Entrainement 2


Résolution graphique d’équations du type f(x)=kf(x)=k et f(x)=g(x)f(x)=g(x)





51
[Chercher.]
On considère la hauteur H\text{H}, en mètre, d’un type d’arbre en fonction de son âge tt (en mois).

Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

1. Déterminer et interpréter H(1)\mathrm{H}(1).

2. Ces arbres sont commercialisables dès qu’ils mesurent au moins 2 m : traduire cela par une inéquation et la résoudre.

3. À partir de quelle année ces arbres atteignent-ils leur hauteur maximale ?

4. Dès qu’ils atteignent 3,5 m, Jean taille ses arbres à une hauteur de 3 m. Les arbres repoussent au même rythme : quelle sera la fréquence des coupes après la première ?

63
[Modéliser.]
Élizabeth doit étudier une fonction définie sur I=[2;3]\text{I} = [-2\: ; 3] mais elle ne sait plus s’il s’agit de la fonction ff ou de la fonction gg définies sur I\text{I} respectivement par : f(x)=2x48x2+3f(x)=2 x^{4}-8 x^{2}+3 et g(x)=3cos(180x).g(x)=3 \cos (180 x).
Voici un tableau de valeurs de la fonction qu’elle doit étudier.

xx -2 -1 0 1 2
Image de xx 3 -3 3 -3 3

1. Le tableau de valeur permet-il de conclure ? Justifier.

2. Quelle interprétation graphique peut-on donner au résultat précédent ?

3. Quelle indication supplémentaire peut-on donner à Élizabeth sachant qu’elle doit retrouver la courbe de la fonction ff ?

54
[Chercher.] ◉◉
Un sablier est formé de deux cylindres de hauteur 25 cm reliés par un petit tube.
On a tracé la hauteur H\text{H} en centimètre du sable écoulé en fonction du temps tt en seconde à partir du moment où on retourne le sablier.

Sablier

Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

1. Au bout de combien de temps le sable est-il complètement écoulé ?

2. Préciser la hauteur au bout de 2 min ; 5 min ; à mi-temps d’écoulement.

3. Préciser le temps écoulé lorsque le sable est à mi-hauteur du sablier.

4. a. Encadrer la hauteur de sable pour un temps compris entre 3 min 30 s et 5 min 30 s.

b. Encadrer le temps écoulé pour une hauteur comprise entre 10 et 15 cm.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 30 ; 32 ; 34 ; 40 ; 46 ; 50 ; 52 et 54
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 56 ; 59 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 49 ; 57 ; 62 et 65

50
[Chercher.] ◉◉
Dans chaque cas, on a représenté dans un repère orthonormé une fonction ff définie sur R\mathbb{R} :
a.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)
b.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

c.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)
d.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

Pour chacune d’elle,
1. préciser graphiquement, les solutions des équations f(x)=0,5f(x)=-0{,}5 ; f(x)=0f(x)=0, f(x)=1f(x)=1 et f(x)=2f(x)=2 ;

2. déterminer, suivant les valeurs de kk , le nombre de solutions de l’équation f(x)=kf(x)=kkR.k \in \mathbb{R}.

61
[Modéliser.]
La proportion kk d’un rectangle est k= Longueur  largeur =Lk=\dfrac{\text { Longueur }}{\text { largeur }}=\dfrac{\mathrm{L}}{\ell}
On considère une feuille 1 de proportion kk et pour laquelle L2 \mathrm{L} \le 2\ell. On la plie en 2 pour obtenir la feuille 2.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

1. a. Montrer que la proportion de la feuille 2 est égale à 2k.\dfrac{2}{k}.

b. Pour les formats d’édition de livres, la proportion des deux feuilles doit être la même : déduire que kk doit vérifier l’équation k=2k.k = \dfrac{2}{k}.

2. On considère les représentations graphiques des fonctions f:xxf : x \mapsto x et g:x2x.g : x \mapsto \dfrac{2}{x}.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

a. Trouver graphiquement la proportion kk vérifiant la relation de la question 1. b.

b. Vérifier que les formats A4 (29,7 ×\times 21) et A3 (42 ×\times 29,7) ont bien approximativement cette proportion.

