Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 1
Cours 2
Résolution graphique d'équations du type {f(x)=k } et {f(x)=g(x)}
10 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
ARésolution graphique d'équations du type {f(x)=k}
C_f et C_g sont respectivement les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Soient f une fonction définie sur un ensemble D et k un réel fixé. Résoudre l'équation f(x) = k :
=> consiste à déterminer tous les réels x de D qui ont pour image k ;
=> revient donc à déterminer l'ensemble des antécédents de k par f.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Graphiquement, les solutions de f(x) = k sont les abscisses de tous les points de C_f ayant pour ordonnée k.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
C_f est l'ensemble des points M de coordonnées (x\text{ } ; f(x)). Or, on cherche lesvaleurs de x telles que f(x) = k. On cherche donc les points C_f de coordonnées (x\text{ } ; k) et les solutions sont les abscisses de ces points.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
On considère la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-2 \: ; 1].
L'équation f(x) = -1{,}5 n'admet pas de solution.
L'équation f(x) = 2 admet une unique solution ( x \approx 0{,}7 ), tout comme l'équation f(x) = -1 (dans ce cas, x = -1 ).
L'équation f(x) = -0{,}5 admet deux solutions (approximativement -1{,}7 et -0{,}3).
L'équation f(x) = 2 admet une unique solution ( x \approx 0{,}7 ), tout comme l'équation f(x) = -1 (dans ce cas, x = -1 ).
L'équation f(x) = -0{,}5 admet deux solutions (approximativement -1{,}7 et -0{,}3).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Les solutions sont souvent notées sous la forme S=\left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots\right\}
Lorsqu'il n'y a pas de solution, S est l'ensemble vide : S = \emptyset.
Lorsqu'il n'y a pas de solution, S est l'ensemble vide : S = \emptyset.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacez le curseur pour modifier la valeur de k dans l'équation f \left(x \right) = k.
GeoGebra
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
On reprend l'exemple ci-dessus. On admet que f(x) = x^2 + 2x.
1. Résoudre graphiquement f(x) = -1 ; f(x) = 0 ; f(x) = 2 et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour f(x) = 0 ?
1. Résoudre graphiquement f(x) = -1 ; f(x) = 0 ; f(x) = 2 et vérifier si ces solutions sont des valeurs exactes en calculant des images.
2. Comment peut-on, sans recours à la courbe, retrouver ces solutions pour f(x) = 0 ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1. Le calcul des images permet de vérifier l'exactitude ou l'approximation des antécédents lus.
2. Une méthode exacte consiste à résoudre l'équation f(x) = k (ici k = 0). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n'est pas toujours applicable selon la difficulté de l'expression.
2. Une méthode exacte consiste à résoudre l'équation f(x) = k (ici k = 0). Cela donne le nombre exact et les valeurs exactes des antécédents. Toutefois, cette méthode n'est pas toujours applicable selon la difficulté de l'expression.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. Graphiquement, on trouve :
f(x) = -1 \Leftrightarrow x = -1 ;
f(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 ou x = 0 ;
f(x) = 2 \Leftrightarrow x = 0{,}7.
On vérifie par le calcul :
f(-1)=(-1)^{2}+2 \times(-1)=-1 ;
f(-2)=(-2)^{2}+2 \times(-2)=0 ;
f(0)=0^{2}+2 \times 0=0.
Les solutions lues sont donc exactes.
f(0{,}7)=0{,}7^{2}+2 \times 0{,}7=1{,}89 : la solution lue est une valeur approchée.
f(x) = -1 \Leftrightarrow x = -1 ;
f(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 ou x = 0 ;
f(x) = 2 \Leftrightarrow x = 0{,}7.
On vérifie par le calcul :
f(-1)=(-1)^{2}+2 \times(-1)=-1 ;
f(-2)=(-2)^{2}+2 \times(-2)=0 ;
f(0)=0^{2}+2 \times 0=0.
Les solutions lues sont donc exactes.
f(0{,}7)=0{,}7^{2}+2 \times 0{,}7=1{,}89 : la solution lue est une valeur approchée.
2. f(x)=0
\Leftrightarrow x^{2}+2 x=0
\Leftrightarrow x(x+2)=0
\Leftrightarrow x=0 \text { ou } x+2=0.
Les solutions de f(x) = 0 sont donc -2 et 0 comme on l'avait déterminé précédemment.
\Leftrightarrow x^{2}+2 x=0
\Leftrightarrow x(x+2)=0
\Leftrightarrow x=0 \text { ou } x+2=0.
Les solutions de f(x) = 0 sont donc -2 et 0 comme on l'avait déterminé précédemment.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
BRésolution graphique d'équations du type {f(x)=g(x)}
C_f et C_g sont respectivement les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un ensemble D.
Résoudre l'équation f(x) = g(x) consiste à déterminer tous les réels x de D qui ont la même image par f et par g.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Graphiquement, les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et de g.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Par définition, C_f est l'ensemble des points M (x ; f(x)) et C_g est l'ensemble des points N(x; g(x)) pour x \in D.
Soit \text{P}, un point de C_f d'abscisse x telle que f(x)=g(x).
Puisque \text{P} \in C_f, alors ses coordonnées sont (x ; f(x)).
Et puisque f(x)=g(x), alors ses coordonnées s'écrivent aussi (x ; g(x)).
On en déduit que \text{P} est aussi un point de C_g donc \text{P} est un point d'intersection de C_f et C_g .
Soit \text{P}, un point de C_f d'abscisse x telle que f(x)=g(x).
Puisque \text{P} \in C_f, alors ses coordonnées sont (x ; f(x)).
Et puisque f(x)=g(x), alors ses coordonnées s'écrivent aussi (x ; g(x)).
On en déduit que \text{P} est aussi un point de C_g donc \text{P} est un point d'intersection de C_f et C_g .
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
ci-contre. Ces courbes ont exactement trois intersections \text{A}, \text{B} et \text{C} d'abscisses respectives -1{,}5 ; 0 et 2.
L'ensemble des solutions de l'équation {f(x)=g(x)} est donc {\mathrm{S}=\{-1{,}5\: ; 0\: ; 2\}} .
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
On reprend l'exemple précédent. f et g sont définies sur \mathbb{R} par f(x)=x^{2}-2 et g(x) = 2x^3 - 6x - 2 .
Les solutions lues de f(x) = g(x) sont-elles exactes ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On vérifie par le calcul que f(-1\text{,}5) = g(-1\text{,}5) = 0\text{,}25 ;
f(0) = g(0) = -2 et f(2) = g(2) = 2
f(0) = g(0) = -2 et f(2) = g(2) = 2
Pour s'entraîner
Exercices , et p. 60
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1. La lecture graphique peut permettre de trouver des solutions de façon exacte, mais cela n'est pas toujours possible de façon générale.
2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement f(x) = g(x) mais ce n'est pas toujours possible.
2. Une méthode rigoureuse consisterait à résoudre algébriquement f(x) = g(x) mais ce n'est pas toujours possible.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah