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COURS 2


2
Études comparatives




ff et gg sont deux fonctions définies sur un intervalle D.\text{D}.
On note respectivement CfC_{f} et CgC_{g} leur courbe représentative dans un repère orthogonal.
kk est un réel.

Application et méthode

Énoncé

Dans le repère orthogonal suivant, on considère la représentation graphique d’une fonction ff définie sur [1;+[. [-1 \:;+\infty[.
1. Résoudre f(x)>1f(x)>1 puis f(x)1.f(x) \geqslant 1.
2. Résoudre f(x)<1f(x) \lt-1 puis f(x)1.f(x) \leqslant-1.

Études comparatives application

Méthode

Voici les points importants à ne pas oublier :
  • être attentif aux ensembles de définition ;
  • les solutions se lisent sur l’axe des abscisses ;
  • entre une inégalité large ou stricte, il faut sans doute retirer des solutions ; la plupart du temps, en changeant le sens des crochets ;
  • l’ensemble des solutions est parfois l’ensemble vide \empty ou un singleton comme {0,5}\{-0\text{,}5\} ;
  • être attentif à ne pas oublier certains points isolés.

SOLUTION

1. f(x)>1x]1;+[f(x)>1 \Leftrightarrow x \in ] 1\:;+\infty[
f(x)1x{0,5}[1;+[f(x) \geqslant 1 \Leftrightarrow x \in\{-0\text{,}5\} \cup[1\:;+\infty[
2. f(x)<1xf(x) \lt-1 \Leftrightarrow x \in \emptyset (il n’y a pas de solution).
f(x)1x=1f(x) \leqslant-1 \Leftrightarrow x=-1 ou x=0,5x=0\text{,}5
f(x)1x{1}{0,5}f(x) \leqslant-1 \Leftrightarrow x \in\{-1\} \cup\{0\text{,}5\}

Pour s'entraîner : exercices 20 p. 79 ; 26 p. 80 et 35 p. 82

Application et méthode

Énoncé

Sur le repère orthogonal suivant, on reprend la fonction ff précédente et la courbe rouge représente une fonction gg définie sur R.\mathbb{R}. Résoudre f(x)>g(x).f(x)>g(x).

Résolution d’inéquations application

Méthode

1. On commence par déterminer les points d’intersection des deux courbes.
2. On repère les points de CfC_{f} situés strictement au-dessus de CgC_{g} .
3. Les solutions correspondent aux abscisses de ces points (attention au sens des crochets qui doivent correspondre à l’inégalité).

SOLUTION

f(x)>g(x)x]1;0[]1;+[f(x)>g(x) \Leftrightarrow x \in ]-1\:; 0[\,\cup\,] 1\:;+\infty[


Pour s'entraîner : exercices 21 p. 79 ; 38 p. 82 et 40 p. 83

B
Résolution d’inéquations du type f(x)g(x) f(x) \geqslant g(x)


Exemple

Ici, CfC_{f} et CgC_{g} admettent trois points d’intersection d’abscisses 1,5;0-1\text{,}5\: ; 0 et 2.2. On a donc :
f(x)g(x)x];1,5][0;2]f(x) \geqslant g(x) \Leftrightarrow x \in \:]-\infty \:;-1\text{,}5 ] \cup[0 \:; 2]
f(x)>g(x)x];1,5]]0;2]f(x)> g(x) \Leftrightarrow x \in \:]-\infty\:;-1\text{,}5 ]\: \cup]0\:; 2]
f(x)g(x)x[1,5;0][2;+[f(x)\leqslant g(x) \Leftrightarrow x \in [-1\text{,}5\:; 0] \cup[2\:;+\infty[
f(x)<g(x)x]1,5;0[]2;+[f(x) \lt g(x) \Leftrightarrow x \in \:]-1\text{,}5\:; 0[\: \cup\:]2\:;+\infty[

Résolution d’inéquations

Remarque

On pourra faire le lien avec le cours du chapitre 1 page 47.

Définition
Résoudre l’inéquation f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x) consiste à déterminer tous les réels xx de D\text{D} dont l’image par ff est supérieure ou égale à l’image par g.g. Graphiquement, les solutions de f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x) sont les abscisses des points de CfC_{f} situés au-dessus ou sur CgC_{g} .

A
Résolution d’inéquations du type f(x)k f(x) \geqslant k

Remarque

On pourra établir le même type de définition avec les symboles <\lt ; >> et .\leqslant.

Définition
    Résoudre l’équation f(x)kf(x) \geqslant k consiste à déterminer tous les réels xx de D\text{D} dont l’image est supérieure ou égale à kk . Graphiquement, les solutions de f(x)kf(x) \geqslant k sont les abscisses des points de CfC_{f} dont l’ordonnée est supérieure ou égale à k.k.

Exemple

f(x)1x[0,7;1][2,7;+[f(x) \geqslant 1 \Leftrightarrow x \in[-0\text{,}7\:; 1] \cup[2\text{,}7\:;+\infty[
f(x)>1x]0,7;1[]2,7;+[f(x)>1 \Leftrightarrow x \in ]-0\text{,}7\:; 1[\cup] 2\text{,}7\:;+\infty[
f(x)1x];0,7][1;2,7]f(x) \leqslant 1 \Leftrightarrow x \in ]-\infty\:;-0\text{,}7 ] \cup[1\:; 2\text{,}7]
f(x)<1x];0,7[]1;2,7[f(x) \lt 1 \Leftrightarrow x \in ]-\infty\:;-0\text{,}7[\cup] 1\:; 2\text{,}7[

Études comparatives Résolution d’inéquations

Remarque

L’ensemble des solutions est généralement un intervalle, une réunion d’intervalles ou l’ensemble vide ((noté ).\empty ).
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