Mathématiques 2de

Feuilleter la version papier
















Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

1. Définitions
P.55-58
Page originale ▾

Votre manuel fait peau neuve !
Découvrez ses évolutions via ce bouton :
Entrainement 1


Définitions





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 30 ; 32 ; 34 ; 40 ; 46 ; 50 ; 52 et 54
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 56 ; 59 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 49 ; 57 ; 62 et 65

30
[Représenter.] ◉◉
On considère une fonction vérifiant . Compléter les phrases à trous suivantes :
1. a pour image par la fonction .
2. Le point ( ; ) est un point de la courbe représentative de la fonction .
3. Le nombre réel est une solution de l’équation .
4. Le nombre réel est un antécédent de par la fonction .

31
[Chercher.]
Des six représentations graphiques ci-après, désigner en justifiant celles qui correspondent à des courbes de fonctions.

Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions


32
[Représenter.] ◉◉
Soit une fonction définie sur un ensemble . est la courbe de dans un repère.
Recopier le tableau ci-dessous et compléter les cases vides.

 Égalité  Image  Courbe  Équation  Antécédent
a pour image par
est un point de
Le réel est une solution de l’équation
est un antécédent de par

33
[Modéliser.]
est une fonction définie sur dont on donne le tableau de valeurs suivant.
  -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
  -1 -3 -1 3 2 0 2 1 3

Généralités sur les fonctions
Quatre élèves proposent ci-dessus une représentation graphique de
Laquelle de ces courbes semble la plus satisfaisante ? Justifier.

34
[Représenter.] ◉◉
Les vétérinaires donnent parfois le tableau de correspondance entre l’âge des chats et l’équivalent en âge humain ci-dessous.
Âge du chat (en année) 0,5 1 2 6 12 16
 Âge humain (en année) 10 18 26 42 70 94

On note l’âge du chat en années et l’âge humain équivalent en année.
1. Dans un repère orthogonal, tracer une courbe représentant la fonction sur
Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. Les deux âges sont-ils proportionnels ? Justifier.
AIDE
Quelle est la représentation graphique qui modélise une situation de proportionnalité ?
3. Préciser l’image de et interpréter la réponse.

4. Donner un antécédent de et interpréter la réponse.

35
[Chercher.] ◉◉
On considère les 3 verres ci-après et on note la hauteur du liquide contenu dans chaque verre.
On note les volumes respectifs de liquide (en cL) dans ces 3 verres en fonction de (en cm) jusqu’à remplissage complet.
Généralités sur les fonctions
On a tracé ci-dessous les différentes courbes représentatives des fonctions , .
Généralités sur les fonctions

Pour chacun des 3 verres :
1. Préciser les ensembles de définition des volumes associés ainsi que les images à leurs extrémités. Interpréter ces résultats.

2. Préciser le volume à mi-hauteur, puis la hauteur à mi-contenance.

3. On verse 20 cL : préciser la hauteur du liquide dans chacun des 3 verres.

4. Déterminer les coordonnées des différents points d’intersection et interpréter le résultat.

5. Si on remplit les 3 verres à une même hauteur, est-il possible que les 3 convives aient le même volume de liquide ? Justifier.


36
[Représenter.] ◉◉◉
et sont deux carrés tels que et est un point mobile du segment
Soit l’aire de donnée en fonction d’une grandeur
Généralités sur les fonctions
1. Préciser l’ensemble sur lequel est définie lorsque désigne :
a. la longueur :

b. la longueur :

c. l'angle (en degré) :

2. Peut-on envisager comme une fonction de ? Justifier.

37
[Calculer.]
On considère ici un triangle équilatéral de côté 2.
Le triangle est tel que , et . Son aire dépend d’une grandeur
Généralités sur les fonctions
1. Trouver l’ensemble de définition de l’aire du triangle lorsque désigne :
a. la longueur :

b. la longueur , où est le milieu de :

c. l'angle :

2. La longueur conviendrait-elle comme variable ? Justifier.

38
[Représenter.]
On considère un récipient ayant la forme d’un cône tronqué dont les dimensions, fixes, sont indiquées ci-dessous.
Généralités sur les fonctions

On le remplit d’un certain volume d’eau et on note la hauteur, le rayon et l’apothème (longueur sur la partie latérale) de la partie remplie d’eau.
Le volume d’un cône tronqué est donné par la formule :
et sont les rayons des bases et où est la hauteur.

1. peut être vu à la fois comme une fonction de , de ou de . Préciser l’ensemble de définition de dans chacun de ces 3 cas.

2. Inversement, si on veut étudier , ou en fonction du volume d’eau versée ( devient donc la variable) : sur quel intervalle seront définies ces 3 fonctions ?

39
[Chercher.] ◉◉
Les courbes suivantes représentent, pour les personnes de plus de 40 ans, le pourcentage de personnes vivantes en fonction de leur âge : une courbe pour les fumeurs (en rouge) et une autre pour les non-fumeurs (en vert).
Généralités sur les fonctions
1. Interpréter les données indiquées sur le graphique : 83 % ; 60 % ; 35 % ; 12 % ; 8 ans.

