COURS 1


1
Notion de variations




Dans cette partie, on considère une fonction ff définie sur un intervalle D.\text{D}.

A
Monotonie


Exemple

ff est ici représentée sur l’intervalle [1;+[. [-1 \: ;+\infty[.
ff est décroissante sur [1;0][-1 \: ; 0], croissante sur [0;1][0 \: ; 1], décroissante sur [1;3][1 \: ; 3] puis enfin croissante sur [3;;+[.[3 \: ; ;+\infty[.

En résumé :

tableau_variation_p70

Remarque

On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre. On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.

Définitions

  • ff est dite croissante sur D\text{D} lorsque pour tous réels aa et bb de D\text{D} tels que a<ba \lt b on a f(a)f(b).f(a) \leqslant f(b).

  • MAT2_CH2_p70_ACT_1

  • ff est dite décroissante sur D\text{D} lorsque pour tous réels aa et bb de D\text{D} tels que a<ba \lt b on a f(a)f(b).f(a) \geqslant f(b).


  • MAT2_CH2_p70_ACT_2

  • ff est dite monotone sur D\text{D} lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante sur D.\text{D}.
  • ff est dite strictement croissante ou décroissante lorsque les inégalités sont strictes.

CONVENTION


ff n’étant pas définie sur un intervalle borné, il n’est pas possible de tracer la courbe de f f complètement. Dans ce cas, on admet que la monotonie ne change pas au-delà des limites du repère.



MAT2_CH2_p70_ACT_3

Définition

Pour représenter les variations d’une fonction ff, on utilise un tableau avec des flèches représentant la monotonie sur des intervalles les plus grands possible. Si on les connaît, on écrit les images au bout des flèches. L’ensemble forme le tableau de variations de f.f.

NOTATION


Dans le cas d’une fonction constante, on utilise une flèche horizontale.

Application et méthode


SOLUTION

1. ff est définie sur l’intervalle [1;+[.[-1\: ;+\infty[.
2. ff n’admet pas de maximum.
Elle admet un minimum égal à 1-1.
Ce minimum est atteint pour x=1x = -1 et x=0,5.x = 0{,}5.
3.
tableau_variation_p71_1

Pour s'entraîner : exercices 17; 18 et 19 p.79

Utiliser un tableau de variations

On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction h h définie sur [8;7]. [-8\:; 7].

tableau_variation_p71_2

En justifiant, comparer :
1. h(5)h(-5) et h(3)h(-3) ;
2. h(1)h(-1) et h(1) h(1) ;
3. h(4)h(-4) et h(3)h(3).

Notion de variations application

Méthode

1. L’ensemble de définition se lit sur l’axe des abscisses. S’il n’y a pas de point à l’extrémité de la courbe, alors on admet que la courbe continue à l’infini.
2. Les extremums se lisent sur l’axe des ordonnées. Il suffit de repérer, lorsqu’ils existent, les points les plus hauts et les points les plus bas de la courbe.
3. Pour dresser le tableau de variations, on lit le graphique de gauche à droite en indiquant une flèche correspondant aux variations de la fonction.

Méthode

1. Lorsqu’une fonction est croissante, deux nombres et leur image sont classés dans le même ordre.
2. Lorsqu’une fonction est décroissante, deux nombres et leur image sont classés dans l’ordre inverse.
3. On ne peut pas utiliser les variations sur des intervalles disjoints donc on doit utiliser d’autres informations disponibles.

SOLUTION

1. hh est strictement croissante sur l’intervalle [8;2].[-8\:;-2].
De plus, on a : 8<5<3<2.-8 \lt -5\lt-3\lt-2.
Donc h(5)<h(3).h(-5) \lt h(-3).
2. hh est strictement décroissante sur l’intervalle [2;2].[-2\:; 2].
De plus, on a : 2<1<1<2.-2 \lt -1 \lt 1\lt 2.
Donc h(1)>h(1).h(-1)>h(1).
3. D’après le tableau de variations, h(4)>0h(-4) > 0 et h(3)<0h(3) \lt 0 donc h(3)<h(4).h(3) \lt h(-4).

Dresser un tableau de variations

On considère la fonction ff représentée dans le repère suivant.
1. Lire son ensemble de définition D.\text{D}.
2. Préciser la valeur de ses éventuels extremums.
3. Dresser son tableau de variations sur D.\text{D}.

B
Minimum, maximum

Remarque

  • La valeur des extremums d’une fonction peut varier en fonction de l’intervalle sur lequel on se place.
  • Une fonction n’admet pas obligatoirement un minimum ou un maximum.

Définitions

  • On dit que ff admet un minimum mm sur D\text{D} lorsque, pour tout xD,x \in \mathrm{D}, f(x)mf(x) \geqslant m et il existe αD\alpha \in D tel que f(α)=m.f(\alpha) = m. mm est la plus petite image par f. f.
  • On dit que ff admet un maximum M\text{M} sur D\text{D} lorsque, pour tout xD,x \in \mathrm{D}, f(x)Mf(x) \leqslant \mathrm{M} et il existe αD\alpha \in D tel que f(α)=M.f(\alpha) = \text{M}. M\text{M} est la plus grande image par f.f .

Notion de variations monotonie Minimum, maximum
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