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2. Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)
P.45-47

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COURS 2


2
Résolution graphique d’équations du type et




A
Résolution graphique d’équations du type

et sont respectivement les courbes représentatives de et dans un repère orthogonal.

Définition

Soient une fonction définie sur un ensemble et un réel fixé.
Résoudre l’équation :
• consiste à déterminer tous les réels de qui ont pour image ;
• revient donc à déterminer l’ensemble des antécédents de par .

NOTATION

Les solutions sont souvent notées sous la forme
Lorsqu’il n’y a pas de solution, est l’ensemble vide : = .

Propriété

Graphiquement, les solutions de sont les abscisses de tous les points de ayant pour ordonnée .

DÉMONSTRATION

est l’ensemble des points de coordonnées Or, on cherche lesvaleurs de telles que . On cherche donc les points de coordonnées et les solutions sont les abscisses de ces points.

Exemple

On considère la représentation graphique d’une fonction définie sur L’équation n’admet pas de solution.
L’équation admet une unique solution , tout comme l’équation (dans ce cas, ).
L’équation admet deux solutions (approximativement et ).
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k

Application et méthode

Énoncé

On reprend l’exemple ci-dessus. On admet que .
1. Résoudre graphiquement ; ; et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour ?

Méthode

1. Le calcul des images permet de vérifier l’exactitude ou l’approximation des antécédents lus.

2. Une méthode exacte consiste à résoudre l’équation (ici ). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n’est pas toujours applicable selon la difficulté de l’expression.

SOLUTION

1. Graphiquement, on trouve :
;
ou ;
.
On vérifie par le calcul :
;
;
.
Les solutions lues sont donc exactes.
: la solution lue est une valeur approchée.

2.


.
Les solutions de sont donc et comme on l’avait déterminé précédemment.

Pour s'entraîner : exercices 23 et 23 p. 53, 50 p. 59

B
Résolution graphique d’équations du type

et sont respectivement les courbes représentatives de et dans un repère orthogonal.

Définition

Soient et deux fonctions définies sur un ensemble . Résoudre l’équation consiste à déterminer tous les réels de qui ont la même image par et par .

Propriété

Graphiquement, les solutions de sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentatives de et de .

DÉMONSTRATION

Par définition, est l’ensemble des points ; et est l’ensemble des points pour .
Soit , un point de d’abscisse telle que .
Puisque , alors ses coordonnées sont ; .
Et puisque , alors ses coordonnées s’écrivent aussi ; .
On en déduit que est aussi un point de donc est un point d’intersection de et

Exemple

On considère les deux représentations graphiques dans le repère orthogonal
ci-contre. Ces courbes ont exactement trois intersections , et d’abscisses respectives ; et .
L’ensemble des solutions de l’équation est donc .

Résolution graphique d’équations du type f(x)=g(x)

Application et méthode

Énoncé

On reprend l’exemple précédent. et sont définies sur par et Les solutions lues de sont-elles exactes ?

Méthode

1. La lecture graphique peut permettre de trouver des solutions de façon exacte, mais cela n’est pas toujours possible de façon générale.

2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement mais ce n’est pas toujours possible.
SOLUTION
On vérifie par le calcul que ;

et

Pour s'entraîner : exercices 22 et 24 p. 53, et 52 p. 60
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