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Entrainement 1


Définitions





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 30 ; 32 ; 34 ; 40 ; 46 ; 50 ; 52 et 54
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 56 ; 59 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 49 ; 57 ; 62 et 65

30
[Représenter.] ◉◉
On considère une fonction ff vérifiant f(2)=3f(2) = 3. Compléter les phrases à trous suivantes :
1. a pour image par la fonction ff .
2. Le point A\text{A}( ; ) est un point de la courbe représentative de la fonction ff.
3. Le nombre réel est une solution de l’équation f(x)=f(x) = .
4. Le nombre réel est un antécédent de par la fonction ff.

31
[Chercher.]
Des six représentations graphiques ci-après, désigner en justifiant celles qui correspondent à des courbes de fonctions.

Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions


32
[Représenter.] ◉◉
Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD. CfC_f est la courbe de ff dans un repère.
Recopier le tableau ci-dessous et compléter les cases vides.

 Égalité  Image  Courbe  Équation  Antécédent
f(2)=3f(2)=3
11 a pour image 00 par ff
A(2;3)\text{A}(-2\: ; 3) est un point de CfC_f
Le réel 44 est une solution de l’équation f(x)=5f(x) = 5
33 est un antécédent de 4-4 par ff

33
[Modéliser.]
ff est une fonction définie sur [2;2][-2 \:; 2] dont on donne le tableau de valeurs suivant.
 xx -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
 f(x)f(x) -1 -3 -1 3 2 0 2 1 3

Généralités sur les fonctions
Quatre élèves proposent ci-dessus une représentation graphique de f.f.
Laquelle de ces courbes semble la plus satisfaisante ? Justifier.

34
[Représenter.] ◉◉
Les vétérinaires donnent parfois le tableau de correspondance entre l’âge des chats et l’équivalent en âge humain ci-dessous.
Âge du chat (en année) 0,5 1 2 6 12 16
 Âge humain (en année) 10 18 26 42 70 94

On note cc l’âge du chat en années et H(c) H(c) l’âge humain équivalent en année.
1. Dans un repère orthogonal, tracer une courbe représentant la fonction HH sur [0;16].[0 \:; 16].
Lancer le module Geogebra
2. Les deux âges sont-ils proportionnels ? Justifier.
AIDE
Quelle est la représentation graphique qui modélise une situation de proportionnalité ?
3. Préciser l’image de 33 et interpréter la réponse.

4. Donner un antécédent de 6060 et interpréter la réponse.

35
[Chercher.] ◉◉
On considère les 3 verres ci-après et on note hh la hauteur du liquide contenu dans chaque verre.
On note V1(h),V2(h) et V3(h)\mathrm{V}_{1}(h), \mathrm{V}_{2}(h) \text { et } \mathrm{V}_{3}(h) les volumes respectifs de liquide (en cL) dans ces 3 verres en fonction de hh (en cm) jusqu’à remplissage complet.
Généralités sur les fonctions
On a tracé ci-dessous les différentes courbes représentatives des fonctions V1\mathrm{V}_{1}, V2 et V3\mathrm{V}_{2} \text { et } \mathrm{V}_{3}.
Généralités sur les fonctions

Pour chacun des 3 verres :
1. Préciser les ensembles de définition des volumes associés ainsi que les images à leurs extrémités. Interpréter ces résultats.

2. Préciser le volume à mi-hauteur, puis la hauteur à mi-contenance.

3. On verse 20 cL : préciser la hauteur du liquide dans chacun des 3 verres.

4. Déterminer les coordonnées des différents points d’intersection et interpréter le résultat.

5. Si on remplit les 3 verres à une même hauteur, est-il possible que les 3 convives aient le même volume de liquide ? Justifier.


36
[Représenter.] ◉◉◉
ABCD\text{ABCD} et DEFG\text{DEFG} sont deux carrés tels que AB=1\text{AB} = 1 et E\text{E} est un point mobile du segment [DA].[\text{DA}].
Soit S(x)S(x) l’aire de DEFG\text{DEFG} donnée en fonction d’une grandeur x.x.
Généralités sur les fonctions
1. Préciser l’ensemble sur lequel SS est définie lorsque xx désigne :
a. la longueur DE\text{DE} :
b. la longueur DF\text{DF} :
c. l'angle BAF^\widehat{\mathrm{BAF}} (en degré) :
2. Peut-on envisager SS comme une fonction de AF\text{AF} ? Justifier.

