Entrainement 2


Études comparatives





54
[Représenter.]
On reprend l’exercice précédent et on ajoute une planche supplémentaire (une 6ème planche pour faire un rayon de rangement en plus). On note W(x)\text{W}(x) le volume de l’étagère correspondant. On admet alors que y=7500x26xy=\dfrac{7\,500-x^{2}}{6 x} et que W(x)=56V(x)\mathrm{W}(x)=\dfrac{5}{6} \mathrm{V}(x)V(x)\text{V}(x) est le volume de l’exercice
53
.

1. Déduire le volume maximum W\text{W} et les dimensions de l’étagère.


2. L’enseigne souhaite toujours avoir un volume d’étagère de 4000040\,000 cm3.
a. Montrer que W(x)=40000\text{W}(x) = 40\,000 équivaut à V(x)=48000.\text{V}(x) = 48\,000 .

b. Déduire par lecture graphique les dimensions xx et yy correspondantes.

48
[Représenter.]
On considère l’énoncé de l’exercice précédent. On a représenté dans un repère la fonction B\text{B} définie pour tout x[0;70]x \in[0\: ; 70] par B(x)=R(x)D(x).\mathrm{B}(x)=\mathrm{R}(x)-\mathrm{D}(x).

Études comparatives


1. À l’aide de cette représentation graphique, retrouver les résultats obtenus dans l’exercice précédent.


2. Dresser le tableau de variations de B\text{B} sur [0;70].[0\:; 70].
Couleurs
Formes
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3. a. Pour combien d’objets produits le déficit est-il le plus important ?

b. Le directeur pense que, pour avoir un bénéfice maximum, il doit produire le plus d’objets possible. A-t-il raison ? Préciser.

40
[Chercher.] ◉◉
On a représenté dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions ff , gg et hh sur l’intervalle [5;5]. [-5 \:; 5].

MAT2_CH2_p83_EX40

1. Tracer le tableau de variations de chaque fonction sur leur ensemble de définition.

Fonction f:f \: :
Couleurs
Formes
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Fonction g:g \: :
Couleurs
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Fonction h:h \: :
Couleurs
Formes
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2. Résoudre graphiquement sur l’intervalle [5;5]:[-5\:; 5]:
a. f(x)h(x) f(x) \geqslant h(x)

b. f(x)g(x) f(x) \leqslant g(x)

c. h(x)g(x) h(x) \leqslant g(x)

d. h(x)f(x)g(x)h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)


3. Pouvait-on déduire le résultat de la question d. à partir des résultats des questions a., b. et c. ? Justifier.

36
[Raisonner.]
Soit gg une fonction strictement décroissante et définie sur R\mathbb{R} telle que g(0)=1g(0) = 1 et g(4)=1.g(4) = -1. Déterminer l’intervalle des nombres réels xx tels que 1<g(x)1.-1\lt g(x) \leqslant 1.

35
[Raisonner.]
Soit ff une fonction strictement croissante et définie sur R\mathbb{R} telle que f(2)=0f(-2)=0 et f(1)=3.f(1)=3. Déterminer l’intervalle des nombres réels xx tels que :
1. f(x)<0f(x)\lt0


2. f(x)3f(x) \geqslant 3


51
[Chercher.]
Les deux courbes rouges de chacun des deux graphiques ci-dessous délimitent la taille dite « normale » en cm des enfants de 0 à 2 ans : en dehors de ces deux courbes, l’enfant fait partie des 3 % plus petits ou des 3 % plus grands. On note xx l’âge d’un enfant en mois, F(x)F(x) la taille des filles et G(x)G(x) la taille des garçons.

Taille couchée pour les filles de la naissance à 2 ans

Taille couchée pour les garçons de la naissance à 2 ans

1. Dans quel intervalle de taille « doit » se situer un enfant (fille et garçon) à la naissance ? à 1 an ? à 2 ans ?


2. Dans quel intervalle d’âge « doit » se situer un enfant (fille et garçon) de 80 cm ?


3. On considère un groupe d’enfants entre 12 et 16 mois dont la taille est comprise entre 75 et 80 cm.
a. S’il s’agit d’un groupe de filles, peut-on être certain que tous les enfants ont une croissance « normale » ? Sinon, donner un contre-exemple possible.

b. Même question s’il s’agit d’un groupe de garçons.

