^2 | k-0{,}16 |
2. Pour quelle valeur de k a-t-on la même probabilité d'obtenir un nombre pair que d'obtenir un nombre impair ? Cela est-il possible ?
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3
Chapitres • 1. Généralités sur les fonctions • 2. Variations de fonctions • 3. Fonctions affines
Une voiture \text{V} entre dans le parking d'une résidence au
niveau du point \text{E} pour se garer dans l'emplacement
\text{E}_2 d'un garage (voir schéma).
Les 3 emplacements \text{E}_1, \text{E}_2 et \text{E}_3 mesurent 4 mètres chacun.
\text{E} est l'entrée du parking et on note x = \text{EV.}
\text{L}(x) est la longueur du fond du garage éclairé par les phares.
Les 3 emplacements \text{E}_1, \text{E}_2 et \text{E}_3 mesurent 4 mètres chacun.
\text{E} est l'entrée du parking et on note x = \text{EV.}
\text{L}(x) est la longueur du fond du garage éclairé par les phares.
1. À quel intervalle appartient x \:?
2. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de \text{L.}
a. Préciser \text{L}(0) et \text{L}(20). Interpréter.
b. Est-il possible que les 3 emplacements soient éclairés ? Justifier.
2. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de \text{L.}
a. Préciser \text{L}(0) et \text{L}(20). Interpréter.
b. Est-il possible que les 3 emplacements soient éclairés ? Justifier.
c. Préciser les valeurs de x pour lesquelles
l'emplacement \text{E}_2 est :
d. L'automobiliste, prudent, va rouler très doucement lorsque \text{E}_2 est éclairé sur moins de la moitié de sa longueur : préciser l'intervalle de x correspondant.
3. On admet que \text{L} ( x ) = \dfrac { 40 - 2 x } { 15 - x } sur [0\: ; 14] et que \text{L} est affine sur [14\: ; 20].
a. Justifier, en s'aidant du graphique, que \text{L}(x) = 40 - 2x sur [14\: ; 20].
b. Retrouver les résultats du 2. par le calcul.
- éclairé sur sa longueur exactement ;
- éclairé sur plus de sa longueur.
d. L'automobiliste, prudent, va rouler très doucement lorsque \text{E}_2 est éclairé sur moins de la moitié de sa longueur : préciser l'intervalle de x correspondant.
3. On admet que \text{L} ( x ) = \dfrac { 40 - 2 x } { 15 - x } sur [0\: ; 14] et que \text{L} est affine sur [14\: ; 20].
a. Justifier, en s'aidant du graphique, que \text{L}(x) = 40 - 2x sur [14\: ; 20].
b. Retrouver les résultats du 2. par le calcul.
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4
Chapitres • 1. Généralités sur les fonctions • 2. Variations de fonctions • 11. Probabilités et échantillonnage
Un jeu consiste à lancer un, deux, trois ou quatre dés équilibrés (à 6 faces), au choix, et à parier sur la somme x des faces obtenues.
1. Préciser les sommes possibles pour un, deux, trois et quatre dés. Par exemple, en lançant deux dés, les sommes possibles sont 2\: ; 3\: ; 4\: ; …\: ; 11 et 12.
2. On a tracé pour un, deux, trois et quatre dés, la probabilité associée aux différentes sommes possibles puis on a relié ces points à l'aide de courbes, ce qui permet ainsi de définir quatre fonctions f_1, f_2, f_3 et f_4.
a. Associer les courbes aux fonctions.
f_1 :
f_2 :
f_3 :
f_4 :
b. Tracer le tableau de variations de la fonction f_2 en déterminant le maximum de façon exacte.
2. On a tracé pour un, deux, trois et quatre dés, la probabilité associée aux différentes sommes possibles puis on a relié ces points à l'aide de courbes, ce qui permet ainsi de définir quatre fonctions f_1, f_2, f_3 et f_4.
a. Associer les courbes aux fonctions.
f_1 :
f_2 :
f_3 :
f_4 :
b. Tracer le tableau de variations de la fonction f_2 en déterminant le maximum de façon exacte.
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3.
a. Préciser le nombre de dés le plus favorable pour
parier sur le 7 puis sur le 13.
b. Résoudre graphiquement f _ { 1 } ( x ) \geqslant 0{,}1 \: ; f _ { 2 } ( x ) \geqslant 0{,}1 \: ; f _ { 3 } ( x ) \geqslant 0{,}1 \: ; f _ { 4 } ( x ) \geqslant 0{,}1.
Interpréter les résultats.
