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Synthèse





69
[Chercher.]
A\text{A} et B\text{B} sont deux points fixes sur un cercle de diamètre AA=2.\text{AA}'=2. C\text{C} est un point mobile se déplaçant sur le cercle de A\text{A} à A.\text{A}'. On note xx la longueur AC.\text{AC}.
Généralités sur les fonctions

On a tracé les courbes représentatives des fonctions aa, bb et cc associant à xx respectivement les angles A^\widehat{\text{A}}, B^\widehat{\text{B}} et C^\widehat{\text{C}} du triangle ABC.\text{ABC}.
Généralités sur les fonctions
1. Quel est l’ensemble de définition des fonctions aa, bb et cc ?

2. Que constate-t-on concernant la fonction cc ? Comment interpréter cela ?

3. Déterminer a(1)a(1) , b(1)b(1) et c(1)c(1) puis calculer a(1)+b(1)+c(1).a(1)+b(1)+c(1). Comment pouvait-on prévoir ce dernier résultat ?

4. Justifier et, le cas échéant, préciser les angles des triangles correspondants. ABC\text{ABC} peut-il être :
a. rectangle ?

b. isocèle ?

c. équilatéral ?

67
[Représenter.]
On considère un rectangle ABCD\text{ABCD} inscrit dans un cercle de rayon 1. On note SS l’aire de ABCD\text{ABCD} et PP son périmètre. L’exercice vise à exprimer PP et SS suivant deux variables différentes : x=ABx = \text{AB} et α=BAC^.\alpha=\widehat{\mathrm{BAC}}.

Généralités sur les fonctions

1. En utilisant la variable xx :
a. À quel intervalle II appartient xx ?

b. Montrer que, pour tout xI,BC=4x2.x \in I, \mathrm{BC}=\sqrt{4-x^{2}}.

c. En déduire que, pour tout xI,P(x)=2x+24x2.x \in I, P(x)=2 x+2 \sqrt{4-x^{2}}.

2. En utilisant la variable α\alpha :
a. À quel intervalle JJ appartient α\alpha ?

b. En utilisant les formules de trigonométrie, montrer que, pour tout αJ,AB=2cos(α)\alpha \in J, \mathrm{AB}=2 \cos (\alpha) et BC=2sin(α).\mathrm{BC}=2 \sin (\alpha).

c. En déduire que, pour tout αJ,S(α)=4sin(α)cos(α).\alpha \in J, S(\alpha)=4 \sin (\alpha) \cos (\alpha).

3. On suppose que ABCD\text{ABCD} est un carré.
a. Préciser la valeur de α.\alpha.

b. En déduire la valeur de SS à l’aide de la calculatrice.

c. À l’aide de la valeur de SS obtenue, montrer que le côté xx de ABCD\text{ABCD} vaut 2\sqrt{2} et en déduire alors la valeur exacte de P.P.

68
[Représenter.] ◉◉
ABCD\text{ABCD} est un rectangle tel que AB=6\text{AB} = 6 et AD=4.\text{AD} = 4 .
On trace un parallélogramme EFGH\text{EFGH} sur ABCD\text{ABCD} tel que AG=BH=CE=DF=x.\text{AG} = \text{BH} = \text{CE} = \text{DF} = x .

Généralités sur les fonctions

1. À quel intervalle II appartient xx ?

2. Montrer que, pour tout xI,x \in I, l’aire S(x)S(x) de EFGH\text{EFGH} est égale à S(x)=24x(6x)x(4x)S(x)=24-x(6-x)-x(4-x) puis que S(x)=2410x+2x2.S(x)=24-10 x+2 x^{2}.

3. On donne la courbe représentative de SS dans un repère orthogonal.

Généralités sur les fonctions

Déterminer graphiquement les valeurs de xx telles que :
a. S(x)=12S(x)=12 (moitié de l’aire de ABCD\text{ABCD}) ;

b. S(x)=16S(x)=16 (deux tiers de l’aire de ABCD\text{ABCD}) ;

c. S(x)=11,5.S(x)=11{,}5 . Vérifier ce dernier résultat par un calcul d’image.

4. En prenant le centimètre pour unité, tracer les différents parallélogrammes EFGH\text{EFGH} répondant aux points précédents.

5. À l’aide d’un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice, donner une valeur approchée de xx au dixième près telle que l’aire de EFGH\text{EFGH} soit égale aux trois quarts de l’aire de ABCD.\text{ABCD}.

64
[Modéliser.]
On donne ci-dessous le relevé de consommation en carburant d’une voiture à boîte automatique à 5 vitesses (numérotées de 1 à 5 sur le graphique).

Généralités sur les fonctions

1. Déterminer la consommation en carburant lorsqu’une voiture roule à 30 km/h, 50 km/h, 80 km/h et 130 km/h.

2. À quelles vitesses la voiture consomme-t-elle : 5 L/100 km ? 6 L/100 km ? 6,5 L/100 km ?

3. Une conductrice fait le plein de carburant (réservoir de 70 L) et doit parcourir 1 200 km sur autoroute.
a. Si elle roule à la vitesse constante de 130 km/h, aura-t-elle assez de carburant ?

b. Si elle roule à vitesse constante, à quelle vitesse peut-elle rouler au maximum pour ne pas tomber en panne ?

4. La conductrice se déplace entre les bornes A\text{A} et D\text{D} sur autoroute à une vitesse constante de 130 km/h. Cependant, entre les bornes B\text{B} et C\text{C}, la vitesse est limitée à 90 km/h.

Généralités sur les fonctions

On note xx la distance parcourue en km et f(x)f(x) le volume de carburant consommé. On a représenté ci-dessous la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal.

