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Ch. A
Statistiques continues

Ch. B
Statistiques bivariées

Ch. C
Probabilités conditionnelles

Ch. D
Valeur absolue

Nombres et calculs

Fonctions

Ch. 1
Généralités sur les fonctions

Ch. 2
Variations de fonctions

Ch. 3
Fonctions affines

Ch. 4
Fonctions de référence

Géométrie

Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6
Notion de vecteur

Ch. 7
Colinéarité de vecteurs

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Ch. 8
Équations de droites

Statistiques et probabilités

Ch. 9
Informations chiffrées

Ch. 10
Statistiques descriptives

Ch. 11
Probabilités et échantillonnage

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de collège

Jeux de société

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Chapitre 1

Cours 1

Définitions

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A
Notions de fonction, d'image et d'antécédents

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Définition

Définir une fonction

f

sur un ensemble de réels

D

consiste à associer à chaque réel

x \in D

un unique réel

y

.
Pour signifier que

y

est le réel associé à

x

par la fonction

f

on note :

y = f (x)

.
On note cette correspondance :

f : D \to R x \mapsto f (x)

Notions de fonction, d'image et d'antécédents

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Notation

On peut nommer une fonction par d'autres lettres que

f

(g, a, u,

etc.

)

.
La variable

x

peut aussi être remplacée par d'autres

(t, l,

etc.

)

selon le contexte d'étude

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Remarque

À un nombre

x \in D,

on associe un (et un seul) nombre

y

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Définitions

•

D

est appelé l'ensemble de définition de

f

: il s'agit donc de l'ensemble des réels

x

ayant un réel y associé par

f

.
•

y

est appelé l'image de

x

par

f

.
• On dit que

x

est un antécédent de

y

par

f

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Remarque

Un nombre

y \in R

peut être associé à un ou plusieurs nombres

x \in D,

ou à aucun.

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Exemple

On observe la température d'une pièce pendant

24

heures. À chaque instant

t

de la journée correspond donc une température unique, notée

f (t)

. La fonction

f

est donc définie sur

D = [0; 24] .

Les températures atteintes plusieurs fois dans la journée ont plusieurs antécédents (la température 20 °C peut être atteinte à plusieurs moments de la journée).

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Application et méthode

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Énoncé

Un élève entre un nombre à la calculatrice puis il appuie sur la touche [

x^{2}

].
1. Justifier que cela revient à définir une fonction

f

que l'on précisera.
2. Par cette fonction

f

, déterminer
a. l'image de

0

et ses éventuels antécédents ;
b. l'image de

2

et ses éventuels an técédents ;
c. l'image de

- 1

et ses éventuels antécédents.

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Méthode

1. Pour s'assurer que l'on a une fonction, bien vérifier qu'à une valeur de

x

est associée une seule valeur de

f (x)

.

2. La relation

f (x) = x^{2}

permet de calculer les images de

x

: pour cela on remplace

x

par sa valeur dans cette relation. Pour les éventuels antécédents d'un nombre

y

, il faut résoudre l'équation

f (x) = y

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Solution

1. À chaque réel

x

, on associe le réel

x^{2}

.
On définit donc la fonction

f : x \to f (x) = x^{2}

.
2. a. L'image de

0

est

f (0) = 0^{2} = 0

. Les antécédents de

0

sont les réels

x

tels que

x^{2} = 0

soit

x = 0.

b. L'image de

2

est

f (2) = 2^{2} = 4

. Les antécédents de

2

sont les réels

x

tels que

x^{2} = 2

: les antécédents sont donc

2

- 2 .

c. L'image de

- 1

est

f (- 1) = (- 1)^{2} = 1

. Les antécédents de

- 1

sont les réels

x

tels que

x^{2} = - 1

: cette équation n'a pas de solution réelle donc

- 1

n'a pas d'antécédent par la fonction

f .

Pour s'entraîner

Exercices 26
, 30 et 31
p. 54

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B
Trois modes de définition d'une fonction

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Définition

Il y a trois principaux modes de définition d'une fonction

f

permettant d'associer à un réel

x

, de l'ensemble de définition

D

, son image

y

.
1. Avec une relation algébrique : on connaît directement l'expression de

f (x)

en fonction de

x

. Par exemple, la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = x^{2} + x + 1

.
2. Avec un tableau de valeurs : on donne explicitement les images associées à différentes valeurs de

x

. Par exemple, ici,

g (- 1) = 0

2

admet pour antécédents

0

10

$x$	-1	0	5	10
$g (x)$	0	2	3	2

3. Avec une courbe : la courbe représentative d'une fonction

h

est l'ensemble des points

A (x; y)

tels que

y = h (x)

Trois modes de définition d'une fonction

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Remarque

1. Ce mode de définition permet le calcul exact de l'image

y

de toute valeur de

x

de l'ensemble de définition.
2. Ce mode de définition ne permet de déterminer qu'un nombre fini d'images.
3. Ce mode de définition est limité par la précision permise par la lecture graphique des coordonnées des points.