4. Antoine veut parier sur les sommes ayant la plus grande probabilité de sortir. Préciser ces sommes pour deux, trois et quatre dés.
5. De manière générale, si on note n \geqslant 3 le nombre de dés (pouvant dépasser 4), on admet que l'on peut obtenir une somme \mathrm { S } (n) de probabilité maximale par la formule :
a. Vérifier la validité de la formule de \text{S}(n) pour n = 3 et n = 4 , puis estimer \text{P}(3) et \text{P}(4).
b. Calculer \text{S}(5), \text{P}(5), \text{S}(6) et \text{P}(6) puis interpréter.
b. Résoudre graphiquement f _ { 1 } ( x ) \geqslant 0{,}1 \: ; f _ { 2 } ( x ) \geqslant 0{,}1 \: ; f _ { 3 } ( x ) \geqslant 0{,}1 \: ; f _ { 4 } ( x ) \geqslant 0{,}1.
Interpréter les résultats.
4. Antoine veut parier sur les sommes ayant la plus grande probabilité de sortir. Préciser ces sommes pour deux, trois et quatre dés.
5. De manière générale, si on note n \geqslant 3 le nombre de dés (pouvant dépasser 4), on admet que l'on peut obtenir une somme \mathrm { S } (n) de probabilité maximale par la formule :
- \mathrm { S } ( n ) = 3{,}5 n si n est pair ;
- \mathrm { S } ( n ) = 3{,}5 n + 0{,}5 si n est impair.
a. Vérifier la validité de la formule de \text{S}(n) pour n = 3 et n = 4 , puis estimer \text{P}(3) et \text{P}(4).
b. Calculer \text{S}(5), \text{P}(5), \text{S}(6) et \text{P}(6) puis interpréter.
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5
Chapitres • 1. Généralités sur les fonctions • 4. Fonctions de référence • 5. Repérage et configuration dans le plan
On considère la courbe \mathcal { P } d'équation y = x^2 et
\text{A}(0\: ; 1). Un point \text{M}(x \:; y) varie sur \mathcal {P}\:: le but de
l'exercice est d'étudier la distance \text{AM}, notée d(x),
en fonction de x .
1. a. Déterminer les points de \mathcal { P } situés à une distance égale à 1 de \text{A.}
b. Comment trouver géométriquement ces points à l'aide d'un cercle de centre \text{A ?}
2. Trouver géométriquement le nombre de points de \mathcal { P } tels que d(x) = 1{,}25 puis tels que d(x) = 0{,}5.
3. Démontrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, d ( x ) = \sqrt { \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } + x ^ { 2 } }.
b. Comment trouver géométriquement ces points à l'aide d'un cercle de centre \text{A ?}
2. Trouver géométriquement le nombre de points de \mathcal { P } tels que d(x) = 1{,}25 puis tels que d(x) = 0{,}5.
3. Démontrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, d ( x ) = \sqrt { \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } + x ^ { 2 } }.
4. En utilisant une représentation graphique de la
fonction d :
a. Retrouver les résultats de 1. et 2. et préciser les éventuelles valeurs de x correspondantes.
b. Préciser les antécédents de 0{,}9.
c. Quelles semblent être les valeurs de x pour lesquelles le point \text{M} est le plus proche de \text{A ?} (Dans ce cas, le cercle de centre \text{A} et de rayon \text{[AM]} est dit tangent à \mathcal { P }.)
d. Préciser, en fonction de la distance k, le nombre de solutions de l'équation d(x) = k (nombre d'intersections de \mathcal { P } avec le cercle de centre \text{A} et de rayon k).
a. Retrouver les résultats de 1. et 2. et préciser les éventuelles valeurs de x correspondantes.
b. Préciser les antécédents de 0{,}9.
c. Quelles semblent être les valeurs de x pour lesquelles le point \text{M} est le plus proche de \text{A ?} (Dans ce cas, le cercle de centre \text{A} et de rayon \text{[AM]} est dit tangent à \mathcal { P }.)
d. Préciser, en fonction de la distance k, le nombre de solutions de l'équation d(x) = k (nombre d'intersections de \mathcal { P } avec le cercle de centre \text{A} et de rayon k).
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6
Chapitres • 1. Généralités sur les fonctions • 2. Variations de fonctions
Sur internet, de nombreux sites marchands sont notés sur 5 étoiles en fonction de la proportion des avis positifs. En raison d'une mauvaise gestion de ses stocks, un site internet de vente a mal débuté ses premières ventes : il a obtenu 120 avis positifs sur 300 avis (donc 180 avis négatifs).
