TP / TICE 1


Dimensions d’une boîte de conserve




Énoncé

Par souci d’économie, les industriels choisissent souvent les dimensions d’une boîte de conserve de manière à utiliser le moins de métal, pour un volume donné. Dans ce TP, la boîte de conserve est assimilée à un cylindre de révolution de rayon rr et de hauteur hh , exprimés en centimètres. L’épaisseur du métal étant la même sur toute la surface, le volume de métal nécessaire est proportionnel à l’aire de la boîte. Question préliminaire : Après avoir dessiné la figure en perspective cavalière et le patron d’un cylindre de révolution, rappeler les formules donnant le volume VV et la surface totale extérieure SS de la boîte de conserve.

Couleurs
Formes
Dessinez ici



Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, déterminer les dimensions optimales d’une boîte de conserve de volume V=900V = 900 cm3.

Pour aller plus loin


Dimensions d’une canette


Dimensions d’une canette


Les canettes de soda de 3333 cL ont une forme proche d’un cylindre de révolution. Les canettes classiques ont un diamètre de 66 mm et une hauteur de 115115 mm. Les canettes sleek ont un diamètre de 5858 mm et une hauteur de 145145 mm.

1. Vérifier que chaque type de canette peut bien contenir 3333 cL de liquide.


2. Quelle est la surface de métal nécessaire pour construire une canette de chacun de ces types ?


3. La différence entre les deux surfaces est-elle négligeable ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

1. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous puis répondre aux questions qui suivent.

Dimensions d’une boîte de conserve


Lancer le module Geogebra
2. Quelle formule doit-on indiquer dans la cellule B2 pour automatiser le calcul de la hauteur lorsque l’on connaît le rayon et le volume de la boîte ?


3. Expliquer la formule appliquée dans la cellule C2.


4. À la lecture de la capture d’écran, quel encadrement du rayon optimal peut-on donner ?


5. En affinant le choix des valeurs du rayon, déterminer une valeur approchée au centième près du rayon optimal de la boîte ainsi que la hauteur correspondante.


6. Les dimensions d’une boîte 4/4 sont r=4,95r = 4{,}95 cm et h=11,8h = 11{,}8 cm. La surface est-elle optimisée pour cette boîte ?

Dimensions d’une boîte de conserve
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. Montrer, avec la contrainte de volume, que l’aire totale est obtenue en fonction du rayon xx grâce à la fonction S,S, définie sur ]0;+[] 0\: ;+\infty[ par : S(x)=2πx(x+900πx2).\mathrm{S}(x)=2 \pi x\left(x+\dfrac{900}{\pi x^{2}}\right).


2. a. Représenter cette fonction avec GeoGebra.
b. Modifier la zone d’affichage du graphique pour cadrer la fenêtre sur la partie qui nous intéresse.

Lancer le module Geogebra
3. Émettre une conjecture sur les variations de S.S. Sont-elles surprenantes ? Comment peut-on les expliquer ?


4. Déterminer le rayon optimal de la boîte ainsi que la hauteur correspondante.


5. Les dimensions d’une boîte 4/4 sont r=4,95r = 4{,}95 cm et h=11,8h = 11{,}8 cm. La surface est-elle optimisée pour cette boîte ?
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