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Synthèse





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 28 ; 32 ; 39 et 53
◉◉ Parcours 2 : exercices 30 ; 37 ; 40 ; 47 et 60
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 42 ; 49 ; 50 ; 57 et 61

57
EN SES
[Chercher.] ◉◉◉
Un couple contracte un prêt d’un montant de 20 000 € au taux de 6 % par an. Le couple choisi le nombre d’années tt pendant lequel il souhaite rembourser ce prêt. On suppose que t>0.t > 0. On admet que la somme totale à rembourser après tt années est donnée par la fonction S\text{S} définie pour tout t>0t > 0 par S(t)=20000×1,06t.\mathrm{S}(t)=20 \, 000 \times 1{,}06^{t}. Comme il y a 12 mois dans l’année, le montant à rembourser chaque mois sera donc défini par la fonction M\text{M} pour tout t>0t > 0 par M(t)=S(t)12t.\mathrm{M}(t)=\dfrac{\mathrm{S}(t)}{12 t}.

1. Pour chaque fonction :
a. tracer sa courbe représentative sur ]0;40]]0\:; 40] en choisissant la bonne fenêtre graphique ;

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b. conjecturer le tableau de variations sur ]0;40].]0 \:; 40].
Couleurs
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2. Si le couple souhaite payer le moins possible chaque mois, sur combien d’années doit-il emprunter ? Quelle sera alors la somme totale à rembourser ?


3. a. Encadrer tt tel que S(t)[30000;40000].\mathrm{S}(t) \in[30\,000 \:; 40\,000].

b. Pour ces valeurs de t,t, en déduire alors un encadrement de M(t).\text{M}(t).


4. Un couple a un budget maximum de 300 € par mois :
a. Résoudre M(t)300\text{M}(t) \leqslant 300 puis encadrer S(t).\text{S}(t).


b. Pourquoi, en pratique, t[10;17]t \in[10 \: ; 17] ? Encadrer alors S(t).\text{S}(t) .

58
[Modéliser.]
L’unité de longueur est le centimètre. ABC\text{ABC} est un triangle tel que AB=8.\text{AB} = 8 . On appelle J\text{J} le milieu de [BC][\text{BC}] et K\text{K} celui de [AC][\text{AC}] . Les droites (AJ)(\text{AJ}) et (BK)(\text{BK}) sont sécantes en G.\text{G}. M\text{M} est un point mobile sur [AB].[\text{AB}] . La droite (GM)(\text{GM}) coupe un autre côté du triangle en N.\text{N}. On note x=AMx = \text{AM} avec x[0;8].x \in[0\:; 8].

Variations de fonctions

Les fonctions m:xGMm : x \mapsto \mathrm{GM} et n:xGNn : x \mapsto \mathrm{GN} sont représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.

Variations de fonctions

1. Dresser le tableau de variations de mm et de nn sur l’intervalle [0;8].[0\:; 8].
Couleurs
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2. Résoudre graphiquement et interpréter n(x)=m(x)n(x) = m(x) puis n(x)>m(x).n(x) > m(x).


3. Comment peut-on déduire des questions précédentes les solutions de n(x)<m(x)n(x) \lt m(x) ?

59
[Modéliser.]
On considère une roue de centre C\text{C} et un rayon [CM].[\text{CM}]. Le point M\text{M} décrit une courbe appelée cycloïde, dessinée en rouge dans le schéma ci-dessous.

Variations de fonctions

On note ff la fonction ainsi représentée dans le repère orthonormé ci-dessous :

Variations de fonctions

1. Quel est le rayon du cercle ? En déduire le périmètre du cercle puis l’ensemble de définition de f.f.


2. Tracer le tableau de variations de f f sur son ensemble de définition.
Couleurs
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3. Pour quelles valeurs de xx le point M\text{M} se situe-t-il au-dessus de la trajectoire [AB][\text{AB}] décrite par le centre de la roue ? Préciser l’inéquation résolue.


4. Quelle est la courbe décrite par le point M\text{M} si la roue continue d’avancer après le point B\text{B} ?



60
[Chercher.] ◉◉
Un hangar a une forme rectangulaire ABCD\text{ABCD} avec AB=\text{AB} = 100 m et BC=\text{BC} = 200 m. Pour surveiller ce hangar, on place une caméra au point M\text{M}, milieu de [AD].[\text{AD}] . Son angle de vision est de 30°.

Variations de fonctions

On note xx l’angle, en degré, balayé par son axe de vision (MN)(\text{MN}) lors de la rotation de la caméra.

Variations de fonctions


Dans un repère orthogonal, on trace la courbe représentative de l’aire S\text{S} du hangar observable en fonction de x[0;180]x \in[0 \:; 180] (en bleu sur les dessins précédents).