1. Justifier que la note correspondante est de 2 étoiles.
2. En améliorant la qualité de son service, le responsable du site souhaite passer à 3 étoiles en n'obtenant par la suite que des avis positifs.
Le responsable se dit : « Puisque 120 avis positifs m'ont permis d'obtenir 2 étoiles, il suffit d'obtenir 60 nouveaux avis positifs pour obtenir une étoile supplémentaire. »
Cette affirmation est-elle juste ?
3. On note x le nombre d'avis positifs à ajouter à la note de 2 étoiles. On note \text{E}(x) le nombre d'étoiles.
a. Justifier que, pour tout x \geqslant 0 , \mathrm { E } ( x ) = \dfrac { 600 + 5 x } { 300 + x }.
b. Calculer \text{E}(0) puis \text{E}(60) : que retrouve-t-on ?
4. On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction \text{E} sur [0\: ; + \infty[.
Trouver graphiquement les valeurs de x permettant d'obtenir 3 étoiles puis 4 étoiles. Vérifier ces valeurs par le calcul.
2. En améliorant la qualité de son service, le responsable du site souhaite passer à 3 étoiles en n'obtenant par la suite que des avis positifs.
Le responsable se dit : « Puisque 120 avis positifs m'ont permis d'obtenir 2 étoiles, il suffit d'obtenir 60 nouveaux avis positifs pour obtenir une étoile supplémentaire. »
Cette affirmation est-elle juste ?
3. On note x le nombre d'avis positifs à ajouter à la note de 2 étoiles. On note \text{E}(x) le nombre d'étoiles.
a. Justifier que, pour tout x \geqslant 0 , \mathrm { E } ( x ) = \dfrac { 600 + 5 x } { 300 + x }.
b. Calculer \text{E}(0) puis \text{E}(60) : que retrouve-t-on ?
4. On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction \text{E} sur [0\: ; + \infty[.
Trouver graphiquement les valeurs de x permettant d'obtenir 3 étoiles puis 4 étoiles. Vérifier ces valeurs par le calcul.
5. a. Le tracé de la courbe ne permet pas de trouver précisément la note 4{,}5 étoiles : on considère l'algorithme suivant où \text{N} est un entier naturel.
Recopier et compléter les lignes 2 et 3 pour savoir comment obtenir 4{,}5 étoiles.
b. Calculer \text{E}(1500) puis interpréter ce résultat.
6. Résoudre \text{E}(x) = 5 et interpréter.
\boxed{
\begin{array} { l } { \text { N } \leftarrow \text { 0 } } \\
\text { Tant que (600 + 5 * N)/(300 + N) } \lt ... \\
\quad\text { N } \leftarrow \text { ... } \\
\text { Fin Tant que } \\
\end{array}
}
Recopier et compléter les lignes 2 et 3 pour savoir comment obtenir 4{,}5 étoiles.
b. Calculer \text{E}(1500) puis interpréter ce résultat.
6. Résoudre \text{E}(x) = 5 et interpréter.
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Chapitres • 3. Fonctions affines • 10. Statistiques descriptives
Un jeune globe-trotter français désire se rendre au Québec en janvier.
En cherchant sur un site nord-américain, il trouve le tableau suivant donnant la température moyenne pour chaque mois de l'année.
| Janvier | Février | Mars | Avril | Mai | Juin |
| 2,1° | 6,1° | 16° | 30,7° | 42,4° | 52° |
| Juillet | Août | Septembre | Octobre | Novembre | Décembre |
| 57,2° | 55,6° | 46,9° | 36,5° | 25,2° | 11,1° |
1. Quelle est la température moyenne en janvier ? Et en juillet ? Cela est-il surprenant ?
2. Déterminer la moyenne et la médiane de la série décrite par le tableau.
3. En s'informant, il comprend qu'au Canada on utilise les degrés Fahrenheit et non les degrés Celsius. Il trouve sur un site canadien la formule suivante :
\text{C(F)} = \dfrac { 5 } { 9 } ( \text{F} - 32 ) où \text{F} est la température en degrés Fahrenheit et \text{C(F),} la température en degrés Celsius correspondante.
a. Préciser la nature de la fonction \text{C.}
b. Pour chaque mois de l'année, convertir les moyennes des degrés Fahrenheit en degrés Celsius pour obtenir une seconde série statistique.
c. En déduire la moyenne et la médiane de cette nouvelle série statistique.
d. Quelle formule permet de passer de la moyenne et de la médiane de la première série à la moyenne et la médiane de la deuxième série ?
