COURS 2


2
Résolution graphique d’équations du type f(x)=kf(x)=k et f(x)=g(x) f(x)=g(x)




Application et méthode


Méthode

1. Le calcul des images permet de vérifier l’exactitude ou l’approximation des antécédents lus.

2. Une méthode exacte consiste à résoudre l’équation f(x)=kf(x) = k (ici k=0 k = 0). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n’est pas toujours applicable selon la difficulté de l’expression.

Énoncé

On reprend l’exemple ci-dessus. On admet que f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x.
1. Résoudre graphiquement f(x)=1 f(x) = -1 ; f(x)=0f(x) = 0 ; f(x)=2f(x) = 2 et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour f(x)=0f(x) = 0 ?

SOLUTION

1. Graphiquement, on trouve :
f(x)=1x=1f(x) = -1 \Leftrightarrow x = -1 ;
f(x)=0f(x) = 0 \Leftrightarrow x=2x = -2 ou x=0x = 0 ;
f(x)=2x=0,7f(x) = 2 \Leftrightarrow x = 0{,}7.
On vérifie par le calcul :
f(1)=(1)2+2×(1)=1f(-1)=(-1)^{2}+2 \times(-1)=-1 ;
f(2)=(2)2+2×(2)=0f(-2)=(-2)^{2}+2 \times(-2)=0 ;
f(0)=02+2×0=0f(0)=0^{2}+2 \times 0=0.
Les solutions lues sont donc exactes.
f(0,7)=0,72+2×0,7=1,89f(0{,}7)=0{,}7^{2}+2 \times 0{,}7=1{,}89 : la solution lue est une valeur approchée.

2. f(x)=0f(x)=0
x2+2x=0\Leftrightarrow x^{2}+2 x=0
x(x+2)=0 \Leftrightarrow x(x+2)=0
\Leftrightarrow x=0 ou x+2=0x=0 \text { ou } x+2=0.
Les solutions de f(x)=0f(x) = 0 sont donc 2-2 et 00 comme on l’avait déterminé précédemment.

Pour s'entraîner : exercices 23 et 23 p. 53, 50 p. 59

A
Résolution graphique d’équations du type f(x)=kf(x)=k

CfC_f et CgC_g sont respectivement les courbes représentatives de ff et gg dans un repère orthogonal.

Exemple

On considère la représentation graphique d’une fonction ff définie sur [2;1].[-2 \: ; 1]. L’équation f(x)=1,5f(x) = -1{,}5 n’admet pas de solution.
L’équation f(x)=2f(x) = 2 admet une unique solution (x0,7)( x \approx 0{,}7 ), tout comme l’équation f(x)=1 f(x) = -1 (dans ce cas, x=1 x = -1 ).
L’équation f(x)=0,5f(x) = -0{,}5 admet deux solutions (approximativement 1,7-1{,}7 et 0,3-0{,}3).
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k

Définition

Soient ff une fonction définie sur un ensemble DD et kk un réel fixé.
Résoudre l’équation f(x)=kf(x) = k :
• consiste à déterminer tous les réels xx de DD qui ont pour image kk ;
• revient donc à déterminer l’ensemble des antécédents de kk par ff.

Propriété

Graphiquement, les solutions de f(x)=kf(x) = k sont les abscisses de tous les points de CfC_f ayant pour ordonnée kk.

DÉMONSTRATION

CfC_f est l’ensemble des points MM de coordonnées (x ;f(x)).(x\text{ } ; f(x)). Or, on cherche lesvaleurs de xx telles que f(x)=kf(x) = k. On cherche donc les points CfC_f de coordonnées (x ;k)(x\text{ } ; k) et les solutions sont les abscisses de ces points.

NOTATION

Les solutions sont souvent notées sous la forme S={x1;x2;}S=\left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots\right\}
Lorsqu’il n’y a pas de solution, SS est l’ensemble vide : SS = \emptyset.

Application et méthode

SOLUTION
On vérifie par le calcul que f(1,5)=g(1,5)=0,25f(-1\text{,}5) = g(-1\text{,}5) = 0\text{,}25 ;

f(0)=g(0)=2f(0) = g(0) = -2 et f(2)=g(2)=2f(2) = g(2) = 2

Pour s'entraîner : exercices 22 et 24 p. 53, et 52 p. 60

Énoncé

On reprend l’exemple précédent. ff et gg sont définies sur R\mathbb{R} par f(x)=x22f(x)=x^{2}-2 et g(x)=2x36x2.g(x) = 2x^3 - 6x - 2 . Les solutions lues de f(x)=g(x)f(x) = g(x) sont-elles exactes ?

Méthode

1. La lecture graphique peut permettre de trouver des solutions de façon exacte, mais cela n’est pas toujours possible de façon générale.

2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement f(x)=g(x)f(x) = g(x) mais ce n’est pas toujours possible.

B
Résolution graphique d’équations du type f(x)=g(x) f(x)=g(x)

CfC_f et CgC_g sont respectivement les courbes représentatives de ff et gg dans un repère orthogonal.

Résolution graphique d’équations du type f(x)=g(x)

Définition

Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD. Résoudre l’équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) consiste à déterminer tous les réels xx de DD qui ont la même image par ff et par gg.

Exemple

On considère les deux représentations graphiques dans le repère orthogonal
ci-contre. Ces courbes ont exactement trois intersections A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} d’abscisses respectives 1,5-1{,}5 ; 00 et 22.
L’ensemble des solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) est donc S={1,5;0;2}\mathrm{S}=\{-1{,}5\: ; 0\: ; 2\} .

Propriété

Graphiquement, les solutions de f(x)=g(x)f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentatives de ff et de gg.

DÉMONSTRATION

Par définition, CfC_f est l’ensemble des points MM (x(x ; f(x))f(x)) et CgC_g est l’ensemble des points N(x;g(x))N(x; g(x)) pour xDx \in D.
Soit P\text{P}, un point de CfC_f d’abscisse xx telle que f(x)=g(x)f(x)=g(x).
Puisque PCf\text{P} \in C_f, alors ses coordonnées sont (x(x ; f(x))f(x)).
Et puisque f(x)=g(x)f(x)=g(x), alors ses coordonnées s’écrivent aussi (x(x ; g(x)) g(x)).
On en déduit que P\text{P} est aussi un point de CgC_g donc P\text{P} est un point d’intersection de CfC_f et Cg.C_g .
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