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EXCLU. PREMIUM 2023

Expression/courbe/tableau

Modifier les antécédents dans le tableau de valeurs pour modifier la position des points sur la courbe de la fonction

f

GeoGebra

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Comparaison des trois modes de définitions

Une formule permet toujours de calculer une image, ce qui permet d'avoir une description complète de la fonction, contrairement aux courbes et aux tableaux. En revanche, il n'est pas toujours facile de calculer des antécédents.
Un tableau de valeurs ne définit une fonction que sur un intervalle discret (on ne connaît qu'un nombre fini de valeurs). Ainsi, on ne connaît pas de formule générale et la courbe sera tracée par extension probable.

Une courbe donne une représentation explicite et complète d'une fonction sur un intervalle. Elle permet donc des lectures d'images (sur l'ensemble où elle est tracée), mais seulement avec la précision permise par le graphique et ne permet pas, a priori, de trouver une formule générale.

Ainsi, seule la connaissance de l'expression de

f (x)

en fonction de

x

permet de déterminer toutes les images souhaitées et de façon exacte.

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Application et méthode

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Énoncé

On considère la fonction

f

définie sur

D = [- 2; 7]

par

f (x) = 6 x - x^{2}

.
1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

$x$	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
$f (x)$	...	...	...	...	...	...	...	...	...

2. Utiliser ce tableau pour tracer la courbe représentative de

f

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Méthode

1. Utiliser l'expression

f (x) = 6 x - x^{2}

pour remplir les cases du tableau.

2. Placer les points de coordonnées

(x

;

f (x))

et les relier suivant « l'aspect » global (pas de segments). Pour avoir une plus grande précision, il faudrait calculer davantage de coordonnées.

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Solution

$x$	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
$f (x)$	-7	0	5	8	9	8	5	0	-7

Pour s'entraîner

Exercices 18 et 20 p. 53
, et 32
p. 55

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C
Parité

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Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

centré en

0.

On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

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Définition

On dit que

f

est :
• paire lorsque, pour tout

x \in I

f (- x) = f (x)

;
• impaire lorsque, pour tout

x \in I

f (- x) = - f (x)

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Propriété

•

f

est paire si, et seulement si,

C_{f}

est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
•

f

est impaire si, et seulement si,

C_{f}

est symétrique par rapport à l'origine du repère.

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Remarque

I

est centré en

0

signifie que si

x \in I

alors

- x \in I

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Démonstration

Voir exercices

;

p. 58

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Exemple

f

est définie sur

R

par

f (x) = x^{2} + 1

.
Pour tout

x \in R

f (- x) = (- x)^{2} + 1 = x^{2} + 1 = f (x)

f

est donc une fonction paire.

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EXCLU. PREMIUM 2023

Fonction paire/fonction impaire

GeoGebra

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Application et méthode

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Énoncé

On a représenté dans le repère orthogonal ci-après la courbe représentative d'une fonction

f

sur l'intervalle

[0; 2] .

Reproduire ce repère et compléter la courbe de

f

sur l'intervalle

[- 2; 2]

pour que la fonction

f

:
1. soit paire ;
2. soit impaire.

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Méthode

1. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Remarque : Il faut veiller à ce que l'intervalle soit bien centré en

0

, ce qui est le cas pour l'intervalle

[- 2; 2] .

Pour s'entraîner

Exercices 21 p. 53
et 42
p. 55

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Solution

1. On a représenté en bleu la partie manquante pour que

f

soit une fonction paire sur

[- 2; 2] .

2. On a représenté en rouge la partie manquante pour que

f

soit une fonction impaire sur

[- 2; 2] .

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Ch. BStatistiques bivariées

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Ch. DValeur absolue

Nombres et calculs

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Ch. 2Variations de fonctions

Ch. 3Fonctions affines

Ch. 4Fonctions de référence

Ch. 5Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6Notion de vecteur

Ch. 7Colinéarité de vecteurs

Ch. 8Équations de droites

Ch. 9Informations chiffrées

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Définitions

ANotions de fonction, d'image et d'antécédents

Notation

Remarque

Définitions

Remarque

Méthode

BTrois modes de définition d'une fonction

Définition

Remarque

Expression/courbe/tableau

GeoGebra

Énoncé

Méthode

Solution

CParité

Remarque

Fonction paire/fonction impaire

GeoGebra

Énoncé

Méthode

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Valeur absolue

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Variations de fonctions

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Fonctions affines

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Fonctions de référence

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Repérage et configuration dans le plan

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Notion de vecteur

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Colinéarité de vecteurs

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Équations de droites

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A
Notions de fonction, d'image et d'antécédents

B
Trois modes de définition d'une fonction

C
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