4. a. Déterminer les variations et le signe de la fonction \text{C} sur [-50 \:; 100] puis interpréter ces résultats pour le voyageur.
b. Calculer les températures suivantes en Fahrenheit :
2. Déterminer la moyenne et la médiane de la série décrite par le tableau.
3. En s'informant, il comprend qu'au Canada on utilise les degrés Fahrenheit et non les degrés Celsius. Il trouve sur un site canadien la formule suivante :
\text{C(F)} = \dfrac { 5 } { 9 } ( \text{F} - 32 ) où \text{F} est la température en degrés Fahrenheit et \text{C(F),} la température en degrés Celsius correspondante.
a. Préciser la nature de la fonction \text{C.}
b. Pour chaque mois de l'année, convertir les moyennes des degrés Fahrenheit en degrés Celsius pour obtenir une seconde série statistique.
c. En déduire la moyenne et la médiane de cette nouvelle série statistique.
d. Quelle formule permet de passer de la moyenne et de la médiane de la première série à la moyenne et la médiane de la deuxième série ?
4. a. Déterminer les variations et le signe de la fonction \text{C} sur [-50 \:; 100] puis interpréter ces résultats pour le voyageur.
b. Calculer les températures suivantes en Fahrenheit :
- la température du corps humain qui est de 36,8°C ;
- la température d'ébullition de l'eau qui est de 100°C.
c. Représenter la fonction \text{C} sur l'intervalle
[-50 \:; 100].
5. Donner l'expression de la température en degrés Fahrenheit \text{F} en fonction de la température en degrés Celsius \text{C.}
6. Existe-t-il une température \text{T} telle que \text{T °C = T °F ?}
GeoGebra
5. Donner l'expression de la température en degrés Fahrenheit \text{F} en fonction de la température en degrés Celsius \text{C.}
6. Existe-t-il une température \text{T} telle que \text{T °C = T °F ?}
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8
Chapitres • 3. Fonctions affines • 11. Probabilités et échantillonnage
Une nouvelle recrue en NBA fait le bilan de son adresse aux lancers francs après ses 250 premiers tirs. Son club lui transmet les statistiques suivantes :
- 220 lancers francs ont été réussis ;
- 103 lancers francs réussis ont touché le cercle ;
- 130 lancers francs n'ont pas touché le cercle : cela concerne les lancers réussis, mais aussi les ratés.
\text{R} est l'événement « le lancer franc a été réussi » et \text{C} l'événement « le lancer franc a touché le cercle ».
Partie A.
1. Compléter le tableau ci-dessous.
| Lancers francs réussis | Lancers francs non réussis | Total | |
| Cercle touché | |||
| Cercle non touché | |||
| Total |
2. Calculer \mathrm { P } ( \overline { \mathrm { R } }) et \mathrm { P } ( \overline { \mathrm { R } } \cap \overline { \mathrm { C } } ) puis interpréter le résultat.
3. Traduire l'événement \mathrm { R } \cup \mathrm { C } par une phrase puis calculer \mathrm { P }(\mathrm { R } \cup \mathrm { C }).
Partie B.
Le record NBA de réussite au lancer franc en carrière est de 92,7 %. Le joueur veut battre ce record et pense qu'il va réussir tous les prochains lancers francs. Soit x le nombre de lancers francs à tenter.
1. Déterminer à quoi correspondent les expressions 250 + x et 220 + x.
2. Résoudre l'inéquation : \dfrac { 220 + x } { 250 + x } \gt \dfrac { 92{,}7 } { 100 }.
3. L'objectif semble-t-il réalisable ?
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Chapitres • 3. Fonctions affines • 9. Informations chiffrées
Soit h la fonction définie sur x \in ] - 100\: ; + \infty [ par h ( x ) = \dfrac { - 100 x } { x + 100 }.
La fonction h permet d'obtenir le taux réciproque, c'est-à-dire que si un nombre évolue de x % alors une évolution successive de h(x) % permet de revenir à ce nombre initial.
1. a. Calculer les images de -20 et 60 par h et interpréter.
b. Justifier l'expression de h.
2. a. Déterminer le signe de la fonction h sur ]- 100 \: ; + \infty [.
b. Interpréter les signes de la question a..
b. Justifier l'expression de h.
2. a. Déterminer le signe de la fonction h sur ]- 100 \: ; + \infty [.
b. Interpréter les signes de la question a..