37
[Calculer.]
On considère ici un triangle équilatéral ABC\text{ABC} de côté 2.
Le triangle ADE\text{ADE} est tel que D[AB]\mathrm{D} \in[\mathrm{AB}], E[AC]\mathrm{E} \in[\mathrm{AC}] et (DE)//(BC) (\mathrm{DE}) / /(\mathrm{BC}) . Son aire S(x)S(x) dépend d’une grandeur x.x.
Généralités sur les fonctions
1. Trouver l’ensemble de définition de l’aire S(x)S(x) du triangle ADE\text{ADE} lorsque xx désigne :
a. la longueur AD\text{AD} :
b. la longueur AH\text{AH}, où H\text{H} est le milieu de [DE][\text{DE}] :
c. l'angle CBE^\widehat{\mathrm{CBE}} :
2. La longueur BE\text{BE} conviendrait-elle comme variable ? Justifier.

38
[Représenter.]
On considère un récipient ayant la forme d’un cône tronqué dont les dimensions, fixes, sont indiquées ci-dessous.
Généralités sur les fonctions

On le remplit d’un certain volume VV d’eau et on note H\text{H} la hauteur, R\text{R} le rayon et A\text{A} l’apothème (longueur sur la partie latérale) de la partie remplie d’eau.
Le volume vv d’un cône tronqué est donné par la formule : v=π3(R2+r2+R×r)×Hv=\dfrac{\pi}{3}\left(\mathrm{R}^{2}+r^{2}+\mathrm{R} \times r\right) \times \mathrm{H}
R\text{R} et rr sont les rayons des bases et où H\text{H} est la hauteur.

1. VV peut être vu à la fois comme une fonction de H\text{H}, de R\text{R} ou de A\text{A}. Préciser l’ensemble de définition de VV dans chacun de ces 3 cas.

2. Inversement, si on veut étudier H\text{H}, R\text{R} ou A\text{A} en fonction du volume VV d’eau versée (VV devient donc la variable) : sur quel intervalle seront définies ces 3 fonctions ?

39
[Chercher.] ◉◉
Les courbes suivantes représentent, pour les personnes de plus de 40 ans, le pourcentage de personnes vivantes en fonction de leur âge : une courbe pour les fumeurs (en rouge) et une autre pour les non-fumeurs (en vert).
Généralités sur les fonctions
1. Interpréter les données indiquées sur le graphique : 83 % ; 60 % ; 35 % ; 12 % ; 8 ans.

2. Un fumeur est à un âge où 40 % des personnes de sa catégorie (fumeur) sont vivantes.
a. Quel âge a-t-il approximativement ?

b. Quel est le pourcentage PP des personnes vivantes au même âge dans la catégorie des non-fumeurs ?

c. À quel âge ce fumeur avait-il le même pourcentage PP de personnes vivantes dans sa catégorie ?

40
[Chercher.] ◉◉
On a représenté ci-dessous l’évolution de la pression partielle en oxygène de l’air en pourcentage en fonction de l’altitude exprimée en kilomètres.

Montagne Everest

Généralités sur les fonctions

1. À l’aide du graphique, déterminer l’altitude et la pression d’oxygène (%) des lieux suivants :
niveau de la mer :
Puy de Dôme :
Aiguille Rouge :
Cervin :
Mont-Blanc :
Kilimandjaro :
Aconcagua :
Cho Oyu :
Everest :

2. Voici les réactions physiologiques d’un alpiniste chevronné face au manque d’oxygène :
• 40 % : fatigue respiratoire ;
• 30 % : mal des montagnes (fortes migraines) ;
• 24 % : danger respiratoire.
Préciser les altitudes relatives à chacun des 3 états ainsi que les sommets correspondants.

41
[Modéliser.]
On considère une boule de rayon 11 et un cylindre de rayon 11 et de hauteur variable hh. On note leur volume respectif VBV_{\mathrm{B}} et VCV_{\mathrm{C}}. La courbe ci-dessous représente le rapport P(h)=VBVC\mathrm{P}(h)=\dfrac{V_{\mathrm{B}}}{V_{\mathrm{C}}} en fonction de hh.
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
1. Pour quelle valeur de hh a-t-on P(h)=1\text{P}(h) = 1 ? Interpréter le résultat pour VBV_{\mathrm{B}} et VCV_{\mathrm{C}}.

2. Quelle doit être la valeur de hh pour que le cylindre arrive exactement à la hauteur de la boule (on dit que la boule est circonscrite dans le cylindre) ? Déduire que, dans ce cas, VB=23VC.V_{\mathrm{B}}=\dfrac{2}{3} V_{\mathrm{C}}.

Histoire des maths

Archimède

C’est en montrant cette relation qu’Archimède a démontré la formule du volume d’une boule, connaissant celle des cylindres : 43π×R3.\dfrac{4}{3} \pi \times \mathrm{R}^{3}.