60
CALCULATRICE
[Chercher.]
Pascal demande à ses élèves de choisir un entier naturel puis d’effectuer la séquence suivante à la calculatrice :

-
5
EXE
x2
EXE
Ans
-
9
EXE


1. Carl choisit 3 : déterminer le résultat en détaillant la démarche.

2. Montrer que, pour tout entier N\text{N}, le résultat est R(N)=(N5)29\mathrm{R}(\mathrm{N})=(\mathrm{N}-5)^{2}-9.

3. À l’aide de la calculatrice, répondre aux questions suivantes :
a. Amed et Chloé ont trouvé 9-9 et 2727 : quelle valeur de xx ont-ils choisie ?

b. Léo et Léa ont choisi des entiers différents mais ont tous les deux trouvé 00 : que peut-on conclure ?


c. Jeff et Annie ont trouvé respectivement 10-10 et 2020 : que peut-on affirmer ?


53
[Représenter.]
Dans chaque cas, résoudre algébriquement l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) puis interpréter graphiquement l’ensemble des solutions.

1. f(x)=2x+3f(x)=2 x+3 et g(x)=5g(x)=5

2. f(x)=3x2f(x)=3 x-2 et g(x)=4x+13g(x)=-4 x+\dfrac{1}{3}

3. f(x)=9x2f(x)=9 x^{2} et g(x)=6x1g(x)=6 x-1

4. f(x)=2x3xf(x)=2 x^{3}-x et g(x)=3x2xg(x)=3 x^{2}-x


AIDE

On pourra se ramener à l’équation f(x)=g(x)=0f(x)=g(x)=0 pour ensuite factoriser.

56
[Modéliser.] ◉◉
Les vétérinaires donnent parfois le tableau de correspondance entre l’âge des chats cc en année et l’équivalent en âge humain en année H(c):\mathrm{H}(c)\,:

Âge du chat (en année) 0,5 1 2 6 12 16
Âge humain (en année) 10 18 26 42 70 94

On peut approcher la fonction H\text{H} pour tout c0c \geqslant 0 par H(c)=5c(c+1)3c3+1\mathrm{H}(c)=\dfrac{5 c(c+1)^{3}}{c^{3}+1}.

1. Tracer un tableau de valeurs à la calculatrice sur l’intervalle [0;16][0 \: ; 16] : cette modélisation est-elle raisonnablement acceptable en comparaison à ce que l’on peut observer dans le tableau ?

2. Calculer et interpréter H(14)\text{H}(14).

3. À l’aide d’un tableau de valeurs, estimer l’âge d’un chat qui aurait l’âge canonique de 115 ans en âge humain.


62
EN PHYSIQUE
[Modéliser.] ◉◉◉
Base jumping

Pour évaluer la hauteur d’une falaise en montagne, les base jumpers (« sauteurs de falaises ») ont pour technique de lancer une pierre du haut de la falaise et d’écouter son écho lorsque celle-ci touche le sol.
Suivant le temps écoulé entre le lâcher de la pierre et le son de la chute, ils déduisent la hauteur de la falaise. En négligeant les frottements de l’air et la vitesse du son lors d’une chute libre, la relation entre la hauteur de chute hh en mètre et le temps de chute tt en seconde est h=12gt2h=\dfrac{1}{2} g t^{2}g9,8g \approx 9{,}8 m·s-2.

1. Exprimer tt en fonction de gg et hh.

2. Déterminer par le calcul le temps correspondant à une hauteur de 50 m puis de 100 m.

3. Déterminer par le calcul la hauteur correspondant à une chute de 1 seconde, 4 secondes puis 7 secondes.

4. Sachant que la vitesse du son est de 340 m·s-1 et que, dans ce cas, T=T = (Temps de la chute) + (Temps pour que le son remonte la falaise), déterminer, à l’aide de la calculatrice, la hauteur de la falaise lorsque T=T = 7 secondes. Comparer avec le résultat précédent.