3. Application : Le cours du Bitcoin a connu une augmentation de plus de 400 % entre les mois de janvier et de mars 2013.
a. Quelle somme fallait-il avoir investi en janvier 2013 pour être en possession de 10 000 € en Bitcoin en mars 2013 ?
b. Déterminer la fonction permettant d'obtenir la somme en Bitcoin en janvier 2013 en fonction de la somme en Bitcoin en mars 2013 ?
a. Quelle somme fallait-il avoir investi en janvier 2013 pour être en possession de 10 000 € en Bitcoin en mars 2013 ?
b. Déterminer la fonction permettant d'obtenir la somme en Bitcoin en janvier 2013 en fonction de la somme en Bitcoin en mars 2013 ?
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10
Chapitres • 2. Variations de fonctions • 4. Fonctions de référence
Eddy est concepteur de boîtes en carton dont la forme est un parallélépipède rectangle. Pour des raisons écologiques, il cherche un moyen de minimiser la surface de carton nécessaire.
Les contraintes imposent que la boîte ait une base dont l'aire soit égale à 2 500 cm2 et une hauteur de 30 cm.
Eddy décide de représenter le patron de la boîte en notant x et y les dimensions de la base en cm.
1. a. Donner l'expression de l'aire latérale du carton en fonction de x et y, puis, sachant que xy = 2\: 500 , exprimer cette aire latérale en fonction de x .
b. On note \mathrm { A } ( x ), l'aire totale du patron en fonction de x.
Montrer que, pour tout x \in ] 0\: ; + \infty [, \mathrm { A }( x ) = 60 x + 5\:000 + \dfrac { 150\:000 } { x }.
b. On note \mathrm { A } ( x ), l'aire totale du patron en fonction de x.
Montrer que, pour tout x \in ] 0\: ; + \infty [, \mathrm { A }( x ) = 60 x + 5\:000 + \dfrac { 150\:000 } { x }.
2. Montrer que, pour tout x \in ] 0\: ; + \infty [, \mathrm { A } ( x ) \geqslant 11\:000 \Leftrightarrow ( x - 50 ) ^ { 2 } \geqslant 0.
3. En déduire que \text{A} admet un minimum pour x = 50 .
4. Interpréter les résultats.
3. En déduire que \text{A} admet un minimum pour x = 50 .
4. Interpréter les résultats.
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Chapitres • 2. Variations de fonctions • 4. Fonctions de référence
Cet exercice présente le cas général de l'exercice page 137.
Soient \alpha et \beta deux réels. On considère la fonction f définie sur \R par f(x) = (x - \alpha)^2 + \beta.
1. Rappeler le tableau de variations de la fonction carré.
2. a. Vérifier que f(\alpha) = \beta.
b. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, f ( x ) \geqslant \beta.
c. Que représente alors le nombre \beta pour la fonction f \:?
3. Soient a et b deux réels de l'intervalle ] - \infty\: ; \alpha ] tels que a \lt b .
a. Justifier que a - \alpha \lt b - \alpha \leqslant 0 et en déduire que ( a - \alpha ) ^ { 2 } \gt ( b - \alpha ) ^ { 2 }.
b. Conclure alors que f(a) \gt f(b).
c. Que peut-on en déduire sur les variations de f sur l'intervalle ] - \infty\: ; \alpha ] \:?
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2. a. Vérifier que f(\alpha) = \beta.
b. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, f ( x ) \geqslant \beta.
c. Que représente alors le nombre \beta pour la fonction f \:?
3. Soient a et b deux réels de l'intervalle ] - \infty\: ; \alpha ] tels que a \lt b .
a. Justifier que a - \alpha \lt b - \alpha \leqslant 0 et en déduire que ( a - \alpha ) ^ { 2 } \gt ( b - \alpha ) ^ { 2 }.
b. Conclure alors que f(a) \gt f(b).
c. Que peut-on en déduire sur les variations de f sur l'intervalle ] - \infty\: ; \alpha ] \:?
4. De manière analogue, déterminer les variations de f sur l'intervalle [\alpha \: ; + \infty[ .
5. Dresser alors le tableau de variations de la fonction f sur \R .
6. Application : On considère la fonction f définie sur \R par f(x) = x^2 + 6x + 7 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, f(x) = (x + 3)^2 - 2 .
b. En déduire le tableau de variations de f sur \R .
5. Dresser alors le tableau de variations de la fonction f sur \R .
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6. Application : On considère la fonction f définie sur \R par f(x) = x^2 + 6x + 7 .
a. Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, f(x) = (x + 3)^2 - 2 .
b. En déduire le tableau de variations de f sur \R .
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