Approcher numériquement un maximum

On a écrit un programme avec Python pour déterminer le maximum de la fonction $f$ en calculant $x_{0}$ à $10^{-1}$près.

def f(x):
  return(...)

def MaxBalayage(k):
  maximum = 0
  x0 = 0
  x = 0
  while x <= ...:
    x = x + k
    image = f(x)
    if image > maximum:
      maximum = ...
      x0 = ...
  return(..., ...)

1. Comment doit-on compléter la ligne 2 ?

2. À quoi sert la variable $k$ ? À combien doit-elle être égale pour obtenir une valeur de $x_{0}$ à $10^{-1}$ près ?

3. Existe-t-il plusieurs façons de compléter la ligne 8 ? Justifier.

4. Compléter les lignes de ce programme où figurent des pointillés.

5. Exécuter ce programme en ajoutant une ligne permettant d’afficher la valeur de $x_{0}$ calculée ainsi que le maximum correspondant.

6. Changer la valeur de $k$ pour avoir une valeur de $x_{0}$ à $10^{-2}$ près puis à $10^{-3}$ près ainsi que le maximum correspondant.

1. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous. On la complètera au fur et à mesure des questions.

2. Comment expliquer la formule qui a été saisie dans la cellule A6 ? Que se passera-t-il lorsqu’elle sera étirée vers le bas ? Jusqu’où faut-il l’étirer ?


3. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B5 pour que, étirée vers le bas, on obtienne le calcul des images des nombres de la colonne A ?

4. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B2 pour obtenir l’image maximum ? Pour quelle valeur de $x_{0}$ ce maximum est-il atteint ?

5. Effectuer les changements nécessaires pour obtenir une valeur de $x_{0}$ à $10^{-2}$ près puis à $10^{-3}$ près ainsi que le maximum correspondant.

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1. Tracer à la calculatrice la courbe représentative de la fonction $g : x \mapsto 2 x^{3}-7 x^{2}+5 x+1.$
2. Utiliser l’algorithme de balayage pour déterminer les extremums de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0 \: ; 2\text{,}5].$