58
[Représenter.]
On considère un cadre formé de deux rectangles ABCD\text{ABCD} et EFGH\text{EFGH}. ABCD\text{ABCD} a une proportion égale à 1,5 : c’est-à-dire qu’en notant BC=x\text{BC}= x, on a AB=1,5x\text{AB}= 1{,}5x. On suppose que la largeur de la bande est de 1 cm.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)
1. Exprimer le périmètre P1P_1 et l’aire S1S_1 de ABCD\text{ABCD} en fonction de xx.

2. Exprimer le périmètre P2P_2 et l’aire S2S_2 de EFGH\text{EFGH} en fonction de xx.

3. Exprimer les longueurs AC\text{AC} et EG\text{EG} en fonction de xx.

4. On a une photo de dimensions 10 cm ×\times15 cm (donc x=10x = 10) : déterminer l’aire de EFGH\text{EFGH} et les longueurs AC\text{AC} et EG\text{EG}.

59
[Chercher.] ◉◉
On a représenté ci-dessous l’évolution du pourcentage de charge d’une batterie de téléphone mobile en fonction du temps tt écoulé à partir de la pleine charge (en heure), suivant s’il est en mode veille (noté V(t)\mathrm{V}(t) en bleu) ou en mode conversation (noté C(t)\mathrm{C}(t) en rouge).

Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

1. Déterminer et interpréter V(0)\mathrm{V}(0) et C(0)\mathrm{C}(0).

2. Résoudre puis interpréter V(t)=0\mathrm{V}(t)=0 puis C(t)=0\mathrm{C}(t)=0.

3. Voici deux modes du téléphone :
  • mode économie d’énergie à 50 % de batterie restant ;
  • mode alerte à 20 % de batterie restant.
Situer les temps correspondant à ces deux modes en veille puis en conversation.

4. Une personne prend son téléphone chargé et discute pendant une heure.

a. Combien lui reste-t-il de temps d’autonomie en mode veille ?

b. Cette personne décide de rappeler deux heures plus tard. Combien lui restera-t-il de temps de conversation ?

55
[Chercher.]
En remplaçant le sable par un liquide, on obtient une clepsydre. On obtient alors la courbe bleue ci-dessous.

Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

On retourne la clepsydre et le sablier en même temps :
1. Y aura-t-il des moments où les hauteurs d’eau et de sable seront identiques ? Préciser.

2. a. La hauteur du sable est de 10 cm : quelle est alors la hauteur de l’eau ?

b. La hauteur de l’eau est de 15 cm : quelle est alors la hauteur du sable ?

52
[Chercher.] ◉◉
Dans chaque cas, on a tracé dans un repère orthogonal (O;I;J)(\text{O};\text{I};\text{J}) la courbe représentative d’une fonction ff et d’une fonction gg définies sur R\mathbb{R}.
a.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)
b.
Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)


Dans chaque cas, résoudre graphiquement f(x)=g(x)f(x)=g(x).

57
[Chercher.] ◉◉◉
L’échelle de Richter (1900-1985) est utilisée pour mesurer la magnitude (« force ») des séismes. On admet que l’énergie EE (en Joule) libérée lors d’un séisme s’exprime en fonction de la magnitude mm par E(m)=301,13m+3E(m)=30^{1{,}13 m+3} dont la courbe est donnée ci-dessous.

Mont Fuji

Résolution graphique d’équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)

1. Calculer et interpréter E(8)E(8) ; E(8,5)E(8{,}5) et E(9)E(9).

2. a. Le 11 mars 2011 s’est produit à Fukushima (Japon) un séisme de magnitude 9,1 : lire sur la courbe l’énergie libérée.

b. En France métropolitaine, les séismes les plus forts dépassent très rarement la magnitude 5 : montrer que l’énergie d’une telle magnitude est de l’ordre du millionième par rapport au séisme de Fukushima.

c. Un essai nucléaire a libéré une énergie de 15×101915 \times 10^{19} J : préciser graphiquement la magnitude correspondante.
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