Exercices de Synthèse

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En SES

Calculatrice

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Un couple contracte un prêt d'un montant de 20 000 € au taux de 6 % par an. Le couple choisi le nombre d'années $t$ pendant lequel il souhaite rembourser ce prêt. On suppose que $t>0.$ On admet que la somme totale à rembourser après $t$ années est donnée par la fonction $\text{S}$ définie pour tout $t>0$ par $\mathrm{S}(t)=20000\times 1,06^t.$ Comme il y a 12 mois dans l'année, le montant à rembourser chaque mois sera donc défini par la fonction $\text{M}$ pour tout $t>0$ par $\mathrm{M}(t)=\frac{\mathrm{S}(t)}{12t}.$

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L'unité de longueur est le centimètre. $\text{ABC}$ est un triangle tel que $\text{AB}=8.$ On appelle $\text{J}$ le milieu de $[\text{BC}]$ et $\text{K}$ celui de $[\text{AC}]$ . Les droites $(\text{AJ})$ et $(\text{BK})$ sont sécantes en $\text{G}.$ $\text{M}$ est un point mobile sur $[\text{AB}].$ La droite $(\text{GM})$ coupe un autre côté du triangle en $\text{N}.$ On note $x=\text{AM}$ avec $x\in [0;8].$

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Solal part de son domicile situé en $\text{O}$ pour se rendre à son bureau $\text{E}$ situé à 6 km. On note $x$ la distance parcourue par Solal sur la route durant son trajet. Deux antennes-relais $\text{A}$ et $\text{B}$ de son opérateur téléphonique sont situées à 1,2 km et 1 km de part et d'autre de la route (perpendiculairement aux points $\text{C}$ et $\text{D}).$


Le but est d'étudier les zones dans lesquelles Solal pourra recevoir du réseau téléphonique.
On suppose que $\text{OC}=\text{CD}=\text{DE}=2$ km. La position de Solal sur la route est représentée par le point $\text{P}.$ Pour étudier l'intensité du signal reçu grâce aux antennes $\text{A}$ et $\text{B}$ , on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\text{I}=[0;6]$ par $f(x)=\frac{10}{{\mathrm{AP}}^2}$ pour l'antenne $\text{A}$ et par $g(x)=\frac{10}{{\mathrm{BP}}^2}$ pour l'antenne $\text{B}.$

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Calculatrice

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Un élève a représenté les fonctions suivantes grâce à sa calculatrice graphique, en effectuant les réglages indiqués ci-après.
On précise l'expression de ces fonctions.

1. À partir de ces représentations graphiques, conjecturer puis tracer les tableaux de variations de ces différentes fonctions.

2. Pour la fonction $h,$ on a changé la fenêtre graphique et on a obtenu la courbe ci-dessous.

Rectifier le tableau de variations de $h$ en conséquence. Comment expliquer les différences d'un réglage à l'autre ?

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3.

Défi

En réalité, comme pour la fonction $h,$ les variations de la fonction $i$ ne sont pas correctement visibles avec la fenêtre graphique choisie.

Trouver un réglage avec lequel on peut observer les variations ci-dessus.

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[Modéliser.]
Un segment $[\text{AB}]$ de longueur égale à $6$ glisse le long de deux axes perpendiculaires sécants en $\text{O}.$ $\text{C}$ et $\text{D}$ sont les points de $[\text{AB}]$ tels que $\text{AD}=1$ et $\text{BC}=2.$ On note $x$ la longueur $\text{OA}$ : ainsi, $x\in [0;6].$

Les fonctions $f,$ $g,$ $h$ et $p$ associent à chaque valeur de $x\in [0;6]$ respectivement les longueurs $\text{OC},$ $\text{OD}$ et $\text{CD}$ et le périmètre $\text{P}$ du triangle $\text{OCD}.$ On a tracé dans un repère les courbes représentatives de $f$ , $g$ , $h$ et $p.$

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Casse-tête

Un professeur a demandé à ses élèves de mesurer sur un demi-cercle de centre $\text{C}$ et de diamètre $\text{AB}=4$ les longueurs $\text{AM}$ et $\text{IM}$ en fonction de $x=\widehat{\mathrm{AIM}}$ (en degrés) où $\text{I}$ est le milieu du rayon $[\text{CS}]$ perpendiculaire à $(\text{AB})$ ; puis de tracer la courbe représentative des fonctions $f$ et $g$ correspondantes.
Le lendemain, il donne une interrogation surprise et Nathalie n'a pas fait son travail !
L'aider à répondre aux questions posées.