Variations de fonctions
1. a. Tracer le tableau de variations de S\text{S} sur [0;180].[0\:; 180] .
Couleurs
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b. Pour quels angles la fonction atteint-elle ses extremums ? Préciser les points NN correspondants.


2. a. Pour quels angles la caméra a-t-elle un angle de vision de moins de 30° ?


b. Quelle est l’image de 15° ? En quels angles a-t-on la même aire ?


c. Quel est le minimum de S\text{S} sur l’intervalle [15;165]?[15\:; 165]\:? Situer le point N\text{N} correspondant.


3. Calculer l’aire de ABCD.\text{ABCD} .


4. Pour quels angles la caméra balaye-t-elle plus de 20 % de l’aire du hangar ? Moins de 15 % ?

61
[Chercher.] ◉◉◉
Solal part de son domicile situé en O\text{O} pour se rendre à son bureau E\text{E} situé à 6 km. On note xx la distance parcourue par Solal sur la route durant son trajet. Deux antennes-relais A\text{A} et B\text{B} de son opérateur téléphonique sont situées à 1,2 km et 1 km de part et d’autre de la route (perpendiculairement aux points C\text{C} et D).\text{D}).

Variations de fonctions

Le but est d’étudier les zones dans lesquelles Solal pourra recevoir du réseau téléphonique.
On suppose que OC=CD=DE=2\text{OC} = \text{CD} = \text{DE} = 2 km. La position de Solal sur la route est représentée par le point P.\text{P}. Pour étudier l’intensité du signal reçu grâce aux antennes A\text{A} et B\text{B} , on considère les fonctions ff et gg définies sur I=[0;6]\text{I} = [0\:; 6] par f(x)=10AP2f(x)=\dfrac{10}{\mathrm{AP}^{2}} pour l’antenne A\text{A} et par g(x)=10BP2g(x)=\dfrac{10}{\mathrm{BP}^{2}} pour l’antenne B.\text{B}.

1. Montrer que, pour tout xI,x \in \text{I}, f(x)=101,44+(2x)2f(x)=\dfrac{10}{1{,}44+(2-x)^{2}} et g(x)=101+(4x)2.g(x)=\dfrac{10}{1+(4-x)^{2}}.


2. On a tracé les courbes représentatives des fonctions ff et gg dans un même repère.

Variations de fonctions

a. Tracer le tableau de variations de ff et de gg sur I.\text{I}.
Couleurs
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b. Préciser les valeurs de xx maximisant ff puis g:g : pouvait-on trouver ces résultats par des considérations géométriques ?


3. Sachant que le mobile capte le signal de l’antenne qui émet la plus grande intensité : préciser, suivant les valeurs de x,x, l’antenne qui sera captée par le mobile (en précisant les inéquations correspondantes).


4. En réalité, le réseau est reçu par le mobile lorsque l’intensité du signal est supérieure ou égale à 4.4.
a. Pour l’antenne A\text{A} : quelle inéquation concernant f(x)f(x) cela revient-il à résoudre ? Préciser les valeurs de xx correspondantes.

b. Répondre à la question précédente pour l’antenne B.\text{B}.

62
[Chercher.]
Un élève a représenté les fonctions suivantes grâce à sa calculatrice graphique, en effectuant les réglages indiqués ci-après.
On précise l’expression de ces fonctions.
h(x)=9x4+x3h(x)=-9 x^{4}+x^{3}
Variations de fonctions
Variations de fonctions

i(x)=1,54x+1x1i(x)=1{,}54 x+\sqrt{\dfrac{1}{x}-1} (fonction définie sur ]0;1])]0\:; 1])

Variations de fonctions

Variations de fonctions

1. À partir de ces représentations graphiques, conjecturer puis tracer les tableaux de variations de ces différentes fonctions.
Couleurs
Formes
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2. Pour la fonction h,h , on a changé la fenêtre graphique et on a obtenu la courbe ci-dessous.
Variations de fonctions
Variations de fonctions

Rectifier le tableau de variations de hh en conséquence. Comment expliquer les différences d’un réglage à l’autre ?

Couleurs
Formes
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3.
DÉFI
En réalité, comme pour la fonction h,h , les variations de la fonction ii ne sont pas correctement visibles avec la fenêtre graphique choisie.

Variations de fonctions

Trouver un réglage avec lequel on peut observer les variations ci-dessus.

63
[Modéliser.]
Un segment [AB][\text{AB}] de longueur égale à 66 glisse le long de deux axes perpendiculaires sécants en O.\text{O} . C\text{C} et D\text{D} sont les points de [AB][\text{AB}] tels que AD=1\text{AD} = 1 et BC=2. \text{BC} = 2 . On note xx la longueur OA\text{OA} : ainsi, x[0;6].x \in[0\: ; 6].

