Résolution graphique d'équations du type $f(x)=k$ et $f(x)=g(x)$

Graphiquement, les solutions de $f(x)=k$ sont les abscisses de tous les points de $C_f$ ayant pour ordonnée $k$.

$C_f$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;f(x)).$ Or, on cherche lesvaleurs de $x$ telles que $f(x)=k$. On cherche donc les points $C_f$ de coordonnées $(x;k)$ et les solutions sont les abscisses de ces points.

On reprend l'exemple ci-dessus. On admet que $f(x)=x^2+2x$.
1. Résoudre graphiquement $f(x)=-1$ ; $f(x)=0$ ; $f(x)=2$ et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour $f(x)=0$ ?

1. Le calcul des images permet de vérifier l'exactitude ou l'approximation des antécédents lus.

2. Une méthode exacte consiste à résoudre l'équation $f(x)=k$ (ici $k=0$). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n'est pas toujours applicable selon la difficulté de l'expression.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $D$. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ consiste à déterminer tous les réels $x$ de $D$ qui ont la même image par $f$ et par $g$.

Graphiquement, les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de $f$ et de $g$.

Par définition, $C_f$ est l'ensemble des points $M$ $(x$ ; $f(x))$ et $C_g$ est l'ensemble des points $N(x;g(x))$ pour $x\in D$.
Soit $\text{P}$, un point de $C_f$ d'abscisse $x$ telle que $f(x)=g(x)$.
Puisque $\text{P}\in C_f$, alors ses coordonnées sont $(x$ ; $f(x))$.
Et puisque $f(x)=g(x)$, alors ses coordonnées s'écrivent aussi $(x$ ; $g(x))$.
On en déduit que $\text{P}$ est aussi un point de $C_g$ donc $\text{P}$ est un point d'intersection de $C_f$ et $C_g.$

On vérifie par le calcul que $f(-1\text{,}5)=g(-1\text{,}5)=0\text{,}25$ ;
$f(0)=g(0)=-2$ et $f(2)=g(2)=2$

Exercices

22 et 24 p. 53

, et

52

p. 60

1. La lecture graphique peut permettre de trouver des solutions de façon exacte, mais cela n'est pas toujours possible de façon générale.

2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement $f(x)=g(x)$ mais ce n'est pas toujours possible.