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Exercices de 12 à 23

Exercices transversaux


Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

12
Variations de fonctions Repérage et configuration dans le plan Équations de droites

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;I,J),( \mathrm { O }\: ; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), on considère les points A(2;5)\text{A}(2\: ; 5) et B(0;1).\text{B}(0 \:; - 1).
La droite dd est la droite d’équation y=12x1.y = \dfrac { 1 } { 2 } x - 1.
Le point M\text{M} appartient à la droite dd et a pour abscisse x.x . On souhaite déterminer la position du point M\text{M} afin que la distance AM\text{AM} soit minimale.

Partie A : En utilisant GeoGebra pour conjecturer

Lancer le module Geogebra
1. Faire la figure avec GeoGebra en plaçant A\text{A} et B\text{B} et en traçant d.d .
2. Placer un point M\text{M} mobile sur la droite d.d .
3. Construire le segment [AM]\text{[AM]} et afficher la distance AM\text{AM} en utilisant l’outil Distance ou Longueur.
4. Ouvrir la fenêtre graphique 2 et créer le point P\text{P} en saisissant l’instruction (x(M),AM)(x(\text{M}), \text{AM}).
5. Afficher la trace du point \text{P }et déterminer la position du point M\text{M} cherchée.
6. Que remarque-t-on ?


Partie B : Étude mathématique
1. Justifier que le point B\text{B} appartient à la droite d.d .

2. Exprimer l’ordonnée du point M\text{M} en fonction de x.x .

3. Montrer que la longueur du segment [AM]\text{[AM]} vérifie AM2=54x210x+40.\mathrm { AM } ^ { 2 } = \dfrac { 5 } { 4 } x ^ { 2 } - 10 x + 40.

4. On pose ff la fonction définie sur R\R par f(x)=AM2.f(x) = \text{AM}^2 .
a. Démontrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=54(x4)2+20.f ( x ) = \dfrac { 5 } { 4 } ( x - 4 ) ^ { 2 } + 20.

b. En déduire alors que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)f(4).f ( x ) \geqslant f ( 4 ).

5. On admet que AM\text{AM} est minimale lorsque AM2\text{AM}^2 est minimale aussi. Déterminer les coordonnées du point M\text{M} pour que AM2\text{AM}^2 soit minimale, ainsi que la longueur AM\text{AM} correspondante.

13
Repérage et configuration dans le plan Probabilités et échantillonnage

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (A ; B, D),\text{(A ; B, D),} on considère le carré ABCD\text{ABCD} de côté 11 unité et le quart de disque D\mathcal { D } de centre A\text{A} et de rayon 11 unité. On place au hasard un point M(x;y)\text{M}(x \:; y) à l’intérieur du carré.
La probabilité de placer M\text{M} à l’intérieur de D\mathcal { D } est le rapport de l’aire de D\mathcal { D } par l’aire du carré ABCD.\text{ABCD.}

Exercices transversaux

1. Quelle est la probabilité que M\text{M} soit dans le quart de disque D?\mathcal { D } \: ?

2. On note M(x;y)\text{M}(x\: ; y) les coordonnées du point M.\text{M.}
a. Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que M\text{M} soit dans le carré ?

b. Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que M\text{M} soit dans le quart de disque ?

3. On considère l’algorithme suivant.

Deˊfinir Proba (N) :C0Pour i allant de 1 aˋ N :xnombre aleˊatoire entre 0 et 1:ynombre aleˊatoire entre 0 et 1:Si x2+y21:Alors CC +1Fin SiFin PourRetourner C/N \boxed{ \begin{array} { l } {\text {Définir Proba (N) :}} \\ \quad \text {C} \leftarrow \text {0} \\ \quad \text{Pour i allant de 1 à N :} \\ \quad \quad \text {x} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} : \\ \quad \quad \text {y} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} : \\ \quad \quad \text {Si } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 : \\ \quad \quad \quad \text {Alors C} \leftarrow \text {C +1} \\ \quad \quad \text {Fin Si} \\ \quad \text {Fin Pour} \\ \quad \text {Retourner C/N} \\ \end{array} }

a. À quoi correspond la variable C ?\text{C ?}

b. Quel est le rôle de cet algorithme ?

c. À quelle valeur approchée peut-on s’attendre à la fin de l’algorithme ?

d. Modifier cet algorithme afin d’obtenir une approximation de π.\pi.