Les fonctions f,f, g,g, hh et pp associent à chaque valeur de x[0;6]x \in[0\:; 6] respectivement les longueurs OC,\text{OC}, OD\text{OD} et CD\text{CD} et le périmètre P\text{P} du triangle OCD.\text{OCD}. On a tracé dans un repère les courbes représentatives de ff , gg , hh et p.p .

Variations de fonctions
Variations de fonctions

1. Dresser les tableaux de variations de ces quatre fonctions sur [0;6].[0\:; 6].
Couleurs
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2. a. Déterminer OC\text{OC} ; OD\text{OD} ; CD\text{CD} et P\text{P} lorsque x=2.x = 2 .


b. Déterminer OD\text{OD} ; CD\text{CD} et P\text{P} lorsque OC=3,6.\text{OC} = 3{,}6 .


c. Le périmètre est égal à 99 : déterminer OC\text{OC} ; OD\text{OD} et CD.\text{CD}.


3. a. Déterminer les valeurs de xx pour lesquelles OCD\text{OCD} est isocèle puis préciser les dimensions des triangles correspondants.


b. OCD\text{OCD} peut-il être équilatéral ? Justifier.


c. Préciser, suivant les valeurs de x,x , le plus petit puis le plus grand des côtés du triangle OCD.\text{OCD} .


d. Pourquoi peut-on affirmer que OCD\text{OCD} ne peut pas être rectangle en O?\text{O}\: ?


4. En modifiant la fenêtre graphique de la courbe de pp, on a obtenu le graphique suivant.
Variations de fonctions

a. Modifier le tableau de variations de pp en conséquence.

Couleurs
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b. Déterminer xx tel que p(x)>10.p(x) > 10.

Club de Maths


64
DÉFI

Un point mobile F\text{F} part d’un point A\text{A} et fait le tour d’un rectangle de centre O.\text{O} . On note xx la distance parcourue par F\text{F} depuis A\text{A} et d(x)d(x) la distance OF.\text{OF}.
Variations de fonctions

Préciser, uniquement grâce à la courbe représentative de dd ci-après et en justifiant la démarche :

1. la longueur des diagonales et des côtés ;


2. le rayon des cercles de centre O\text{O} et tangents à au moins un des côtés ; préciser alors si ces cercles coupent les autres côtés ;


3. les rayons des cercles de centre O:\text{O}:
  • strictement à l’intérieur du rectangle ;

  • encerclant strictement le rectangle ;

  • coupant les 4 côtés du rectangle.


  • Variations de fonctions

    65
    ÉNIGME


    On considère un triangle ABC\text{ABC} tel que AB=8;\text{AB} = 8\: ; BC=10;\text{BC} = 10\:; CA=6.\text{CA} = 6 . O\text{O} est le milieu de [BC].[\text{BC}].
    Un point mobile D\text{D} part de A\text{A} et se déplace le long des côtés de ABC.\text{ABC}. On note xx la longueur de son déplacement.
    Dresser de façon exacte le tableau de variations de la fonction f:xOD.f : x \mapsto \mathrm{OD}.

    Variations de fonctions
    Couleurs
    Formes
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    66
    CASSE-TÊTE

    Un professeur a demandé à ses élèves de mesurer sur un demi-cercle de centre C\text{C} et de diamètre AB=4\text{AB} = 4 les longueurs AM\text{AM} et IM\text{IM} en fonction de x=AIM^x=\widehat{\mathrm{AIM}} (en degrés) où I\text{I} est le milieu du rayon [CS][\text{CS}] perpendiculaire à (AB)(\text{AB}) ; puis de tracer la courbe représentative des fonctions ff et gg correspondantes.
    Le lendemain, il donne une interrogation surprise et Nathalie n’a pas fait son travail !
    L’aider à répondre aux questions posées.
    Variations de fonctions

    1. a. Sur quel intervalle les fonctions ff et gg sont-elles définies ?

    b. Dresser leur tableau de variations.
    Couleurs
    Formes
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    2. Indiquer, suivant les valeurs de k,k , le nombre de solutions de :
    a. f(x)=kf(x)=k

    b. g(x)=kg(x)=k


    3. a. Justifier que f(x)=g(x)f(x) = g(x) admet une unique solution que l’on notera x0.x_{0}.

    b. Résoudre f(x)<g(x)f(x) \lt g(x) puis f(x)>g(x).f(x) >g(x).

    Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

    exercices_transversaux_2nd
    ; ; ; ; ; ; et
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