Différenciation

Parcours 1 : exercices

30

;

32

;

34

;

40

;

46

;

50

;

52

et

54

Parcours 2 : exercices

35

;

39

;

56

;

59

et

68

Parcours 3 : exercices

36

;

49

;

57

;

62

et

65

30

[Représenter.]
On considère une fonction f vérifiant {f(2) = 3.}
Compléter les phrases à trous suivantes :
1.

a pour image

par la fonction f.
2. Le point \text{A}(

;

) est un point de la courbe représentative de la fonction f.
3. Le nombre réel

est une solution de l'équation f(x) =

.
4. Le nombre réel

est un antécédent de

par la fonction f.

36

[Représenter.]
\text{ABCD} et \text{DEFG} sont deux carrés tels que \text{AB} = 1 et \text{E} est un point mobile du segment [\text{DA}].
Soit S(x) l'aire de \text{DEFG} donnée en fonction d'une grandeur x.


1. Préciser l'ensemble sur lequel S est définie lorsque x désigne :
a. la longueur \text{DE} :

b. la longueur \text{DF} :

c. l'angle \widehat{\mathrm{BAF}} (en degré) :

2. Peut-on envisager S comme une fonction de \text{AF} ? Justifier.

37

[Calculer.]
On considère ici un triangle équilatéral \text{ABC} de côté 2.
Le triangle \text{ADE} est tel que \mathrm{D} \in[\mathrm{AB}], \mathrm{E} \in[\mathrm{AC}] et (\mathrm{DE}) / /(\mathrm{BC}) . Son aire S(x) dépend d'une grandeur x.


1. Trouver l'ensemble de définition de l'aire S(x) du triangle \text{ADE} lorsque x désigne :
a. la longueur \text{AD} :

b. la longueur \text{AH}, où \text{H} est le milieu de [\text{DE}]  :

c. l'angle \widehat{\mathrm{CBE}} :

2. La longueur \text{BE} conviendrait-elle comme variable ? Justifier.

38

[Représenter.]
On considère un récipient ayant la forme d'un cône tronqué dont les dimensions, fixes, sont indiquées ci-dessous.


On le remplit d'un certain volume V d'eau et on note \text{H} la hauteur, \text{R} le rayon et \text{A} l'apothème (longueur sur la partie latérale) de la partie remplie d'eau.

Le volume v d'un cône tronqué est donné par la formule : v=\dfrac{\pi}{3}\left(\mathrm{R}^{2}+r^{2}+\mathrm{R} \times r\right) \times \mathrm{H}
où \text{R} et r sont les rayons des bases et où \text{H} est la hauteur.

1. V peut être vu à la fois comme une fonction de \text{H}, de \text{R} ou de \text{A}. Préciser l'ensemble de définition de V dans chacun de ces 3 cas.

2. Inversement, si on veut étudier \text{H}, \text{R} ou \text{A} en fonction du volume V d'eau versée (V devient donc la variable) : sur quel intervalle seront définies ces 3 fonctions ?

39

[Chercher.]
Les courbes suivantes représentent, pour les personnes de plus de 40 ans, le pourcentage de personnes vivantes en fonction de leur âge : une courbe pour les fumeurs (en rouge) et une autre pour les non-fumeurs (en vert).


1. Interpréter les données indiquées sur le graphique : 83 % ; 60 % ; 35 % ; 12 % ; 8 ans.

2. Un fumeur est à un âge où 40 % des personnes de sa catégorie (fumeur) sont vivantes.
a. Quel âge a-t-il approximativement ?

b. Quel est le pourcentage P des personnes vivantes au même âge dans la catégorie des non-fumeurs ?

c. À quel âge ce fumeur avait-il le même pourcentage P de personnes vivantes dans sa catégorie ?

43

[Calculer.]
On considère une fonction f définie sur un intervalle \text{I} centré en 0 et on suppose que f est paire.
On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Rappeler la définition d'une fonction paire.

2. \text{A} est le point d'abscisse x et \text{B} est le point d'abscisse -x où x \in \text{I} tel que \text{A} et \text{B} appartiennent à C_f.
a. Quelles sont les ordonnées de \text{A} et \text{B} ?

b. Quel lien existe-t-il entre le segment [\text{AB}] et l'axe des ordonnées ?

3. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f sur \text{I} ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on alors démontré ?

44

Démo

[Raisonner.]
On considère une fonction g définie sur un intervalle I centré en 0. On note C_g sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On suppose que C_g est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

1. Soit \text{M} un point de C_g d'abscisse x où x \in I.
Comment obtient-on l'ordonnée de \text{M} ?

2. Pourquoi le point \text{N}, symétrique de \text{M} par rapport à l'axe des ordonnées, appartient-il aussi à C_g ?

3. Quelles sont les coordonnées du point \text{N} ? Que peut-on en déduire sur la fonction g ?

4. Quelle propriété du cours a-t-on démontré ?