4. Programmer cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de π.\pi.





14
Repérage et configuration dans le plan Notion de vecteur Colinéarité de vecteurs

Remarque : Cet exercice se prête bien au travail de groupe.
Théorème de Varignon (1654-1722).
On considère quatre points distincts du plan A,\text{A,} B,\text{B,} C\text{C} et D\text{D} ainsi que les points I,\text{I,} J,\text{J,} K\text{K} et L,\text{L,} milieux respectifs des segments [AB],\text{[AB],} [AD],\text{[AD],} [BC]\text{[BC]} et [CD].\text{[CD].}
On appelle M\text{M} le milieu de [BD].\text{[BD].} On souhaite étudier la nature du quadrilatère IJLK\text{IJLK} selon différentes approches.

Théorème de Varignon
EXERCICES TRANSVERSAUX

Partie A : En géométrie plane
1. Montrer que (IJ)\text{(IJ)} et (LK)\text{(LK)} sont parallèles à (BD)\text{(BD)} et que IJ=12BD\mathrm { IJ } = \dfrac { 1 } { 2 } \mathrm { BD } et LK=12BD.\mathrm { LK } = \dfrac { 1 } { 2 } \mathrm { BD }.

2. En déduire la nature de IJLK.\text{IJLK.}


Partie B : En géométrie vectorielle
1. a. Montrer que IB+MD+DJ=0.\overrightarrow { \mathrm { IB } } + \overrightarrow { \mathrm { MD } } + \overrightarrow { \mathrm { DJ } } = \overrightarrow { 0 }.

b. En déduire que IJ=BM.\overrightarrow { \mathrm { IJ } } = \overrightarrow { \mathrm { BM } }.

2. Montrer que KL=BM.\overrightarrow { \mathrm { KL } } = \overrightarrow { \mathrm { BM } }.

3. En déduire la nature de IJLK.\text{IJLK.}


Partie C : Dans un repère
On munit le plan du repère (A;AD,AB)( \mathrm { A }\: ; \overrightarrow { \mathrm { AD } } , \overrightarrow { \mathrm { AB } } ) et on note (x;y)(x \:; y) les coordonnées du point C.\text{C.}
1. Déterminer les coordonnées des autres points de la figure en fonction de xx et yy si nécessaire.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs IJ\overrightarrow { \mathrm { IJ } } et KL.\overrightarrow { \mathrm { KL } }.

3. En déduire la nature de IJLK.\text{IJLK.}

15
Variations de fonctions Fonctions de référence Repérage et configuration dans le plan

Deux voitures circulent sur deux routes perpendiculaires à vitesse constante. Le véhicule A\text{A} roule à 60 km/h, et le véhicule B\text{B} à 40 km/h. À l’instant t=0,t = 0 , A\text{A} est situé à 2 km de l’intersection O\text{O} et B\text{B} à 1 km.

EXERCICES TRANSVERSAUX

Le but de l’exercice est de déterminer l’instant tt où la distance à vol d’oiseau entre les véhicules est la plus courte. tt est exprimé en heures.

1. Dans le repère (O;I,J),( \mathrm { O }\: ; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), déterminer, en fonction de t,t , les coordonnées de A\text{A} et de B\text{B} à l’instant t.t .