Généralités sur les fonctions

a. En utilisant les points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} placés sur cette courbe, retrouver les consommations correspondant aux vitesses de 130 km/h et 90 km/h.

b. Si la voiture contient 30 L d’essence au départ de A\text{A}, la conductrice pourra-t-elle arriver en D\text{D} sans avoir à remettre de l’essence ?

c. Pour éviter de se retrouver en panne, la conductrice décide de se ravitailler lorsqu’il lui reste 15 L dans son réservoir : à quelle distance de D\text{D} devra-t-elle se ravitailler ?

65
[Représenter.] ◉◉◉
La partie inscriptible d’un CD audio est une couronne de rayons 25 et 55 mm. Un faisceau laser lit la musique en allant de l’intérieur de cette couronne vers l’extérieur.

Généralités sur les fonctions

On note xx la distance en millimètre du laser au bord du cercle intérieur après lecture d’une partie de la musique.

1. À quel intervalle I\text{I} appartient xx ?

2. a. Justifier que l’aire S(x)\mathrm{S}(x) de la couronne de largeur xx est égale à S(x)=π(25+x)2π×252.\mathrm{S}(x)=\pi(25+x)^{2}-\pi \times 25^{2}. En déduire que, pour tout xI,S(x)=πx2+50πx.x \in \mathrm{I}, \mathrm{S}(x)=\pi x^{2}+50 \pi x.

b. Calculer S(0)\mathrm{S}(0) : ce résultat est-il prévisible ?

c. Montrer que S(30)=2400π\mathrm{S}(30)=2\,400 \pi et interpréter le résultat.

3. D’un bord de la couronne à l’autre, le CD contient 80 min de musique. Sachant que la durée en minute de lecture audio D(x)\mathrm{D}(x) est proportionnelle à l’aire S(x)\mathrm{S}(x), on peut montrer que, pour tout x[0;30],x \in[0 \:; 30], D(x)=80×S(x)S(30)=130(x2+50x).\mathrm{D}(x)=80 \times \dfrac{\mathrm{S}(x)}{\mathrm{S}(30)}=\dfrac{1}{30}\left(x^{2}+50 x\right).
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de D\text{D} sur [0;30].[0\:; 30].

Généralités sur les fonctions

Par lecture graphique :

a. Déterminer la durée de lecture à mi-distance : a-t-on atteint la moitié de la durée totale ?

b. Pour quelle valeur de xx le CD a-t-il été à moitié lu ?

c. La piste d’un morceau de musique commence à la 20e minute et dure 10 minutes : préciser les valeurs de xx de début et de fin du morceau.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 30 ; 32 ; 34 ; 40 ; 46 ; 50 ; 52 et 54
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 56 ; 59 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 49 ; 57 ; 62 et 65

66
[Chercher.]
Un paysagiste souhaite planter trois types de fleurs F1\text{F}_1, F2\text{F}_2 et F3\text{F}_3 dans des carrés concentriques dont les dimensions sont données dans la figure ci-dessous.

Généralités sur les fonctions

On note f1(x)f_1(x), f2(x)f_2(x) et f3(x)f_3(x) les trois aires correspondantes en fonction de x.x.
1. L’ensemble ne doit pas dépasser 80 m de large : à quel intervalle appartient xx ?

2. On peut montrer que, pour tout xx de cet intervalle, f1(x)=x2;f_{1}(x)=x^{2} ; f2(x)=34x+289f_{2}(x)=34 x+289 et f3(x)=16x+336.f_{3}(x)=16 x+336.
On a tracé dans un repère orthogonal les courbes représentatives des fonctions f1,f2,f3f_{1}, f_{2}, f_{3} sur [0;55].[0 \: ;55].

Généralités sur les fonctions

a. Calculer f1(0)f_1(0), f2(0)f_2(0) et f3(0)f_3(0) puis identifier les courbes associées à chacune de ces fonctions.

b. Le paysagiste souhaite planter 1 200 m2 de fleurs F1\text{F}_1 : déterminer graphiquement l’aire des autres fleurs.

3. a. Résoudre algébriquement f2(x)=f3(x)f_{2}(x)=f_{3}(x) puis interpréter.

b. Résoudre graphiquement f1(x)=f3(x).f_{1}(x)=f_{3}(x). Comment vérifier le résultat par le calcul ?

c. Pour quelle valeur de xx l’aire du terrain contenant les fleurs F1\text{F}_1 est-elle identique à l’aire du terrain contenant les fleurs F2\text{F}_2 ?

Club de Maths


71
ÉNIGME

Pour chacun de ces quatre récipients, associer la courbe donnant le volume VV de liquide en fonction de sa hauteur hh dans le récipient.


Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions

Histoire des maths

Hippocrate

Ce résultat, appelé « quadrature des lunules », a été démontré par Hippocrate (460-377 av. J.-C.) et encouragea alors les mathématiciens à poursuivre la recherche d’un autre problème : la quadrature du cercle (tracer à la manière des Grecs, c’est-à-dire à la règle non graduée et au compas, un carré ayant la même aire qu’un disque de rayon donné). Aucun n’y parvint et il aura fallu attendre 1882 pour que Ferdinand von Lindemann démontre que ce problème était insoluble, mettant ainsi un terme à plus de deux millénaires d’efforts !

70
DÉFI

Les trois demi-cercles ci-dessous ont pour diamètre les côtés d’un triangle rectangle.

Généralités sur les fonctions

Montrer que l’aire totale en rouge est égale à l’aire du triangle en bleu.

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
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