42
[Représenter.]
On considère la fonction gg définie sur [0;3][0\: ; 3] par g(x)=x2g(x) = x^2. On note CgC_g sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;I,J).(\text{O} ; \text{I} , \text{J}) .
1. Tracer le repère et représenter CgC_g sur [0;3].[0 \:; 3] .
2. Compléter la courbe de gg sur l’intervalle [3;0][-3\:;0] pour que gg soit :
a. une fonction paire sur [3;3][-3\: ; 3] ;
b. une fonction impaire sur [3;3]. [-3 \:; 3].

Lancer le module Geogebra

43
[Calculer.]
DÉMO

On considère une fonction ff définie sur un intervalle I\text{I} centré en 00 et on suppose que ff est paire.
On note CfC_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Rappeler la définition d’une fonction paire.

2. A\text{A} est le point d’abscisse xx et B\text{B} est le point d’abscisse x-x xIx \in \text{I} tel que A\text{A} et B\text{B} appartiennent à CfC_f.
a. Quelles sont les ordonnées de A\text{A} et B\text{B} ?

b. Quel lien existe-t-il entre le segment [AB][\text{AB}] et l’axe des ordonnées ?

3. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de ff sur I\text{I} ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on alors démontré ?

44
[Raisonner.]
DÉMO

On considère une fonction gg définie sur un intervalle II centré en 0.0. On note CgC_g sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On suppose que CgC_g est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
1. Soit M\text{M} un point de CgC_g d’abscisse xxxIx \in I.
Comment obtient-on l’ordonnée de M\text{M} ?

2. Pourquoi le point N\text{N}, symétrique de M\text{M} par rapport à l’axe des ordonnées, appartient-il aussi à CgC_g ?

3. Quelles sont les coordonnées du point N\text{N} ? Que peut-on en déduire sur la fonction gg ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on démontré ?

45
[Raisonner.]
DÉMO

En utilisant les mêmes méthodes que les exercices
43
et
44
, démontrer qu’une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine du repère.
LOGIQUE
On démontrera cette équivalence en deux étapes.
1. On suppose que la fonction est impaire et on en déduit une propriété graphique.
2. On suppose que la courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère et on en déduit une propriété sur la fonction.

46
[Raisonner.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer la parité de la fonction ff définie sur R\mathbb{R}.
1. f(x)=x31f(x)=x^{3}-1

2. f(x)=x2+1f(x)=x^{2}+1

3. f(x)=5x2+3x4f(x)=-5 x^{2}+3 x^{4}

4. f(x)=2x4x3f(x)=2 x-4 x^{3}

5. f(x)=x2+1f(x)=\sqrt{x^{2}+1}

6. f(x)=(x+5)2f(x)=(x+5)^{2}



47
[Représenter.]
On considère un disque de diamètre xx, un triangle équilatéral et un carré, chacun de côté xx. On a tracé dans un repère (O;I,J)(\text{O} ; \text{I}, \text{J}) les courbes C1C_1, C2C_2 et C3C_3 représentant l’aire de chaque figure en fonction de xx .
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
1. Calculer l’aire du disque et du carré pour x=2 x = 2. En déduire la courbe associée à chacune de ces 3 figures.

2. On considère un disque de diamètre 11 : préciser les dimensions des deux autres figures de même aire.

3. Même question avec :
a. un carré de côté 1;1\: ;

b. un triangle équilatéral de côté 1.1.

48
[Représenter.]
Pour célébrer la victoire de l’équipe de France au mondial de football 2018, un confiseur décide de sortir un bonbon cylindrique de rayon 1 cm à trois bandes : bleue, blanche et rouge. Chaque bande correspond à un arôme différent.
Généralités sur les fonctions
On note xx la largeur de la bande blanche, S(x)S(x) son aire, et yy la largeur des deux autres bandes.
1. À quel intervalle appartient xx ?
2. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de SS sur [0;2].[0\: ; 2].
Généralités sur les fonctions
a. Déterminer la valeur exacte de l’aire du disque de rayon 1.

b. Quelle valeur de xx a pour image la valeur obtenue au a. ? Justifier.

3. Préciser l’aire de chaque bande lorsque x=yx = y. Quel sera alors l’arôme le plus représenté ?

4. Pour que les trois goûts soient équilibrés, les trois bandes doivent avoir la même aire : calculer l’aire correspondante et préciser alors xx et y.y.

49
[Représenter.] ◉◉◉
Newton
Cubique de Newton.
On a tracé dans un repère les courbes formées par les points M(x;y)\text{M}(x\: ;y) vérifiant la relation x3+y3=3xy+ax+byx^{3}+y^{3}=3 x y+a x+b y pour différentes valeurs de aa et de bb .
On notera (aa ; bb) le couple formé par les nombres aa et bb correspondants.
Identifier les courbes pouvant correspondre à des représentations graphiques de fonctions.

Généralités sur les fonctions
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