Fonctions

✔ Compétence : Utiliser une boucle non bornée et des instructions conditionnelles
→

Voir fiche n° 2 : Les variables

→

Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

→

Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées

On considère la fonction $f(x)=x^2-2$. Cette fonction s'annule pour $x=\sqrt{2}.$

1. Trouver $a\in [0,+\infty [$ tel que $f(a)<0$ et $b\in [0,+\infty [$ tel que $f(b)>0.$

2. Justifier que $f(a)\times f(b)<0$.

3. L'algorithme suivant, appelé algorithme de dichotomie, permet de trouver une approximation de $\sqrt{2}$ en utilisant la fonction $f$ et les nombres $a$ et $b$ cités plus haut. Le réel strictement positif $p$ est la précision que l'on souhaite obtenir.

$\boxed{\begin{array}{l}\text{Tant que }\left|b-a\right|>p\text{ faire}:\\ \text{Si }f(b)\times f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0:\\ a=\frac{a+b}{2}\\ \text{Sinon :}\\ b=\frac{a+b}{2}\\ \text{Fin Si}\\ \text{Tant que}\end{array}}$

Le programme ci-après est la traduction de cet algorithme en Python. Le compléter et l'exécuter.

def f(x):
  return x**2 - 2


a = 0
b = 4
precision = 0.001

while #À compléter
  if f((a + b)/2)*f(b) < 0:
    a = #À compléter
  else:
    b = #À compléter

print(a)

✔ Compétence : Utiliser une instruction conditionnelle
✔ Compétence : Utiliser une boucle bornée
→

Voir fiche n° 2 : Les variables

→

Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

Sur l'intervalle $[0;1]$ la représentation graphique de la fonction cube est située sous la représentation graphique de la fonction carré. Le programme ci-après cherche à déterminer l'écart maximum entre ces deux courbes et pour quelle valeur de $x$ ce maximum est atteint.

1. Quelle précision sur $x$ sera obtenue par le programme ?

2. a. Sous quelle condition devra-t-on remplacer la valeur de deltamax par celle de delta ?

b. Compléter alors la ligne 6 du programme.
3. Modifier le programme pour obtenir une précision à $10^{-4}$ près.

xmax = 0
deltamax = 0

for i in range(1000):
  delta = (i/1000)**2 - (i/1000)**3
  if #A compléter
    deltamax = delta
    xmax = i/1000
print(xmax)
print(deltamax)

✔ Compétence : Utiliser des fonctions
✔ Compétence : Utiliser plusieurs instructions conditionnelles
✔ Compétence : Utiliser des boucles bornées
→

Voir fiche n° 2 : Les variables

→

Voir fiche n° 3 : Les fonctions

→

Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

→

Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées

On sait que sur l'intervalle $[0;1]$, la représentation graphique de la fonction cube est en dessous de celle de la fonction carré (

voir le manuel page 125

). Par ailleurs, on sait que, pour tout $x\in [0;1]$, on a aussi $x^2\in [0;1]$ et $x^3\in [0;1].$ L'objectif de cette activité est de déterminer une approximation de l'aire entre les deux courbes. Pour cela, on choisit $100000$ points au hasard dont l'abscisse et l'ordonnée sont comprises entre $0$ et $1.$ Puis, pour chaque point, on teste s'il est entre les deux courbes représentatives. On admet que la proportion de points situés entre les deux représentations graphiques par rapport à l'ensemble des points est égale à l'aire souhaitée.

1. Compléter le programme ci-après pour que la variable points_dans_zone soit augmentée de 1 si, et seulement si, le point de coordonnées $(x;y)$ est situé entre les deux courbes.
2. Exécuter plusieurs fois le programme. Le résultat final obtenu est-il toujours le même ?
3. Modifier le programme pour qu'il utilise $10000000$ points au lieu de seulement $100000.$ Commenter les résultats obtenus.

from random import random

points_dans_zone = 0

for i in range(100000):
  x = random()
  y = random()
  #A compléter

aire = points_dans_zone/100000
print(aire)