41
[Raisonner.]
On considère deux fonctions ff et gg définies sur [2,5;4][-2\text{,}5\:; 4] et dont on a affiché ci-dessous le tableau de valeurs obtenu à la calculatrice (Y1\text{Y}_{1} pour ff et Y2\text{Y}_{2} pour g).g).
MAT.2de.2.ENTR2.calculatrice_tableau1
MAT.2de.2.ENTR2.calculatrice_tableau2
Par lecture de ces tableaux de valeurs, conjecturer les valeurs de xx sur [2,5;4][-2\text{,}5\:; 4] pour lesquelles on a :
1. f(x)=4 f(x)=-4

2. f(x)=10 f(x)=-10

3. f(x)<0 f(x)\lt 0

4. f(x)=0 f(x) = 0

5. g(x)=16 g(x) = 16

6. f(x)=g(x) f(x) = g(x)

7. f(x)g(x) f(x) \geqslant g(x)

8. f(x)g(x) f(x) \leqslant g(x)

53
[Représenter.] ◉◉
Une grande enseigne commercialise des étagères formée de cinq planches en bois identiques et d’un fond en bois (voir dessin). On note xx et yy les dimensions variables en centimètre des cinq planches, d’épaisseur négligeable. L’aire totale du bois utilisé est fixée à 75007\,500 cm2.

MAT2_CH2_p87_EX53_1
Pour x>0x > 0, on peut montrer que y=7500x25xy=\dfrac{7\,500-x^{2}}{5 x} et que le volume V\text{V} de l'étagère est tel que : V(x)=7500xx35.\text{V}(x)=\dfrac{7\,500 x-x^{3}}{5}.
On a représenté dans un repère orthogonal la courbe de la fonction V.\text{V}.

MAT2_CH2_p87_EX53_2

1. Lire la valeur de xx telle que V\text{V} soit maximale puis calculer y.y.


2. L’enseigne veut commercialiser des étagères d’un volume supérieur ou égal à 4000040\,000 cm3 : traduire cela par une inéquation et la résoudre graphiquement.

44
[ Modéliser.]
Un horloger veut étudier la résistance d’un ressort d’extrémités A\text{A} et B\text{B} : A\text{A} est fixe et B\text{B} est fixé à une roue de rayon 1 unité, qui tourne autour de son centre fixe O.\text{O}. B\text{B} est initialement au niveau du point I.\text{I}.

On note α\alpha la mesure de l’angle IOB^\widehat{\mathrm{IOB}} en degré. ff est la fonction qui, à toute valeur de α[0;360],\alpha \in[0\:; 360], associe la longueur AB\text{AB} du ressort.
MAT2_CH2_p84_EX44_1

On donne ci-dessous la courbe représentative de ff sur son ensemble de définition.

MAT2_CH2_p84_EX44_2

1. Tracer le tableau de variations de ff sur [0;360].[0 \: ; 360] .
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. On suppose que le ressort est :
  • au repos lorsque f(x)=2;f(x) = 2\:;
  • en forte compression lorsque f(x)1,5f(x) \leqslant 1\text{,}5 ;
  • en fort étirement lorsque f(x)3f(x) \geqslant 3 ;
  • Préciser les angles correspondant à chacun de ces trois cas de figure.


    3. Pour ne pas trop s'abîmer trop, l'horloger estime que le ressort ne doit pas être sous fortes contraintes (forte compression ou fort étirement) plus de 40 % de la rotation complète : est-ce le cas ?

    38
    [Représenter.]
    Charline a représenté deux fonctions ff (en bleu) et gg (en rouge) sur sa calculatrice.

    MAT.2de.2.ENTR2.calculatrice-f-g
    Résoudre graphiquement dans R\mathbb{R} l’inéquation f(x)g(x).f(x) \geqslant g(x).

    39
    [Raisonner.] ◉◉
    Dans un repère orthogonal, on a tracé la représentation graphique d’une fonction ff définie sur un intervalle I.\text{I}.

    MAT2_CH2_p82_EX39

    1. Résoudre sur I\text{I} l’inéquation f(x)>4.f(x) > 4.


    2. Résoudre sur I: \text{I}\: : 0f(x)4.0 \leqslant f(x) \leqslant 4.


    3. Indiquer le signe de f(x) f(x) suivant les valeurs de xI.x \in \mathrm{I}.

    49
    [Modéliser.] ◉◉◉
    On considère les trois verres ci-dessous et on note hh la hauteur en centimètre du liquide contenu dans chaque verre.

    MAT2_CH2_p85_EX49_1

    On note V1(h)\text{V}_{1}(h), V2(h)\text{V}_{2}(h) et V3(h)\text{V}_{3}(h) les volumes respectifs de liquide dans ces trois verres en fonction de h.h. On a tracé dans un repère orthogonal les différentes courbes représentatives des fonctions V1\text{V}_{1}, V2\text{V}_{2} et V3.\text{V}_{3}.

