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Un triangle étudié… de long en large !
P.52

TRAVAILLER ENSEMBLE


Un triangle étudié… de long en large !





Le plan est muni d’un repère orthonormé d’unité de longueur fixée. On considère les points suivants : A(3;0)\text{A} (-3\: ; 0), B(3;0)\text{B} (3\: ; 0) , D(5;0)\text{D} (-5\: ; 0) et E(5;0).\text{E} (5\: ; 0). Le point C(x;y)\text{C}(x\:;y) est un point mobile sur le demi-cercle de diamètre [DE][\text{DE}] : on a donc x[5;5].x \in [-5\: ; 5] .
Le but est d’étudier des propriétés du triangle ABC\text{ABC} par la mise en commun de résultats.
Question préliminaire : Laquelle des trois longueurs de ABC\text{ABC} ne varie pas lorsque C\text{C} décrit le demi-cercle ? Préciser alors sa valeur.

Un triangle étudié… de long en large !

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ☆☆

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CH\text{CH} est la hauteur issue de C\text{C}. On note hh la longueur CH\text{CH} et on admet que hh est définie sur l’intervalle [5;5][-5\: ; 5] par h(x)=25x2.h(x) = \sqrt{25 - x^2}.
1. Déterminer les images de 4-4 ; 00 et 44 par hh et interpréter les résultats.


2. Construire un tableau de valeurs sur [5;5][-5\: ; 5] en calculant suffisamment d’images pour ensuite représenter à la main la courbe de hh dans un repère orthonormé.


3. Déterminer graphiquement les antécédents de 44 par hh et interpréter le résultat.


4. Résoudre graphiquement h(x)=0h(x) = 0 et interpréter le résultat à l’aide du contexte.


PARTIE 2 ☆☆

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On note ff la longueur du segment [AC].[\text{AC}]. On admet que ff est définie sur l’intervalle [5;5][-5\: ; 5] par f(x)=6x+34f(x)=\sqrt{6 x+34}.
1. Déterminer les images respectives de 5;4;0;4-5\: ; -4\: ; 0\: ; 4 et 55 par ff et interpréter les résultats.


2. Construire un tableau de valeurs sur [5;5][-5\: ; 5] en calculant suffisamment d’images pour ensuite représenter à la main la courbe de ff dans un repère orthonormé.


3. Déterminer graphiquement les éventuels antécédents de 44 par f.f.


4. Résoudre graphiquement f(x)=6f(x) = 6 et interpréter le résultat.


PARTIE 3 ☆☆

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On note gg la longueur du segment [BC].[\text{BC}]. On admet que gg est définie sur l’intervalle [5;5][-5 \:; 5] par g(x)=6x+34g(x)=\sqrt{-6 x+34}.

1. Déterminer les images respectives de 5;4;0;4-5\: ; -4\: ; 0\: ; 4 et 55 par gg et interpréter les résultats


2. Construire un tableau de valeurs sur [5;5][-5\: ; 5] en calculant suffisamment d’images pour ensuite représenter à la main la courbe de gg dans un repère orthonormé.


3. Déterminer les éventuels antécédents de 44 par gg.


4. Résoudre g(x)=6g(x) = 6 et interpréter le résultat.

Mise en commun

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1. En utilisant les résultats obtenus précédemment avec les fonctions ff, gg et hh, recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.
 xx -5 -4 -3 -0,3 0 0,3 3 4 5
 h(x)h(x)
 f(x)f(x)
 g(x)g(x)

2. Préciser les valeurs de xx pour lesquelles le triangle ABC\text{ABC} est plat. Préciser alors ses longueurs.

3. Préciser les valeurs de xx pour lesquelles le triangle ABC\text{ABC} est rectangle.

4. a. Existe-t-il une valeur de xx pour laquelle le triangle ABC\text{ABC} est isocèle en C\text{C} ? Préciser alors ses longueurs et calculer son aire.

b. Existe-t-il d’autres valeurs de xx pour lesquelles le triangle ABC\text{ABC} est isocèle ?

c. Le triangle ABC\text{ABC} peut-il être équilatéral ? Justifier.
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