Soit f la fonction définie sur [0\: ; 2\text{,}5] par f(x) = 4x^{3} - 20x^{2} + 25x . Dans le repère orthogonal, on a représenté la courbe représentative C de f en rouge. L'expression est trop compliquée pour calculer directement le maximum de façon exacte.

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Questions préliminaires

1. Lire graphiquement une valeur approchée du maximum. Pour quelle valeur x_0 est-il atteint ?

2. Dresser alors le tableau de variations de f sur [0\:;2\text{,}5].

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Objectif

En utilisant un algorithme de balayage, à l'aide d'une des deux méthodes, déterminer une valeur approchée du maximum en connaissant x_{0} à 10^{-n} près avec n= 1 , n= 2 ou n= 3 .

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Méthode 1
Python

On a écrit un programme avec Python pour déterminer le maximum de la fonction f en calculant x_{0} à 10^{-1} près.

def f(x):
  return(...)

def MaxBalayage(k):
  maximum = 0
  x0 = 0
  x = 0
  while x <= ...:
    x = x + k
    image = f(x)
    if image > maximum:
      maximum = ...
      x0 = ...
  return(..., ...)

1. Comment doit-on compléter la ligne 2 ?

2. À quoi sert la variable k ? À combien doit-elle être égale pour obtenir une valeur de x_{0} à 10^{-1} près ?

3. Existe-t-il plusieurs façons de compléter la ligne 8 ? Justifier.

4. Compléter les lignes de ce programme où figurent des pointillés.

5. Exécuter ce programme en ajoutant une ligne permettant d'afficher la valeur de x_{0} calculée ainsi que le maximum correspondant.

6. Changer la valeur de k pour avoir une valeur de x_{0} à 10^{-2} près puis à 10^{-3} près ainsi que le maximum correspondant.

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Méthode 2
Tableur

1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous dans le tableur de votre choix. On la complètera au fur et à mesure des questions.

Capture d'écran d'un tableur montrant un calcul itératif avec une précision de 0,1 et la formule =A5+$B$1.

2. Comment expliquer la formule qui a été saisie dans la cellule A6 ? Que se passera-t-il lorsqu'elle sera étirée vers le bas ? Jusqu'où faut-il l'étirer ?

3. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B5 pour que, étirée vers le bas, on obtienne le calcul des images des nombres de la colonne A ?

4. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B2 pour obtenir l'image maximum ? Pour quelle valeur de x_{0} ce maximum est-il atteint ?

5. Effectuer les changements nécessaires pour obtenir une valeur de x_{0} à 10^{-2} près puis à 10^{-3} près ainsi que le maximum correspondant.

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Pour aller plus loin

1. Tracer à la calculatrice la courbe représentative de la fonction g : x \mapsto 2 x^{3}-7 x^{2}+5 x+1.
2. Utiliser l'algorithme de balayage pour déterminer les extremums de la fonction g sur l'intervalle [0 \: ; 2\text{,}5].

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Mathématiques 2de

Approcher numériquement un maximum

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