Définitions

Différenciation

Parcours 1 : exercices

30

;

32

;

34

;

40

;

46

;

50

;

52

et

54

Parcours 2 : exercices

35

;

39

;

56

;

59

et

68

Parcours 3 : exercices

36

;

49

;

57

;

62

et

65

30

[Représenter.]
On considère une fonction $f$ vérifiant $f(2)=3.$
Compléter les phrases à trous suivantes :
1.

a pour image

par la fonction $f.$
2. Le point $\text{A}$(

;

) est un point de la courbe représentative de la fonction $f.$
3. Le nombre réel

est une solution de l'équation $f(x)=$

.
4. Le nombre réel

est un antécédent de

par la fonction $f.$

36

[Représenter.]
$\text{ABCD}$ et $\text{DEFG}$ sont deux carrés tels que $\text{AB}=1$ et $\text{E}$ est un point mobile du segment $[\text{DA}].$
Soit $S(x)$ l'aire de $\text{DEFG}$ donnée en fonction d'une grandeur $x.$


1. Préciser l'ensemble sur lequel $S$ est définie lorsque $x$ désigne :
a. la longueur $\text{DE}$ :

b. la longueur $\text{DF}$ :

c. l'angle $\widehat{\mathrm{BAF}}$ (en degré) :

2. Peut-on envisager $S$ comme une fonction de $\text{AF}$ ? Justifier.

37

[Calculer.]
On considère ici un triangle équilatéral $\text{ABC}$ de côté 2.
Le triangle $\text{ADE}$ est tel que $\mathrm{D}\in [\mathrm{AB}]$, $\mathrm{E}\in [\mathrm{AC}]$ et $(\mathrm{DE})//(\mathrm{BC})$. Son aire $S(x)$ dépend d'une grandeur $x.$


1. Trouver l'ensemble de définition de l'aire $S(x)$ du triangle $\text{ADE}$ lorsque $x$ désigne :
a. la longueur $\text{AD}$ :

b. la longueur $\text{AH}$, où $\text{H}$ est le milieu de $[\text{DE}]$  :

c. l'angle $\widehat{\mathrm{CBE}}$ :

2. La longueur $\text{BE}$ conviendrait-elle comme variable ? Justifier.

38

[Représenter.]
On considère un récipient ayant la forme d'un cône tronqué dont les dimensions, fixes, sont indiquées ci-dessous.


On le remplit d'un certain volume $V$ d'eau et on note $\text{H}$ la hauteur, $\text{R}$ le rayon et $\text{A}$ l'apothème (longueur sur la partie latérale) de la partie remplie d'eau.

Le volume $v$ d'un cône tronqué est donné par la formule : $v=\frac{\pi }{3}\left({\mathrm{R}}^2+r^2+\mathrm{R}\times r\right)\times \mathrm{H}$
où $\text{R}$ et $r$ sont les rayons des bases et où $\text{H}$ est la hauteur.

1. $V$ peut être vu à la fois comme une fonction de $\text{H}$, de $\text{R}$ ou de $\text{A}$. Préciser l'ensemble de définition de $V$ dans chacun de ces 3 cas.

2. Inversement, si on veut étudier $\text{H}$, $\text{R}$ ou $\text{A}$ en fonction du volume $V$ d'eau versée ($V$ devient donc la variable) : sur quel intervalle seront définies ces 3 fonctions ?

39

[Chercher.]
Les courbes suivantes représentent, pour les personnes de plus de 40 ans, le pourcentage de personnes vivantes en fonction de leur âge : une courbe pour les fumeurs (en rouge) et une autre pour les non-fumeurs (en vert).


1. Interpréter les données indiquées sur le graphique : 83 % ; 60 % ; 35 % ; 12 % ; 8 ans.

Insérer une formule mathématique

2. Un fumeur est à un âge où 40 % des personnes de sa catégorie (fumeur) sont vivantes.
a. Quel âge a-t-il approximativement ?

Insérer une formule mathématique

b. Quel est le pourcentage $P$ des personnes vivantes au même âge dans la catégorie des non-fumeurs ?

Insérer une formule mathématique

c. À quel âge ce fumeur avait-il le même pourcentage $P$ de personnes vivantes dans sa catégorie ?

Insérer une formule mathématique

43

[Calculer.]
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $\text{I}$ centré en $0$ et on suppose que $f$ est paire.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Rappeler la définition d'une fonction paire.

2. $\text{A}$ est le point d'abscisse $x$ et $\text{B}$ est le point d'abscisse $-x$ où $x\in \text{I}$ tel que $\text{A}$ et $\text{B}$ appartiennent à $C_f$.
a. Quelles sont les ordonnées de $\text{A}$ et $\text{B}$ ?

b. Quel lien existe-t-il entre le segment $[\text{AB}]$ et l'axe des ordonnées ?

3. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ sur $\text{I}$ ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on alors démontré ?

44

Démo

[Raisonner.]
On considère une fonction $g$ définie sur un intervalle $I$ centré en $0.$ On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On suppose que $C_g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

1. Soit $\text{M}$ un point de $C_g$ d'abscisse $x$ où $x\in I$.
Comment obtient-on l'ordonnée de $\text{M}$ ?

2. Pourquoi le point $\text{N}$, symétrique de $\text{M}$ par rapport à l'axe des ordonnées, appartient-il aussi à $C_g$ ?

3. Quelles sont les coordonnées du point $\text{N}$ ? Que peut-on en déduire sur la fonction $g$ ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on démontré ?