Activités




C
L’offre et la demande

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Bilan
Soient ff et gg deux fonctions définies pour tout xDx \in \mathbf{D} et kk un réel.
Comment résoudre graphiquement les équations f(x)=kf(x) = k et f(x)=g(x)f(x) = g(x) ?



Objectif
Résoudre graphiquement des équations.


4
On admet que la quantité de la demande de ce bien est définie en fonction du prix pp par D(p)=(120p)2100D(p)=\dfrac{(120-p)^{2}}{100}.
a) À l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer la représentation graphique de la fonction DD (en laissant apparaître celle de la fonction OO).

Lancer le module Geogebra
b) Déterminer le point d’intersection des représentations graphiques des fonctions OO et DD.


c) Quelle interprétation peut-on en faire ?

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L’offre et la demande sont deux notions importantes de l’économie de marché.
La demande correspond à la quantité d’un bien que les acheteurs sont prêts à acheter en fonction de différents prix.
L’offre est la quantité d’un bien que les vendeurs sont capables de vendre en fonction de différents prix.
L’offre et la demande sont donc dépendantes à la fois du prix et des quantités disponibles.
On considère un bien dont le prix pp appartient à l’intervalle [60;100][60\: ; 100] et on résume les données dans le tableau de valeurs ci-dessous avec des unités fixées.

 Prix du bien 10 30 50 80 100
 Quantité de la demande 121 81 49 16 4
 Quantité de l’offre


1
Décrire comment réagit la demande en fonction du prix du bien. Est-ce prévisible ?


2
On admet que la quantité de l’offre de ce bien est définie en fonction du prix pp par O(p)=p2100.O(p)=\dfrac{p^{2}}{100}.
Compléter le tableau de valeurs et décrire l’offre en fonction du prix du bien. Est-ce prévisible ?


3
On cherche les valeurs de p telles que O(p)=49O(p) = 49 . À l’aide de la calculatrice, tracer la représentation graphique de la fonction OO et déterminer graphiquement une solution à cette équation. Interpréter le résultat.

A
Le son : à consommer avec modération !


Exprimer la dépendance d’une variable par rapport à une autre

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L’intensité sonore est mesurée en décibel (dB). La courbe rouge représente l’intensité sonore II lors d’un concert en fonction de la distance d d des enceintes (en m), à partir d’une distance de 1 m.

1
Par lecture graphique, recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.
Distance dd (en m)  1 5 10 15 20 30 40 50 60
Intensité II (en dB)

2
On donne les ordres de grandeur suivant :
  • 75 dB : conversation animée ;
  • 90 dB : rue à grande circulation ;
  • 100 dB : seuil de danger auditif.
Déterminer la distance dd pour chacune de ces situations.


Exprimer la dépendance d’une variable par rapport à une autre
Voir les réponses


Bilan
Une fonction a été définie ici. Quelles sont les deux variables concernées ? Quelle est celle qui dépend de l’autre ?



Objectif
Exprimer la dépendance d’une variable par rapport à une autre.

AIDE

1
2
Sur quel axe doit-on lire l’intensité ? Et la distance ?
4
Utiliser le résultat de la question
3

3
En observant le tableau de valeurs, recopier et compléter la phrase suivante : « Lorsque dd double, II diminue environ de dB ».

4
Applications.
a) Préciser II pour les distances suivantes : 100 m, 25 m, 2 m et 50 cm.


b) Déterminer la distance dd correspondante à 122 dB (risque desurdité) puis à 24 dB (léger fond sonore).

B
La valse des planètes


1
a) Calculer P\mathrm{P} pour d=1d = 1 puis d=4d = 4.


b) À l’aide la touche 3\sqrt[3]{ } de la calculatrice, calculer dd lorsque P=8\mathrm{P} = 8 .


c) Interpréter les résultats obtenus.


2
Recopier et compléter le tableau suivant.
 Planètes Terre Mars Jupiter Mercure Vénus Uranus Neptune Pluton Éris
dd (U.A.) 1,52 5,2 0,39 0,72 19,2
 P\mathrm{P} (année) 165 248 557

3
À partir de maintenant, on appelle P\mathrm{P} la fonction qui, à toute distance dd, fait correspondre la période correspondante, notée P(d)\mathrm{P}(d). En utilisant le tableau précédent, donner la valeur de P(1,52)\mathrm{P} (1\text{,}52) et de P(5,2)\mathrm{P}(5\text{,}2) .

Déterminer des images et des antécédents par lecture graphique et par le calcul
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Bilan
Quelles sont les différentes représentations de la fonction P\mathrm{P} étudiées ici ? Les comparer.



Objectif
Déterminer des images et des antécédents par lecture graphique et par le calcul.


La 3e loi de Kepler indique que, pour une planète du système solaire, le carré de la période de révolution P\text{P} (en seconde) est proportionnel au cube de la distance au Soleil (en mètre). Autrement dit, il existe un réel kk tel que P2=k×d3\mathrm{P}^{2}=k \times d^{3}. La constante kk est exprimée en s2·m-3.
Afin de modéliser le problème, on donne :
  • la période P\mathrm{P} en année terrestre ( P=1\mathrm{P} = 1 pour la Terre) ;
  • la distance dd en unité astronomique (1 U.A. = distance Terre-Soleil donc d=1d = 1 pour la Terre) ;
  • la constante kk égale à 1 ;
  • la relation physique se ramène donc à l’égalité mathématique : P2=d3\mathrm{P}^{2}=d^{3} .
Puisque les expressions sont toutes positives, on en déduit alors que P=d3\mathrm{P}=\sqrt{d}^{3} et que d=P23d=\sqrt[3]{\mathrm{P}^{2}} . La racine cubique sera étudiée dans le chapitre 4, elle s’obtient ici à l’aide de la calculatrice.

4
Pour contenir de l’eau liquide (zone d’habitabilité), on estime que l’on doit avoir 0,95d1,50{,}95 \leqslant d \leqslant 1{,}5 . Calculer P(0,95)\mathrm{P} (0\text{,}95) et P(1,5)\mathrm{P} (1\text{,}5).


5
a) Tracer la courbe représentative de P\mathrm{P} en fonction de dd pour dd compris entre 00 et 6.6.
b) Situer les différentes planètes et la zone d’habitabilité.

Lancer le module Geogebra

6
Cérès est une planète naine dont la période varie entre 4 et 5 années. Préciser par lecture graphique :
a) les deux planètes entre lesquelles elle se situe ;

b) les distances dd minimale (périhélie) et maximale (aphélie) au Soleil.
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