    MAT2_CH2_p85_EX49_2

    1. Pour chacun de ces trois verres, préciser les hauteurs telles que le volume du liquide soit strictement inférieur à 20 cm3.


    2. Résoudre et interpréter : V1(h)<V2(h)\mathrm{V}_{1}(h) \lt \mathrm{V}_{2}(h) ; V1(h)<V3(h)\mathrm{V}_{1}(h) \lt \mathrm{V}_{3}(h) et V2(h)<V3(h).\mathrm{V}_{2}(h) \lt \mathrm{V}_{3}(h).


    3. a. Préciser, en fonction de la valeur de h,h , le verre ayant le plus faible volume de liquide.


    a. Même question avec le plus grand volume de liquide.

    46
    PYTHON
    [Modéliser.]
    Soit xx un réel strictement positif. On considère un petite cube cc dont le côté a pour longueur x, x, emboîté dans un grand cube CC dont le côté a pour longueur x+1.x + 1. On note F(x)F(x) le volume de cc et G(x)G(x) le volume de la partie entourant ce cube. Attention, G(x)G(x) n’est pas le volume du grand cube.

    MAT2_CH2_p84_EX46

    1. Exprimer F(x)F(x) en fonction de x. x.


    2. On peut montrer que, pour tout x>0,G(x)=3x2+3x+1. x > 0,G(x)=3 x^{2}+3 x+1. On a tracé ci-après les courbes représentatives de FF et de G.G. Identifier la courbe de FF puis celle de G.G.


    MAT2_CH2_p85_EX46

    3. Résoudre graphiquement et interpréter : F(x)=G(x)F(x) = G(x) ; F(x)>G(x)F(x)>G(x) ; F(x)<G(x).F(x) \lt G(x) .


    4. Que permet de faire le programme suivant ?

    def Cube(x): #x = 3 par exemple pour tester 
      while x**3 < 3 * x**2 + 3 * x + 1: 
        x = x + 0.001 
    
      x1 = round(x, 3) 
      x2 = round(x — 0.001, 3) 
     
      return(x2, x1)
      
      



    5. Que se passe-t-il si on l’initialise avec x=4 x = 4 ?

    55
    [Raisonner.]
    Refaire l’exercice
    53
    mais, cette fois, on décide d’ajouter une planche carrée identique à la planche du fond pour pouvoir fermer l’étagère. Dans ce cas, y=75002x25xy=\dfrac{7\,500-2 x^{2}}{5 x} et V(x)=7500x2x35.V(x)=\dfrac{7\,500 x-2 x^{3}}{5}.




    50
    [Modéliser.] ◉◉◉
    volleyball

    On modélise la position d’une volleyeuse en utilisant un repère orthonormé du plan ainsi que la trajectoire du ballon. Une volleyeuse C\text{C} est située en (1;0)(1\: ; 0) (position des pieds).

    Études comparatives

    La fonction G\text{G} associe, à chaque abscisse x[3;4]x \in[-3 \:; 4] du ballon, la longueur BC.\text{BC}.

    Études comparatives

    1. Lire G(0)\text{G}(0) et interpréter.


    2. La joueuse C\text{C} ne peut toucher la balle que si BC2,5.\text{BC} \leqslant 2\text{,}5.
    a. Peut-elle toucher la balle lorsqu’elle passe au-dessus de sa tête ?

    b. L’adversaire pense alors avoir gagné le point : résoudre G(x)2,5\text{G}(x) \leqslant2\text{,}5 et conclure.

    c. Quelle est la distance minimale entre C\text{C} et B?\text{B}\:?


    3. Tracer le tableau de variations de G\text{G} sur [3;4].[-3 \:; 4].
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici

    52
    [Modéliser.]
    On a relevé la température de l’eau TT en degré Celsius dans une casserole à feu léger, en fonction du temps tt en minute, avec couvercle (AA en rouge) et sans couvercle (SS en vert) durant 15 min.

    1. Déterminer et interpréter A(0)A(0) et S(0).S(0).


    2. a. On suppose que 4<t<54 \lt t \lt 5 : encadrer A(t)A(t) et S(t).S(t).

    b. La température de l’eau est comprise entre 70 et 80 °C : encadrer tt dans les deux cas.


    3. La cuisson d’un aliment doit s’arrêter lorsque T=90T = 90 °C : indiquer le gain de temps en mettant un couvercle.


    MAT2_CH2_p87_EX52

    45
    EN SES
    [Chercher..]
    On considère le document ci-dessous comparant le taux de chômage des femmes avec celui des hommes entre les année 1975 et 2015.

    MAT2_CH2_p84_EX45

    On note H(x)H(x) et F(x)F(x) , le taux de chômage respectivement des hommes et des femmes en fonction de l’année xx comprise entre 1975 et 2015.

