Chapitre Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation


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Nombres et calculs






5
Proportion d’entiers premiers entre eux
★★★

Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser plusieurs instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser des boucles bornées
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


Dans cet exercice, on pourra éventuellement s’aider de l’exercice 4.

1. Écrire une fonction premiersentreeux() qui prend en paramètres deux entiers naturels, teste s’ils sont premiers entre eux et renvoie une variable booléenne (True ou False) en fonction du résultat.
2. Compléter le programme pour qu’il détermine la proportion d’entiers naturels entre eux parmi les entiers entre 1 et 100.



4
PGCD de deux entiers naturels
★★★

Compétence : Utiliser plusieurs instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser des boucles bornées
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


Le plus grand diviseur commun de deux entiers naturels aa et bb est le plus grand entier naturel qui soit simultanément un diviseur de aa et de b.b.

Le programme ci-après teste, pour chaque entier naturel inférieur à aa et bb, s’il est un diviseur de aa et bb. Si c’est le cas, il l’affiche.

1. Modifier le programme pour qu’il n’affiche que le plus grand des diviseurs communs de aa et b.b.
2. Deux entiers naturels sont dits premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1. Compléter alors le programme pour qu’il précise si les nombres aa et bb sont premiers entre eux.

a = 18
b = 24

m = max(a, b)
for i in range(1, m):
  if a%i == 0:
    if b%i == 0:
      print(i)

#A compléter

1
Plus grand multiple
☆☆

Compétence : Utiliser une boucle non bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


À l'aide de l'instruction while, on a écrit le programme ci-après qui donne le plus petit multiple de 5 supérieur ou égal à 423.

1. Modifier le programme pour qu'il affiche le plus grand multiple de 5 inférieur à 423.
2. Modifier le programme pour qu'il affiche le plus petit multiple de 7 supérieur à 110 et le plus grand multiple de 7 inférieur à 110.

a = 0
fin = 423
while a < fin:
  a = a + 5
print(a)

3
Conjecture de Goldbach
★★

Compétence : Utiliser une fonction
Compétence : Utiliser des instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser des boucles bornées
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


La conjecture de Goldbach affirme que :
« Tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers. »
Cette conjecture n’est toujours pas démontrée, cependant on n’en connaît pas de contre-exemple.

1. Dans le programme ci-après, compléter la fonction premier qui teste si un nombre est premier et qui renvoie une valeur booléenne (True ou False) en fonction de la réponse.
2. Compléter le programme pour qu’il détermine, pour un nombre pair mm donné, la valeur de deux nombres premiers aa et bb tels que m=a+b.m=a+b.

def premier(n):
  #A compléter



m = 30
#A compléter

print(m, "=", a, "+", b)

2
Approcher une racine
☆☆

Compétence : Utiliser une boucle non bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


Le programme ci-après calcule 2\sqrt{2} avec une précision de 0,010\text{,}01.

1. Modifier le programme pour qu’il calcule 2\sqrt{2} avec une précision de 0,00010\text{,}0001.
2. Modifier le programme pour qu’il calcule 7\sqrt{7} avec une précision de 0,00010\text{,}0001.
3. Modifier le programme pour qu’il calcule 32\sqrt{\dfrac{3}{2}} avec une précision de 0,0001.0\text{,}0001.

x = 0

while x**2 < 2:
  x = x + 0.01

print(x)

6
Fréquence des nombres premiers
★★★

Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser plusieurs instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser des boucles bornées
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


1. Dans le programme ci-après, compléter la fonction premier() qui renvoie True si un nombre nn donné en paramètre est premier et False sinon.
2. Compléter le programme pour qu’il affiche la fréquence des nombres premiers compris entre 2 et 100 puis entre 2 et 10 000.

def premier(n):
  premier = True
  #A compléter
  
  return premier

nombre_premiers = 0
for i in range(2, 101):
  #A compléter

print(nombre_premiers/100)

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