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COURS 2


2
Résolution graphique d’équations du type f(x)=kf(x)=k et f(x)=g(x) f(x)=g(x)




A
Résolution graphique d’équations du type f(x)=kf(x)=k

CfC_f et CgC_g sont respectivement les courbes représentatives de ff et gg dans un repère orthogonal.

Définition

Soient ff une fonction définie sur un ensemble DD et kk un réel fixé.
Résoudre l’équation f(x)=kf(x) = k :
• consiste à déterminer tous les réels xx de DD qui ont pour image kk ;
• revient donc à déterminer l’ensemble des antécédents de kk par ff.

NOTATION

Les solutions sont souvent notées sous la forme S={x1;x2;}S=\left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots\right\}
Lorsqu’il n’y a pas de solution, SS est l’ensemble vide : SS = \emptyset.

Propriété

Graphiquement, les solutions de f(x)=kf(x) = k sont les abscisses de tous les points de CfC_f ayant pour ordonnée kk.

DÉMONSTRATION

CfC_f est l’ensemble des points MM de coordonnées (x ;f(x)).(x\text{ } ; f(x)). Or, on cherche lesvaleurs de xx telles que f(x)=kf(x) = k. On cherche donc les points CfC_f de coordonnées (x ;k)(x\text{ } ; k) et les solutions sont les abscisses de ces points.

Exemple

On considère la représentation graphique d’une fonction ff définie sur [2;1].[-2 \: ; 1]. L’équation f(x)=1,5f(x) = -1{,}5 n’admet pas de solution.
L’équation f(x)=2f(x) = 2 admet une unique solution (x0,7)( x \approx 0{,}7 ), tout comme l’équation f(x)=1 f(x) = -1 (dans ce cas, x=1 x = -1 ).
L’équation f(x)=0,5f(x) = -0{,}5 admet deux solutions (approximativement 1,7-1{,}7 et 0,3-0{,}3).
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k

Application et méthode

Énoncé

On reprend l’exemple ci-dessus. On admet que f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x.
1. Résoudre graphiquement f(x)=1 f(x) = -1 ; f(x)=0f(x) = 0 ; f(x)=2f(x) = 2 et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour f(x)=0f(x) = 0 ?

Méthode

1. Le calcul des images permet de vérifier l’exactitude ou l’approximation des antécédents lus.

2. Une méthode exacte consiste à résoudre l’équation f(x)=kf(x) = k (ici k=0 k = 0). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n’est pas toujours applicable selon la difficulté de l’expression.

SOLUTION

1. Graphiquement, on trouve :
f(x)=1x=1f(x) = -1 \Leftrightarrow x = -1 ;
f(x)=0f(x) = 0 \Leftrightarrow x=2x = -2 ou x=0x = 0 ;
f(x)=2x=0,7f(x) = 2 \Leftrightarrow x = 0{,}7.
On vérifie par le calcul :
f(1)=(1)2+2×(1)=1f(-1)=(-1)^{2}+2 \times(-1)=-1 ;
f(2)=(2)2+2×(2)=0f(-2)=(-2)^{2}+2 \times(-2)=0 ;
f(0)=02+2×0=0f(0)=0^{2}+2 \times 0=0.
Les solutions lues sont donc exactes.
f(0,7)=0,72+2×0,7=1,89f(0{,}7)=0{,}7^{2}+2 \times 0{,}7=1{,}89 : la solution lue est une valeur approchée.

2. f(x)=0f(x)=0
x2+2x=0\Leftrightarrow x^{2}+2 x=0
x(x+2)=0 \Leftrightarrow x(x+2)=0
\Leftrightarrow x=0 ou x+2=0x=0 \text { ou } x+2=0.
Les solutions de f(x)=0f(x) = 0 sont donc 2-2 et 00 comme on l’avait déterminé précédemment.

Pour s'entraîner : exercices 23 et 23 p. 53, 50 p. 59

B
Résolution graphique d’équations du type f(x)=g(x) f(x)=g(x)

CfC_f et CgC_g sont respectivement les courbes représentatives de ff et gg dans un repère orthogonal.

Définition

Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD. Résoudre l’équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) consiste à déterminer tous les réels xx de DD qui ont la même image par ff et par gg.

Propriété

Graphiquement, les solutions de f(x)=g(x)f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentatives de ff et de gg.

DÉMONSTRATION

Par définition, CfC_f est l’ensemble des points MM (x(x ; f(x))f(x)) et CgC_g est l’ensemble des points N(x;g(x))N(x; g(x)) pour xDx \in D.
Soit P\text{P}, un point de CfC_f d’abscisse xx telle que f(x)=g(x)f(x)=g(x).
Puisque PCf\text{P} \in C_f, alors ses coordonnées sont (x(x ; f(x))f(x)).
Et puisque f(x)=g(x)f(x)=g(x), alors ses coordonnées s’écrivent aussi (x(x ; g(x)) g(x)).
On en déduit que P\text{P} est aussi un point de CgC_g donc P\text{P} est un point d’intersection de CfC_f et Cg.C_g .

Exemple

On considère les deux représentations graphiques dans le repère orthogonal
ci-contre. Ces courbes ont exactement trois intersections A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} d’abscisses respectives 1,5-1{,}5 ; 00 et 22.
L’ensemble des solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) est donc S={1,5;0;2}\mathrm{S}=\{-1{,}5\: ; 0\: ; 2\} .

Résolution graphique d’équations du type f(x)=g(x)

Application et méthode

Énoncé

On reprend l’exemple précédent. ff et gg sont définies sur R\mathbb{R} par f(x)=x22f(x)=x^{2}-2 et g(x)=2x36x2.g(x) = 2x^3 - 6x - 2 . Les solutions lues de f(x)=g(x)f(x) = g(x) sont-elles exactes ?

Méthode

1. La lecture graphique peut permettre de trouver des solutions de façon exacte, mais cela n’est pas toujours possible de façon générale.

2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement f(x)=g(x)f(x) = g(x) mais ce n’est pas toujours possible.
SOLUTION
On vérifie par le calcul que f(1,5)=g(1,5)=0,25f(-1\text{,}5) = g(-1\text{,}5) = 0\text{,}25 ;

f(0)=g(0)=2f(0) = g(0) = -2 et f(2)=g(2)=2f(2) = g(2) = 2

Pour s'entraîner : exercices 22 et 24 p. 53, et 52 p. 60
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