• f est dite monotone sur \text{D} lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante sur \text{D}.
• f est dite strictement croissante ou décroissante lorsque les inégalités sont strictes.

On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre. On dit qu'une fonction décroissante inverse l'ordre.

Pour représenter les variations d'une fonction f, on utilise un tableau avec des flèches représentant la monotonie sur des intervalles les plus grands possible. Si on les connaît, on écrit les images au bout des flèches. L'ensemble forme le tableau de variations de f.

f est ici représentée sur l'intervalle [-1 \: ;+\infty[.
f est décroissante sur [-1 \: ; 0], croissante sur [0 \: ; 1], décroissante sur [1 \: ; 3] puis enfin croissante sur [3 \: ;+\infty[.

En résumé :

f n'étant pas définie sur un intervalle borné, il n'est pas possible de tracer la courbe de f complètement. Dans ce cas, on admet que la monotonie ne change pas au-delà des limites du repère.

1. L'ensemble de définition se lit sur l'axe des abscisses. S'il n'y a pas de point à l'extrémité de la courbe, alors on admet que la courbe continue à l'infini.
2. Les extremums se lisent sur l'axe des ordonnées. Il suffit de repérer, lorsqu'ils existent, les points les plus hauts et les points les plus bas de la courbe.
3. Pour dresser le tableau de variations, on lit le graphique de gauche à droite en indiquant une flèche correspondant aux variations de la fonction.

1. f est définie sur l'intervalle [-1\: ;+\infty[.
2. f n'admet pas de maximum.
Elle admet un minimum égal à -1.
Ce minimum est atteint pour x = -1 et x = 0{,}5.
3.

Exercices

17

;

18

et

19

p. 79

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction h définie sur [-8\:; 7].


En justifiant, comparer :
1. h(-5) et h(-3) ;
2. h(-1) et h(1) ;
3. h(-4) et h(3).

1. h est strictement croissante sur l'intervalle [-8\:;-2].
De plus, on a : -8 \lt -5\lt-3\lt-2.
Donc h(-5) \lt h(-3).
2. h est strictement décroissante sur l'intervalle [-2\:; 2].
De plus, on a : -2 \lt -1 \lt 1\lt 2.
Donc h(-1)>h(1).
3. D'après le tableau de variations, h(-4) > 0 et h(3) \lt 0 donc h(3) \lt h(-4).


Exercices

22

et

23

p. 80 et

30

p. 81

• On dit que f admet un minimum m sur \text{D} lorsque, pour tout x \in \mathrm{D}, f(x) \geqslant m et il existe \alpha \in D tel que f(\alpha) = m. m est la plus petite image par f.
• On dit que f admet un maximum \text{M} sur \text{D} lorsque, pour tout x \in \mathrm{D}, f(x) \leqslant \mathrm{M} et il existe \alpha \in D tel que f(\alpha) = \text{M}. \text{M} est la plus grande image par f .

• La valeur des extremums d'une fonction peut varier en fonction de l'intervalle sur lequel on se place.
• Une fonction n'admet pas obligatoirement un minimum ou un maximum.

Bougez le curseur pour déplacer le point sur la courbe de la fonction.