Fonctions

✔ Compétence : Utiliser une boucle non bornée et des instructions conditionnelles
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Voir fiche n° 2 : Les variables

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Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

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Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées

On considère la fonction f(x) = x^2-2. Cette fonction s'annule pour x = \sqrt{2}.

1. Trouver a \in [0, + \infty[ tel que f(a) \lt 0 et b \in [0, + \infty[ tel que f(b) > 0.

2. Justifier que f(a) \times f(b) \lt 0.

3. L'algorithme suivant, appelé algorithme de dichotomie, permet de trouver une approximation de \sqrt{2} en utilisant la fonction f et les nombres a et b cités plus haut. Le réel strictement positif p est la précision que l'on souhaite obtenir.

\boxed{ \begin{array} { l } {\text{Tant que } \left|b - a\right| > p \text{ faire}: } \\ \quad \text{Si } f(b) \times f\left(\dfrac{a + b}{2}\right) \lt 0: \\ \qquad a = \dfrac{a + b}{2}\\ \quad \text {Sinon :} \\ \qquad b = \dfrac{a + b}{2} \\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Tant que} \end{array} }

Le programme ci-après est la traduction de cet algorithme en Python. Le compléter et l'exécuter.

def f(x):
  return x**2 - 2


a = 0
b = 4
precision = 0.001

while #À compléter
  if f((a + b)/2)*f(b) < 0:
    a = #À compléter
  else:
    b = #À compléter

print(a)

✔ Compétence : Utiliser une instruction conditionnelle
✔ Compétence : Utiliser une boucle bornée
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Voir fiche n° 2 : Les variables

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Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

Sur l'intervalle [0 \: ; 1] la représentation graphique de la fonction cube est située sous la représentation graphique de la fonction carré. Le programme ci-après cherche à déterminer l'écart maximum entre ces deux courbes et pour quelle valeur de x ce maximum est atteint.

1. Quelle précision sur x sera obtenue par le programme ?

2. a. Sous quelle condition devra-t-on remplacer la valeur de deltamax par celle de delta ?

b. Compléter alors la ligne 6 du programme.
3. Modifier le programme pour obtenir une précision à 10^{-4} près.

xmax = 0
deltamax = 0

for i in range(1000):
  delta = (i/1000)**2 - (i/1000)**3
  if #A compléter
    deltamax = delta
    xmax = i/1000
print(xmax)
print(deltamax)

✔ Compétence : Utiliser des fonctions
✔ Compétence : Utiliser plusieurs instructions conditionnelles
✔ Compétence : Utiliser des boucles bornées
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Voir fiche n° 2 : Les variables

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Voir fiche n° 3 : Les fonctions

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Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

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Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées

On sait que sur l'intervalle [0 \: ; 1], la représentation graphique de la fonction cube est en dessous de celle de la fonction carré (

voir le manuel page 125

). Par ailleurs, on sait que, pour tout x \in [0 \: ; 1], on a aussi x^2 \in [0 \: ; 1] et x^3 \in [0 \: ; 1]. L'objectif de cette activité est de déterminer une approximation de l'aire entre les deux courbes. Pour cela, on choisit 100\,000 points au hasard dont l'abscisse et l'ordonnée sont comprises entre 0 et 1. Puis, pour chaque point, on teste s'il est entre les deux courbes représentatives. On admet que la proportion de points situés entre les deux représentations graphiques par rapport à l'ensemble des points est égale à l'aire souhaitée.

1. Compléter le programme ci-après pour que la variable points_dans_zone soit augmentée de 1 si, et seulement si, le point de coordonnées (x \: ; y) est situé entre les deux courbes.
2. Exécuter plusieurs fois le programme. Le résultat final obtenu est-il toujours le même ?
3. Modifier le programme pour qu'il utilise 10\,000\,000 points au lieu de seulement 100\,000. Commenter les résultats obtenus.

from random import random

points_dans_zone = 0

for i in range(100000):
  x = random()
  y = random()
  #A compléter

aire = points_dans_zone/100000
print(aire)