    1. Lire H(2015)H(2015) et F(2015)F(2015) puis interpréter.


    2. En quelle année le taux de chômage des femmes a-t-il été le plus élevé ? Et celui des hommes ?


    3. a. Préciser les périodes pendant lesquelles le taux de chômage des femmes a été inférieur à 8 % puis supérieur à 6 %. Traduire cela par des inéquations.

    b. Même question pour le chômage des hommes.

    43
    [Chercher.]
    Soit hh un réel de l’intervalle [0;24][0\:; 24] . Dans le repère orthogonal suivant, la courbe en trait continu ci-dessous représente l’évolution du taux d’alcool A\text{A} dans le sang de Mickaël (en mg/L) en fonction de la durée hh (en heure) après absorption de la boisson.

    MAT2_CH2_p83_EX43
    1. Pour conduire, il faut A(h)50\mathrm{A}(h) \leqslant 50 : résoudre cette inéquation.


    2. Mickaël a la migraine dès que A(h\mathrm{A}(h) dépasse 4040 mg/L : résoudre l’inéquation correspondante.


    3. Pour calmer sa migraine, Mickaël prend un médicament dont le taux M(h)\text{M}(h) , en mg/L, est représenté en pointillés. Ce dernier n’agit que si M(h)>A(h): \text{M}(h) > \text{A}(h): résoudre cette inéquation.


    4. Conclure sur la durée de la migraine en tenant compte des questions 2. et 3..

    42
    [Modéliser.] ◉◉◉
    Sur une feuille A4 (21 ×\times 29,7 cm), un rédacteur souhaite placer une image carrée de longueur xx , que l’on peut faire varier, ainsi qu’un texte explicatif à côté dans une zone de texte alignée avec l’image, avec des marges de 1 cm.
    Le texte explicatif occupe une aire de 80 cm2 dans la zone de texte (il est possible que la zone de texte ait une aire supérieure à 80 cm2).

    MAT2_CH2_p83_EX42

    1. À quel intervalle I\mathrm{I} appartient x?x\:?


    2. Montrer que, pour tout xI,x \in \mathrm{I}, l’aire S\text{S} de la zone de texte est égale à S(x)=18xx2.\text{S}(x)=18 x-x^{2}.


    3. Avec x=7,x =7, la zone de texte sera-t-elle suffisante ?


    4. Le rédacteur se dit qu’il faut réduire xx pour augmenter la largeur de la zone de texte. À l’aide de la courbe représentative de S:\text{S}:
    a. résoudre S(x)=80\text{S}(x) = 80 ; S(x)>80\text{S}(x) > 80 ; S(x)<80;\text{S}(x) \lt 80\:;

    b. conclure sur la méthode du rédacteur.

    56
    [Chercher.]
    Dans le triangle ABC\text{ABC} ci-dessous, on considère le point P\text{P} qui se situe sur le segment [AB].[\text{AB}]. Le point G\text{G} est fixe dans le triangle ABC.\text{ABC}. On note xx la distance AP.\text{AP}. Le triangle ABC\text{ABC} est donc séparé en deux parties par la droite (PG)(\text{PG}) dont on note les aires S1(x)\text{S}_{1}(x) et S2(x).\text{S} _{2}(x).

    MAT2_CH2_p87_EX56_1
    Les fonctions S1\text{S}_{1} et S2\text{S}_{2} sont tracées ci-dessous.

    MAT2_CH2_p87_EX56_2
    1. Justifier que S1\text{S}_{1} et S2\text{S}_{2} sont définies sur [0;12].[0\: ; 12] .


    2. Quels sont les extremums de S1\text{S}_{1} et de S2?\text{S}_{2}\: ?


    3. a. Justifier que S1(x)+S2(x)\mathrm{S}_{1}(x)+\mathrm{S}_{2}(x) est constante.

    b. Résoudre S1(x)>28.\text{S}_{1} (x) > 28. Comment retrouver ce résultat à partir de S2?\text{S}_{2} \: ?


    4. Résoudre S1(x)=S2(x)\mathrm{S}_{1}(x)=\mathrm{S}_{2}(x) ; S1(x)>S2(x)\text{S}_{1}(x) > \text{S}_{2}(x) et S1(x)<S2(x).\mathrm{S}_{1}(x) \lt \mathrm{S}_{2}(x) . Interpréter les résultats.

    37
    [Raisonner.] ◉◉
    Soient ff une fonction strictement croissante et gg une fonction strictement décroissante définies sur R\mathbb{R} telles que f(2)=g(2).f(-2) = g(-2). Comparer f(x) f(x) et g(x)g(x)