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COURS 1


1
Définitions




Application et méthode


Méthode

1. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Remarque : Il faut veiller à ce que l’intervalle soit bien centré en 00, ce qui est le cas pour l’intervalle [2;2].[-2 ; 2].

Pour s'entraîner : exercices 21 p. 53 et 42 p. 55

Énoncé

On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe représentative d’une fonction ff sur l’intervalle [0;2].[0 ; 2]. Reproduire ce repère et compléter la courbe de ff sur l’intervalle [2;2][-2 ; 2] pour que la fonction ff :
1. soit paire ;
2. soit impaire.

Parité
SOLUTION
1. On a représenté en bleu la partie manquante pour que ff soit une fonction paire sur [2;2].[-2 ; 2].
2. On a représenté en rouge la partie manquante pour que ff soit une fonction impaire sur [2;2].[-2 ; 2].

Parité

B
Trois modes de définition d’une fonction


COMPARAISON DES TROIS MODES DE DÉFINITION :

  • Une formule permet toujours de calculer une image, ce qui permet d’avoir une description complète de la fonction, contrairement aux courbes et aux tableaux. En revanche, il n’est pas toujours facile de calculer des antécédents.
  • Un tableau de valeurs ne définit une fonction que sur un intervalle discret (on ne connaît qu’un nombre fini de valeurs). Ainsi, on ne connaît pas de formule générale et la courbe sera tracée par extension probable.
  • Une courbe donne une représentation explicite et complète d’une fonction sur un intervalle. Elle permet donc des lectures d’images (sur l’ensemble où elle est tracée), mais seulement avec la précision permise par le graphique et ne permet pas, a priori, de trouver une formule générale.
Ainsi, seule la connaissance de l’expression de f(x)f(x) en fonction de xx permet de déterminer toutes les images souhaitées et de façon exacte.

Remarque

1. Ce mode de définition permet le calcul exact de l’image yy de toute valeur de xx de l’ensemble de définition.
2. Ce mode de définition ne permet de déterminer qu’un nombre fini d’images.
3. Ce mode de défInition est limité par la précision permise par la lecture graphique des coordonnées des points.

Trois modes de définition d’une fonction

Définitions

Il y a trois principaux modes de définition d’une fonction ff permettant d’associer à un réel xx, de l’ensemble de définition D\text{D}, son image yy.
1. Avec une relation algébrique : on connaît directement l’expression de f(x)f(x) en fonction de xx. Par exemple, la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1.
2. Avec un tableau de valeurs : on donne explicitement les images associées à différentes valeurs de xx. Par exemple, ici, g(1)=0g(-1) = 0 et 22 admet pour antécédents 00 et 1010.

 xx -1 0 5 10
 g(x)g(x) 0 2 3 2

3. Avec une courbe : la courbe représentative d’une fonction hh est l’ensemble des points A(x;y)\text{A}(x\:;y) tels que y=h(x)y = h(x).

C
Parité


Propriété

ff est paire si, et seulement si, CfC_f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
ff est impaire si, et seulement si, CfC_f est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Soit ff une fonction définie sur un intervalle I I centré en 0.0.
On note CfC_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Définition

On dit que ff est :
paire lorsque, pour tout xIx \in I , f(x)=f(x)f(-x) = f(x) ;
impaire lorsque, pour tout xIx \in I, f(x)=f(x)f(-x) = -f(x).

Remarque

II est centré en 00 signifie que si xIx \in I alors xI-x \in I.

DÉMONSTRATION

Voir exercices
43
;
44
;
45
p. 58

Application et méthode


Méthode

1. Pour s’assurer que l’on a une fonction, bien vérifier qu’à une valeur de xx est associée une seule valeur de f(x)f(x).

2. La relation f(x)=x2f(x) = x^2 permet de calculer les images de xx : pour cela on remplace xx par sa valeur dans cette relation. Pour les éventuels antécédents d’un nombre yy, il faut résoudre l’équation f(x)=yf(x)=y.

