Études comparatives

Résoudre l'équation $f(x)⩾k$ consiste à déterminer tous les réels $x$ de $\text{D}$ dont l'image est supérieure ou égale à $k$ . Graphiquement, les solutions de $f(x)⩾k$ sont les abscisses des points de $C_f$ dont l'ordonnée est supérieure ou égale à $k.$

On pourra établir le même type de définition avec les symboles $<$ ; $>$ et $⩽.$

Voici les points importants à ne pas oublier :

• être attentif aux ensembles de définition ;
• les solutions se lisent sur l'axe des abscisses ;
• entre une inégalité large ou stricte, il faut sans doute retirer des solutions ; la plupart du temps, en changeant le sens des crochets ;
• l'ensemble des solutions est parfois l'ensemble vide $\varnothing$ ou un singleton comme $\{-0\text{,}5\}$ ;
• être attentif à ne pas oublier certains points isolés.

Solution

1. $f(x)>1\iff x\in ]1;+\infty [$
$f(x)⩾1\iff x\in \{-0\text{,}5\}\cup [1;+\infty [$
2. $f(x)<-1\iff x\in \varnothing$ (il n'y a pas de solution).
$f(x)⩽-1\iff x=-1$ ou $x=0\text{,}5$
$f(x)⩽-1\iff x\in \{-1\}\cup \{0\text{,}5\}$


Exercices

20

p. 79 ;

26

p. 80 et

35

p. 82

On pourra faire le lien avec

le cours du chapitre 1 page 47.

1. On commence par déterminer les points d'intersection des deux courbes.
2. On repère les points de $C_f$ situés strictement au-dessus de $C_g$.
3. Les solutions correspondent aux abscisses de ces points (attention au sens des crochets qui doivent correspondre à l'inégalité).

$f(x)>g(x)\iff x\in ]-1;0[\cup ]1;+\infty [$


Exercices

21

p. 79,

38

p. 82 et

40

p. 83