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2. Études comparatives
P.72-73
COURS 2


2
Études comparatives




ff et gg sont deux fonctions définies sur un intervalle D.\text{D}.
On note respectivement CfC_{f} et CgC_{g} leur courbe représentative dans un repère orthogonal.
kk est un réel.

A
Résolution d’inéquations du type f(x)k f(x) \geqslant k


Définition
    Résoudre l’équation f(x)kf(x) \geqslant k consiste à déterminer tous les réels xx de D\text{D} dont l’image est supérieure ou égale à kk . Graphiquement, les solutions de f(x)kf(x) \geqslant k sont les abscisses des points de CfC_{f} dont l’ordonnée est supérieure ou égale à k.k.

Remarque

On pourra établir le même type de définition avec les symboles <\lt ; >> et .\leqslant.

Exemple

f(x)1x[0,7;1][2,7;+[f(x) \geqslant 1 \Leftrightarrow x \in[-0\text{,}7\:; 1] \cup[2\text{,}7\:;+\infty[
f(x)>1x]0,7;1[]2,7;+[f(x)>1 \Leftrightarrow x \in ]-0\text{,}7\:; 1[\cup] 2\text{,}7\:;+\infty[
f(x)1x];0,7][1;2,7]f(x) \leqslant 1 \Leftrightarrow x \in ]-\infty\:;-0\text{,}7 ] \cup[1\:; 2\text{,}7]
f(x)<1x];0,7[]1;2,7[f(x) \lt 1 \Leftrightarrow x \in ]-\infty\:;-0\text{,}7[\cup] 1\:; 2\text{,}7[

Études comparatives Résolution d’inéquations

Remarque

L’ensemble des solutions est généralement un intervalle, une réunion d’intervalles ou l’ensemble vide ((noté ).\empty ).

Application et méthode

Énoncé

Dans le repère orthogonal suivant, on considère la représentation graphique d’une fonction ff définie sur [1;+[. [-1 \:;+\infty[.
1. Résoudre f(x)>1f(x)>1 puis f(x)1.f(x) \geqslant 1.
2. Résoudre f(x)<1f(x) \lt-1 puis f(x)1.f(x) \leqslant-1.

Études comparatives application

Méthode

Voici les points importants à ne pas oublier :
  • être attentif aux ensembles de définition ;
  • les solutions se lisent sur l’axe des abscisses ;
  • entre une inégalité large ou stricte, il faut sans doute retirer des solutions ; la plupart du temps, en changeant le sens des crochets ;
  • l’ensemble des solutions est parfois l’ensemble vide \empty ou un singleton comme {0,5}\{-0\text{,}5\} ;
  • être attentif à ne pas oublier certains points isolés.

SOLUTION

1. f(x)>1x]1;+[f(x)>1 \Leftrightarrow x \in ] 1\:;+\infty[
f(x)1x{0,5}[1;+[f(x) \geqslant 1 \Leftrightarrow x \in\{-0\text{,}5\} \cup[1\:;+\infty[
2. f(x)<1xf(x) \lt-1 \Leftrightarrow x \in \emptyset (il n’y a pas de solution).
f(x)1x=1f(x) \leqslant-1 \Leftrightarrow x=-1 ou x=0,5x=0\text{,}5
f(x)1x{1}{0,5}f(x) \leqslant-1 \Leftrightarrow x \in\{-1\} \cup\{0\text{,}5\}

Pour s'entraîner : exercices 20 p. 79 ; 26 p. 80 et 35 p. 82

B
Résolution d’inéquations du type f(x)g(x) f(x) \geqslant g(x)


Définition
Résoudre l’inéquation f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x) consiste à déterminer tous les réels xx de D\text{D} dont l’image par ff est supérieure ou égale à l’image par g.g. Graphiquement, les solutions de f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x) sont les abscisses des points de CfC_{f} situés au-dessus ou sur CgC_{g} .

Remarque

On pourra faire le lien avec le cours du chapitre 1 page 47.

Exemple

Ici, CfC_{f} et CgC_{g} admettent trois points d’intersection d’abscisses 1,5;0-1\text{,}5\: ; 0 et 2.2. On a donc :
f(x)g(x)x];1,5][0;2]f(x) \geqslant g(x) \Leftrightarrow x \in \:]-\infty \:;-1\text{,}5 ] \cup[0 \:; 2]
f(x)>g(x)x];1,5]]0;2]f(x)> g(x) \Leftrightarrow x \in \:]-\infty\:;-1\text{,}5 ]\: \cup]0\:; 2]
f(x)g(x)x[1,5;0][2;+[f(x)\leqslant g(x) \Leftrightarrow x \in [-1\text{,}5\:; 0] \cup[2\:;+\infty[
f(x)<g(x)x]1,5;0[]2;+[f(x) \lt g(x) \Leftrightarrow x \in \:]-1\text{,}5\:; 0[\: \cup\:]2\:;+\infty[

Résolution d’inéquations

Application et méthode

Énoncé

Sur le repère orthogonal suivant, on reprend la fonction ff précédente et la courbe rouge représente une fonction gg définie sur R.\mathbb{R}. Résoudre f(x)>g(x).f(x)>g(x).

Résolution d’inéquations application

Méthode

1. On commence par déterminer les points d’intersection des deux courbes.
2. On repère les points de CfC_{f} situés strictement au-dessus de CgC_{g} .
3. Les solutions correspondent aux abscisses de ces points (attention au sens des crochets qui doivent correspondre à l’inégalité).

SOLUTION

f(x)>g(x)x]1;0[]1;+[f(x)>g(x) \Leftrightarrow x \in ]-1\:; 0[\,\cup\,] 1\:;+\infty[


Pour s'entraîner : exercices 21 p. 79 ; 38 p. 82 et 40 p. 83
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