Un triangle étudié… de long en large !

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité de longueur fixée. On considère les points suivants : $\text{A}(-3;0)$, $\text{B}(3;0)$, $\text{D}(-5;0)$ et $\text{E}(5;0).$ Le point $\text{C}(x;y)$ est un point mobile sur le demi-cercle de diamètre $[\text{DE}]$ : on a donc $x\in [-5;5].$
Le but est d'étudier des propriétés du triangle $\text{ABC}$ par la mise en commun de résultats.

Question préliminaire : Laquelle des trois longueurs de $\text{ABC}$ ne varie pas lorsque $\text{C}$ décrit le demi-cercle ? Préciser alors sa valeur.

1. Déterminer les images de $-4$ ; $0$ et $4$ par $h$ et interpréter les résultats.

2. Construire un tableau de valeurs sur $[-5;5]$ en calculant suffisamment d'images pour ensuite représenter à la main la courbe de $h$ dans un repère orthonormé.

3. Déterminer graphiquement les antécédents de $4$ par $h$ et interpréter le résultat.

4. Résoudre graphiquement $h(x)=0$ et interpréter le résultat à l'aide du contexte.

1. Déterminer les images respectives de $-5;-4;0;4$ et $5$ par $f$ et interpréter les résultats.

2. Construire un tableau de valeurs sur $[-5;5]$ en calculant suffisamment d'images pour ensuite représenter à la main la courbe de $f$ dans un repère orthonormé.

3. Déterminer graphiquement les éventuels antécédents de $4$ par $f.$

4. Résoudre graphiquement $f(x)=6$ et interpréter le résultat.

1. Déterminer les images respectives de $-5;-4;0;4$ et $5$ par $g$ et interpréter les résultats

2. Construire un tableau de valeurs sur $[-5;5]$ en calculant suffisamment d'images pour ensuite représenter à la main la courbe de $g$ dans un repère orthonormé.

3. Déterminer les éventuels antécédents de $4$ par $g$.

4. Résoudre $g(x)=6$ et interpréter le résultat.

1. En utilisant les résultats obtenus précédemment avec les fonctions $f$, $g$ et $h$, recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

2. Préciser les valeurs de $x$ pour lesquelles le triangle $\text{ABC}$ est plat. Préciser alors ses longueurs.

3. Préciser les valeurs de $x$ pour lesquelles le triangle $\text{ABC}$ est rectangle.

4. a. Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle le triangle $\text{ABC}$ est isocèle en $\text{C}$ ? Préciser alors ses longueurs et calculer son aire.

b. Existe-t-il d'autres valeurs de $x$ pour lesquelles le triangle $\text{ABC}$ est isocèle ?

c. Le triangle $\text{ABC}$ peut-il être équilatéral ? Justifier.