2. Exprimer, en fonction de t,t , la distance d(t)=ABd(t)= \text{AB} séparant les deux véhicules à l’instant t.t .

3. On note D(t)\text{D}(t) le carré de d(t).d(t) .
a. Vérifier que, pour tout t>0,t \gt 0 , D(t)=5200t2320t+5.\text{D}(t)= 5\:200t^2 - 320t + 5 .

b. Montrer que, pour tout t>0,t \gt 0 , D(t)=5200(t265)2+113.\mathrm { D } ( t ) = 5\:200 \left( t - \dfrac { 2 } { 65 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 13 }.

c. En déduire les variations de la fonction D.\text{D.} On pourra s’aider de l’exercice transversal .

d. Donner, en minutes et en secondes, l’instant où les véhicules sont les plus proches.

4. Faire une simulation dans GeoGebra en créant un curseur tt puis les deux points A\text{A} et B\text{B} dont les coordonnées sont données en fonction de t.t .
Faire afficher la longueur du segment [AB]\text{[AB]} et vérifier ainsi le résultat obtenu à la question 3..


Lancer le module Geogebra

16
Fonctions de référence Repérage et configuration dans le plan Équations de droite

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On note H,\mathcal { H }, la courbe représentative de la fonction inverse dans ce repère : H\mathcal { H } est donc une hyperbole.
On considère le point A\text{A} de coordonnées (1;1).(1 \:; 1).
Le but de cet exercice est de trouver une méthode permettant de tracer H\mathcal { H } géométriquement « point par point », autrement dit sans avoir recours à aucun calcul.

Partie A : Conjecture à l’aide d’un graphique
1. À l’aide de GeoGebra (ou à la main), placer le point A\text{A} puis tracer la courbe H.\mathcal { H }.

Lancer le module Geogebra
2. Placer un point P\text{P} sur H\mathcal { H } distinct de A.\text{A.}
3. Tracer la droite (AP)\text{(AP)} puis créer les points M\text{M} et N,\text{N,} intersections respectives de la droite (AP)\text{(AP)} avec l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
4. Que peut -on conjecturer à propos des milieux de [AP]\text{[AP]} et de [MN] ?\text{[MN] ?}

5. Cette conjecture semble-t-elle vérifiée quand P\text{P} décrit H?\mathcal { H }\:?


Partie B : Démonstration
On considère un point P(xP;yP)\mathrm { P } \left( x _ { \mathrm { P } }\: ; y _ { \mathrm { P } } \right) de H.\mathcal { H }.
1. Justifier que le point A(1;1)\text{A}(1\: ; 1) appartient à H.\mathcal { H }.

2. Exprimer yPy_\text{P} en fonction de xP.x_\text{P}.

3. Déterminer l’équation réduite de la droite (AP),\text{(AP)}, puis les coordonnées des intersections M\text{M} et N\text{N} de (AP)\text{(AP)} avec les axes.

4. Démontrer la conjecture émise à la fin de la partie A.


Partie C : Construction
En partant d’un point M\text{M} quelconque sur l’axe des abscisses, rédiger un programme de construction du point P.\text{P.}

17
Nombres et calculs Fonctions de référence Informations chiffrées

Une action boursière a subi une hausse de p%p\: \% puis une baisse de p%p\: \% ce qui l’a fait globalement diminuer de 50,41%50{,}41 \: \%. On notera par la suite p%=t.p\: \% = t.

1. Traduire les trois évolutions avec un coefficient multiplicateur.

2. Écrire une équation d’inconnue tt traduisant le problème.

3. Résoudre cette équation et déterminer la valeur de p.p .

18
Fonctions affines Informations chiffrées

Après son achat, un article perd de sa valeur petit à petit. On dit qu’il décote. Pour un modèle de photo copieur, la décote est de t%t\: \% par an.
Si celui-ci est mal entretenu, il décote quatre fois plus vite, soit une décote de 4t%.4t\: \%.
Une société achète un photocopieur neuf à 5042.5\:042\:€.

1. Pour tout t>0,t \gt 0 , on note V(t)\text{V}(t) la valeur du photocopieur, en fonction de sa décote, après une année d’utilisation avec un mauvais entretien.
Donner l’expression de V\text{V} en fonction de tt et en déduire sa nature.

