Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 5

Exercices

Travailler les automatismes

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Pour les exercices
17
et
18
répondre aux questions suivantes pour la fonction représentée.

1. Déterminer l'ensemble de définition.
2. Quelles limites peut-on conjecturer aux bornes de l'ensemble de définition ?
3. Quelles asymptotes éventuelles peut-on conjecturer ?

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1.1.

1.2.

1.3.

2.1.

2.2.

2.3.

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1.1.

1.2.

1.3.

2.1.

2.2.

2.3.

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Asymptotes

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19

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction

f

définie sur

R

1. Conjecturer le tableau de variations de

f

sur

R

ainsi que les éventuelles limites en

- \infty

+ \infty

2. Déterminer une équation de l'asymptote horizontale en

- \infty

+ \infty

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20

On donne le tableau de variations d'une fonction

g

définie sur

R

Déterminer à l'aide du tableau une équation des éventuelles asymptotes.

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21

Soit

f

une fonction définie pour tout réel

x \neq = 2

. On donne le tableau de variations suivant.

1. Quelles sont les limites données par le tableau de variations ?

2. En déduire la présence d'une asymptote dont on donnera la nature et une équation.

3. Dans un repère orthogonal, tracer une allure possible de la courbe représentative de

f

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22

Soit

f

une fonction définie sur un ensemble

D_{f}

.
On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Au maximum, combien d'asymptotes horizontales

C_{f}

peut-elle admettre ? Et d'asymptotes verticales ?

2. Trouver deux exemples permettant d'illustrer les réponses à la question précédente.

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23

À l'aide de la calculatrice, associer chaque courbe à une asymptote.

C_{f}

d'équation

y = \frac{x + 1}{x ^{2} - 3 x - 5}

⟺

C_{g}

d'équation

y = \frac{x ^{3}}{2 x ^{3} + x + 1}

⟺

C_{h}

d'équation

y = \frac{2 x ^{4} + 5}{x - 3}

⟺

C_{k}

d'équation

y = - 4 - \frac{x}{x ^{2} + 7}

⟺

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Calculs de limites

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24

Déterminer la limite (éventuellement la limite à droite et la limite à gauche) de chaque fonction lorsque

x

tend vers

a

f : x \mapsto x^{3} + x - 2; a = - \infty

g : x \mapsto x + \frac{1}{x}; a = + \infty

h : x \mapsto \frac{1}{x + 2}; a = + \infty

k : x \mapsto \frac{1}{x - 2}; a = 2

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25

Déterminer la limite (éventuellement la limite à droite et la limite à gauche) de chaque fonction lorsque

x

tend vers

a

f : x \mapsto - \frac{3}{x ^{2} + x} + 5; a = + \infty

g : x \mapsto \frac{1}{x - 4} + x; a = 4

h : x \mapsto \frac{1 + \frac{1}{x}}{x - 1}; a = + \infty

k : x \mapsto \frac{1}{x} + 5; a = 0

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26

Déterminer les limites à gauche et à droite de chaque fonction lorsque

x

tend vers

a .

f : x \mapsto \frac{x ^{3} - 2 x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}}; a = 1

g : x \mapsto \frac{5 x + 2}{x + 4}; a = - 4

h : x \mapsto \frac{1}{x ^{2} - 1}; a = - 1

k : x \mapsto \frac{2}{x - 2}; a = 4

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Formes indéterminées

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27

Déterminer les limites de chaque fonction en

- \infty

et en

+ \infty

f : x \mapsto x^{2} - 3 x + 1

g : x \mapsto - x^{5} + 10 x^{4} + x^{2} + x

h : x \mapsto \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x + 1}

k : x \mapsto \frac{3 x ^{2} - 1}{x ^{2} - 2}

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28

Déterminer les limites de chacune des fonctions ci-après en

- \infty

et en

+ \infty

f : x \mapsto 3 x^{4} - 3 x^{2} + 5 x + 1

g : x \mapsto \frac{- x ^{3} + x - 1}{2 x + 1}

h : x \mapsto \frac{4 x ^{2} - 3}{x ^{7} - 5 x ^{4} + x ^{2} + 2 x - 3}

k : x \mapsto \frac{x ^{2} + x + 1}{5 x ^{2} + 2}

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Théorèmes de comparaison et croissances comparées

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29

Soit

f

une fonction définie sur

R

vérifiant, pour tout réel

x

x - 2 ⩽ f (x) ⩽ x + 2

. Que peut-on en déduire pour les limites de

f

+ \infty

et en

- \infty

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30

Soit

g

une fonction définie sur

R

vérifiant, pour tout réel

x

non nul,

3 - \frac{1}{x ^{2}} ⩽ g (x) ⩽ 3 + \frac{1}{x ^{2}}

. Que peut-on en déduire pour les limites de

g

+ \infty

et en

- \infty

? Et en

0

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31

On considère la fonction

ℓ

définie sur

R

par

ℓ (x) = e^{x} + x - 1.

1. Factoriser l'expression

ℓ (x)

par

e^{x}

2. Déterminer les limites de

ℓ

- \infty

+ \infty.

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32

Déterminer les limites de chaque fonction en

+ \infty

f : x \mapsto x^{2} + 2 cos (x)

g : x \mapsto \frac{sin ( x )}{x}

h : x \mapsto \frac{1}{cos ( x ) + x}

k : x \mapsto x^{2} + 2

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33

Déterminer les limites de chaque fonction en

- \infty

et en

+ \infty

f : x \mapsto \frac{1}{e ^{x} + 1}

g : x \mapsto \frac{e ^{x} + 1}{x}

h : x \mapsto e^{x} + 2

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34

Les limites ci-dessous ont été calculées avec la fenêtre « Calcul formel » de GeoGebra. Justifier la réponse obtenue.

Calcul mathématique : limite d'une fonction rationnelle tendant vers l'infini, résultat 3/4.

Image d'une formule mathématique montrant une limite à l'infini.

Image d'une formule mathématique montrant le calcul d'une limite tendant vers 0.

Image d'une formule mathématique montrant la limite de (cos(x)-2)/(x+4) quand x tend vers l'infini, égale à 0.

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Exercices inversés

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35

Déterminer une fonction

f

définie sur un ensemble de définition à préciser vérifiant

x \to + \infty lim f (x) = 3

x \to 5 lim f (x) = - \infty

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36

Déterminer une fonction

f

dont la représentation graphique admet une asymptote d'équation

y = 2

- \infty

mais pas d'asymptote en

+ \infty

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