2. Un fumeur est à un âge où 40 % des personnes de sa catégorie (fumeur) sont vivantes.
a. Quel âge a-t-il approximativement ?

b. Quel est le pourcentage des personnes vivantes au même âge dans la catégorie des non-fumeurs ?

c. À quel âge ce fumeur avait-il le même pourcentage de personnes vivantes dans sa catégorie ?

40
[Chercher.] ◉◉
On a représenté ci-dessous l’évolution de la pression partielle en oxygène de l’air en pourcentage en fonction de l’altitude exprimée en kilomètres.

Montagne Everest

Généralités sur les fonctions

1. À l’aide du graphique, déterminer l’altitude et la pression d’oxygène (%) des lieux suivants :
niveau de la mer :
Puy de Dôme :
Aiguille Rouge :
Cervin :
Mont-Blanc :
Kilimandjaro :
Aconcagua :
Cho Oyu :
Everest :

2. Voici les réactions physiologiques d’un alpiniste chevronné face au manque d’oxygène :
• 40 % : fatigue respiratoire ;
• 30 % : mal des montagnes (fortes migraines) ;
• 24 % : danger respiratoire.
Préciser les altitudes relatives à chacun des 3 états ainsi que les sommets correspondants.

41
[Modéliser.]
On considère une boule de rayon et un cylindre de rayon et de hauteur variable . On note leur volume respectif et . La courbe ci-dessous représente le rapport en fonction de .
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
1. Pour quelle valeur de a-t-on ? Interpréter le résultat pour et .

2. Quelle doit être la valeur de pour que le cylindre arrive exactement à la hauteur de la boule (on dit que la boule est circonscrite dans le cylindre) ? Déduire que, dans ce cas,

42
[Représenter.]
On considère la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal
1. Tracer le repère et représenter sur
2. Compléter la courbe de sur l’intervalle pour que soit :
a. une fonction paire sur ;
b. une fonction impaire sur

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

43
[Calculer.]
DÉMO

On considère une fonction définie sur un intervalle centré en et on suppose que est paire.
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Rappeler la définition d’une fonction paire.

2. est le point d’abscisse et est le point d’abscisse tel que et appartiennent à .
a. Quelles sont les ordonnées de et ?

b. Quel lien existe-t-il entre le segment et l’axe des ordonnées ?

3. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de sur ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on alors démontré ?

44
[Raisonner.]
DÉMO

On considère une fonction définie sur un intervalle centré en On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On suppose que est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
1. Soit un point de d’abscisse .
Comment obtient-on l’ordonnée de ?

2. Pourquoi le point , symétrique de par rapport à l’axe des ordonnées, appartient-il aussi à ?

3. Quelles sont les coordonnées du point ? Que peut-on en déduire sur la fonction ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on démontré ?

45
[Raisonner.]
DÉMO

En utilisant les mêmes méthodes que les exercices
43
et
44
, démontrer qu’une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine du repère.

46
[Raisonner.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer la parité de la fonction définie sur .
1.

2.

3.

4.

5.

6.



47
[Représenter.]
On considère un disque de diamètre , un triangle équilatéral et un carré, chacun de côté . On a tracé dans un repère les courbes , et représentant l’aire de chaque figure en fonction de .
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
1. Calculer l’aire du disque et du carré pour . En déduire la courbe associée à chacune de ces 3 figures.

2. On considère un disque de diamètre : préciser les dimensions des deux autres figures de même aire.

3. Même question avec :
a. un carré de côté

b. un triangle équilatéral de côté

48
[Représenter.]
Pour célébrer la victoire de l’équipe de France au mondial de football 2018, un confiseur décide de sortir un bonbon cylindrique de rayon 1 cm à trois bandes : bleue, blanche et rouge. Chaque bande correspond à un arôme différent.
Généralités sur les fonctions
On note la largeur de la bande blanche, son aire, et la largeur des deux autres bandes.
1. À quel intervalle appartient ?

2. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de sur
Généralités sur les fonctions
a. Déterminer la valeur exacte de l’aire du disque de rayon 1.

b. Quelle valeur de a pour image la valeur obtenue au a. ? Justifier.

3. Préciser l’aire de chaque bande lorsque . Quel sera alors l’arôme le plus représenté ?

4. Pour que les trois goûts soient équilibrés, les trois bandes doivent avoir la même aire : calculer l’aire correspondante et préciser alors et

49
[Représenter.] ◉◉◉
Newton
Cubique de Newton.
On a tracé dans un repère les courbes formées par les points vérifiant la relation pour différentes valeurs de et de .
On notera ( ; ) le couple formé par les nombres et correspondants.
Identifier les courbes pouvant correspondre à des représentations graphiques de fonctions.

Généralités sur les fonctions
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.