2. Expliquer pourquoi l’ensemble de définition de V\text{V} est ]0;25].]0\: ; 25].

3. Déterminer les variations de V\text{V} sur ]0;25].]0\: ; 25].

4. Après cette année d’utilisation avec un mauvais entretien, la valeur du photocopieur est à présent de 548.548\:€. Quelle décote a été subie par le photocopieur ? Arrondir au centième près.

5. Avec un bon entretien et la même décote, quelle aurait été la valeur du photocopieur au bout d’un an ?

19
Notion de vecteur Colinéarité de vecteurs Informations chiffrées

Soient A(4;0,5),\text{A}(-4\: ; - 0{,}5) , B(1;1)\text{B}(1 \:; 1) et D(1;1,5)\text{D}(-1 \:; - 1{,}5) trois points d’un plan muni d’un repère orthonormé.
E\text{E} est le point du plan tel que :
  • AB\overrightarrow { \mathrm { AB }} et DE\overrightarrow { \mathrm { DE } } sont colinéaires et de même sens ;
  • la longueur de [AB]\text{[AB]} est 60 % plus petite que celle de [DE].\text{[DE].}

1. Compléter la phrase suivante avec une valeur arrondie au dixième près :
« La longueur de [DE]\text{[DE]} est % plus grande que celle de [AB].\text{[AB].} »
2. Écrire AB\overrightarrow { \mathrm { AB }} en fonction de DE.\overrightarrow { \mathrm { DE } }.

3. Calculer les coordonnées de E.\text{E.}

20
Informations chiffrées Statistiques descriptives

Le test de Bechdel vise à mettre en évidence l’éventuelle sous-représentation de personnages féminins dans un film. Un film « valide le test » lorsque :
  • il possède au moins deux personnages féminins ;
  • ces deux personnages ont au moins une discussion ensemble ;
  • cette discussion concerne autre chose qu’un homme.

Au 6 novembre 2018, il y avait 78717\:871 films dans la base de données, dont 45474\:547 validaient le test.

1. Quel est le pourcentage de films ayant validé le test et celui de films n’ayant pas validé le test ? Arrondir au dixième.


2. Parmi les films n’ayant pas validé le test, 25%25\: \% d’entre eux ont validé deux règles, 50%50\: \% d’entre eux ont validé une seule règle et le reste n’en a validé aucune.
Compléter le tableau ci-dessous.

 Nombre de règles validées  Aucune règle
validée
 Une règle
validée
 Deux règles
validées
 Test validé
(3 règles)
 Nombre de films

3. Calculer le nombre moyen de règles validées par les films ayant été testés. Arrondir au millième.

4. Avant 2018, le pourcentage de films validant le test était de 57,8%.57{,}8\: \%. En 2018, 5555 films sur 8888 testés ont validé le test. Calculer le taux d’évolution entre 2018 et avant. Arrondir au dixième.

5. Interpréter le résultat puis effectuer une analyse synthétique de l’exercice.

21
Statistiques descriptives Probabilités et échantillonnage

Nous voulons, dans cet exercice, comparer le taux de garçons et de filles dans la filière L avec le taux global en filière générale et technologique.
Remarque : La dernière session du bac L est celle de 2020.

1. En 2017, d’après les données de l’ONISEP, dans l’académie de Nantes, il y avait 656656 garçons et 25362 \:536 filles en terminale L. Construire le tableau des effectifs et des fréquences de cette étude. Exprimer les fréquences en pourcentages arrondis à l’unité.
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2. Comparer les pourcentages du diagramme ci-dessous avec ceux calculés précédemment. Conclure.
EXERCICES TRANSVERSAUX


3. Grâce à l’échantillon de l’académie de Nantes, peut-on estimer la probabilité d’obtenir une fille lorsqu’on choisit un élève d’une classe de terminale L française au hasard ? Si oui, combien vaut approximativement cette probabilité ?