Énoncé

Un élève entre un nombre à la calculatrice puis il appuie sur la touche [x2 x^2].
1. Justifier que cela revient à définir une fonction ff que l’on précisera.
2. Par cette fonction ff , déterminer :
a. l’image de 00 et ses éventuels antécédents ;
b. l’image de 22 et ses éventuels antécédents ;
c. l’image de 1-1 et ses éventuels antécédents.

SOLUTION

1. À chaque réel xx, on associe le réel x2x^2.
On définit donc la fonction f:xf(x)=x2f : x \rightarrow f(x)=x^{2}.
2. a. L’image de 00 est f(0)=02=0f(0)=0^{2}=0. Les antécédents de 00 sont les réels xx tels que x2=0x^2 = 0 soit x=0. x = 0.
b. L’image de 22 est f(2)=22=4f(2)=2^{2}=4. Les antécédents de 22 sont les réels xx tels que x2=2x^2 = 2 : les antécédents sont donc 2\sqrt{2} et 2.-\sqrt{2}.
c. L’image de 1-1 est f(1)=(1)2=1f(-1)=(-1)^{2}=1. Les antécédents de 1-1 sont les réels xx tels que x2=1x^2 = -1 : cette équation n’a pas de solution réelle donc 1-1 n’a pas d’antécédent par la fonction f.f.


Pour s'entraîner : exercices 26, 30 et 31 p. 54

A
Notions de fonction, d’image et d’antécédents


Exemple

On observe la température d’une pièce pendant 2424 heures. À chaque instant tt de la journée correspond donc une température unique, notée f(t)f(t). La fonction ff est donc définie sur D=[0;24].\text{D} = [0\: ; 24].
Les températures atteintes plusieurs fois dans la journée ont plusieurs antécédents (la température 20 °C peut être atteinte à plusieurs moments de la journée).

Définition

Définir une fonction ff sur un ensemble de réels D\text{D} consiste à associer à chaque réel xDx \in \text{D} un unique réel yy.
Pour signifier que yy est le réel associé à xx par la fonction ff on note : y=f(x)y = f(x).
On note cette correspondance :
f:DRxf(x)\begin{aligned} f :\, & \mathrm{D} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x) \end{aligned}

Remarque

À un nombre xD,x \in \text{D}, on associe un (et un seul) nombre yy.

Définition

D\text{D} est appelé l’ensemble de définition de ff : il s’agit donc de l’ensemble des réels xx ayant un réel y associé par ff.
yy est appelé l’image de xx par ff.
• On dit que xx est un antécédent de yy par ff.


Notions de fonction, d’image et d’antécédents

Notions de fonction, d’image et d’antécédents

NOTATION

On peut nommer une fonction par d’autres lettres que ff ( g,a,u,g , a , u , etc.).
La variable xx peut aussi être remplacée par d’autres ( t,l,t, l, etc.) selon le contexte d’étude

Remarque

Un nombre yRy \in \mathbb{R} peut être associé à un ou plusieurs nombres xD,x \in \text{D}, ou à aucun.

Application et méthode

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur D=[2;7]\text{D} = [-2 ; 7] par f(x)=6xx2f(x) = 6x - x^2.
1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

 xx -1 0 1 2 3 4 5 6 7
 f(x)f(x)

2. Utiliser ce tableau pour tracer la courbe représentative de ff.

Méthode

1. Utiliser l’expression f(x)=6xx2f(x)=6 x-x^{2}pour remplir les cases du tableau.

2. Placer les points de coordonnées (x(x ; f(x))f(x)) et les relier suivant « l’aspect » global (pas de segments). Pour avoir une plus grande précision, il faudrait calculer davantage de coordonnées.
SOLUTION
1.

 xx -1 0 1 2 3 4 5 6 7
 f(x)f(x) -7 0 5 8 9 8 5 0 -7

2.
Trois modes de définition d’une fonction

Pour s'entraîner : exercices 18 et 20 p. 53, et 32 p. 55
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