22
Généralités sur les fonctions Statistiques descriptives

Soit f,f , la fonction définie sur R\R par : f(x)=x2+4x+1.f(x) = -x^2 + 4x + 1 .
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction ff sur l’intervalle [0;4].[0 \: ; 4].

Exercices transversaux

Partie A.
On cherche à estimer la moyenne des valeurs prises par la fonction ff sur l’intervalle [0;4].[0 \:; 4].
1. Graphiquement, quelle semble être cette valeur moyenne ?

2. On commence par faire la moyenne des valeurs prises aux bornes de l’intervalle.
a. Lire l’image par ff de 00 puis celle de 4.4.

b. Quelle est la moyenne de ces deux valeurs ?

c. Cela correspond-il à la valeur conjecturée précédemment ? Expliquer le problème.

3. On décide donc de découper l’intervalle en morceaux de taille égale, de plus en plus petits.
a. Lire l’image de 22 par la fonction f,f , puis calculer la moyenne des valeurs prises par ff en 0;0 \:; 22 et 4.4.
Cette valeur est-elle plus satisfaisante ? Expliquer.

b. Choisir désormais deux nouvelles valeurs, afin de découper l’intervalle en 44 parties de taille égale et lire leur image.
Calculer la nouvelle moyenne obtenue avec les 55 valeurs lues précédemment. Que constate-t-on ?


Partie B.
On se propose de poursuivre avec un algorithme prenant en entrée un nombre entier nn de valeurs que l’on souhaite considérer et calculant la moyenne des valeurs prises par la fonction ff en nn valeurs équiréparties dans l’intervalle [0;4].[0 \:; 4].
1. Recopier et compléter l’algorithme ci-après où xx est un nombre réel contenu dans l’intervalle [0;4].[0 \:; 4].

Deˊfinir Moyenne(n):S1x0k4 / (n–1)Pour i allant de 1 aˋ ... :xx + ...SS + ...Fin PourRetourner ... \boxed{ \begin{array} { l } { \text {Définir Moyenne(n):} } \\ \quad \text {S} \leftarrow \text {1} \\ \quad \text {x} \leftarrow \text {0} \\ \quad \text {k} \leftarrow \text {4 / (n–1)} \\ \quad \text {Pour i allant de 1 à ... :} \\ \quad \quad \text {x} \leftarrow \text {x + ...}\\ \quad \quad \text {S} \leftarrow \text {S + ...}\\ \quad \text {Fin Pour} \\ \quad \text {Retourner ...} \\ \end{array} }



2. Programmer cet algorithme avec Python.



3. a. Tester cet algorithme pour n=3n = 3 puis n=5.n = 5 .
b. Retrouve-t-on bien les valeurs calculées dans la partie A ?

4. Exécuter maintenant l’algorithme pour n=10n = 10 puis n=150n = 150 et enfin n=3000.n = 3\:000. Que constate-t-on ?

23
Généralités sur les fonctions Variations de fonctions Probabilités et échantillonnage

Un jeu consiste à tirer des fléchettes dans la cible ci-dessous.

Exercices transversaux

ABCD\text{ABCD} est un carré de côté 66 et I\text{I} est le milieu de [CD].\text{[CD].} M\text{M} est un point mobile sur le segment [AB],\text{[AB],} et N\text{N} et P\text{P} sont tels que AMPN\text{AMPN} soit un carré.
On appelle zone l’ensemble des polygones de la même couleur. Par exemple, la zone verte est constituée d’un carré et d’un triangle.
On note xx la longueur AM.\text{AM.} Ainsi, 0x6.0 \leqslant x \leqslant 6.
La probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à sa surface totale. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. Exprimer, en fonction de x,x , les aires des différentes zones.

2. En déduire les probabilités d’atteindre les différentes zones en fonction de x.x .

3. À la calculatrice, conjecturer la valeur qu’il faut donner à xx pour que la probabilité d’atteindre la zone jaune soit maximale.
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