Entrainement 2


Étude d’une fonction affine





74
[Calculer.] ◉◉
1. (5x3)(2x+1)>(2x+1)(x4) (5 x-3)(2 x+1)>(2 x+1)(x-4)

2. (3x+2)(6x1)(3x+2)2 (3 x+2)(-6 x-1) \geqslant(3 x+2)^{2}

3. (2x1)(5x+7)<4x24x+1 (2 x-1)(-5 x+7) \lt 4 x^{2}-4 x+1


81
DÉMO
[Raisonner.]
1. Montrer qu’une fonction linéaire est une fonction impaire.

2. Montrer qu’une fonction constante est une fonction paire.

3. Démontrer les réciproques des deux propositions précédentes dans le cas de fonctions affines.


78
[Raisonner.]
1. Montrer que, pour tout xRx \in \mathbb{R},
(2x+1)(x3)+25=(2x+11)(x+2)(-2 x+1)(x-3)+25=(-2 x+11)(x+2)

2. En déduire les solutions de l’inéquation :
(2x+1)(x3)25(-2 x+1)(x-3) \geqslant-25


DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 39 ; 42 ; 50 ; 56 ; 63 et 88
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 58 ; 66 ; 68 ; 70 ; 74 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 53 ; 61 ; 80 ; 82 ; 86 et 91

64
[Raisonner.]
Soit ff une fonction affine définie sur R\mathbb{R}.
Déterminer les extremums de ff sur l’intervalle [1;10][1 \:; 10] en supposant que :

1. ff est croissante sur R\mathbb{R} ;

2. ff est décroissante sur R.\mathbb{R}.

73
[Calculer.]
1. (2x+1)(6x+5)>0 (-2 x+1)(6 x+5)>0

2. (23x)(4x1)0 (2-3 x)(4 x-1) \leqslant 0

3. (12x+3)(23x12)<0 \left(\dfrac{1}{2} x+3\right)\left(\dfrac{-2}{3} x-\dfrac{1}{2}\right)\lt0


Pour les exercices
73
à
76


Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations proposées en faisant attention aux ensembles de définition.

70
ALGO
[Modeliser.] ◉◉
Un étudiant a emprunté 1 000 € à ses parents. Il prévoit de rembourser 85 € par mois. On note xx le nombre de mois écoulés depuis l’emprunt et S(x)S(x) la somme restant à rembourser après xx mois.
1. Donner une expression de S(x)S(x).

2. Étudier le signe et les variations de la fonction SS.

3. En déduire au bout de combien de mois l’étudiant aura payé sa dette.

4. Compléter l’algorithme ci-dessous pour que celui-ci donne le nombre de mois nécessaires pour recouvrir la dette de l’étudiant.

10000Tant que ...  X +1...Fin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } { \text {D } \leftarrow 1000 } \\ { \text {X } \leftarrow 0 } \\ \text{Tant que ... }\\ \quad \text {X } \leftarrow \text { X }+1 \\ \quad \text {D } \leftarrow ... \\ \text {Fin Tant que} \end{array} }

Dans la vie professionnelle

La conseillère financier (ou le conseiller financier) est parfois amenée à proposer à ses clients des prêts avec intérêts simples. Dans ce cas, on peut effectuer les calculs des remboursements à l’aide de fonctions affines.

69
[Chercher.]
Soient pp et qq deux fonctions affines définies sur R\mathbb{R} par p(x)=106xp(x)=10-6 x et q(x)=8x+2 q(x)=-8 x+2.

1. Donner le tableau de signes de chacune de ces fonctions sur R\mathbb{R}.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Déterminer l’expression algébrique de la fonction dd définie pour tout réel xx par d(x)=p(x)q(x).d(x)=p(x)-q(x).


3. En déduire le tableau de signes de dd sur R.\mathbb{R}.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


4. Que peut-on en déduire sur les positions relatives des courbes représentatives de pp et de qq ?

65
[Chercher.]

Classer les fonctions affines suivantes selon leur signe sur l’intervalle [1;10].[1\: ; 10].

g1(x)=2x+4g_{1}(x)=2 x+4
g2(x)=2x4g_{2}(x)=-2 x-4
g3(x)=2x4g_{3}(x)=2 x-4
g4(x)=2x+4g_{4}(x)=-2 x+4
g5(x)=2xg_{5}(x)=2 x
g6(x)=4g_{6}(x)=-4

82
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient ff et gg deux fonctions définies pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=4x6 et g(x)=5x+3f(x)=4 x-6 \text { et } g(x)=-5 x+3.

1. Étudier les variations de ff et gg sur R.\mathbb{R}.

2. Soit aa un réel tel que a[1;2].a \in[-1\:; 2].
a. Donner un encadrement de f(a)f(a) puis de g(f(a))g(f(a)).

b. Donner un encadrement de g(a)g(a) puis de f(g(a))f(g(a)).

76
[Calculer.]
1. x4x+8>1 \dfrac{x-4}{x+8}>-1

2. x2x102 \dfrac{x}{2 x-10} \geqslant 2

3. 14xx3<4 \dfrac{1-4 x}{x-3} \lt -4


68
[Chercher.] ◉◉
Soient rr et ss deux fonctions affines définies sur R\mathbb{R} par r(x)=437xr(x)=4-\dfrac{3}{7} x et s(x)=x12s(x)=x-\dfrac{1}{2}.

1. Dresser le tableau de variations sur R\mathbb{R} de chacune de ces fonctions.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Déterminer l’expression algébrique de la fonction tt définie pour tout réel xx par t(x)=r(x)+s(x).t(x)=r(x)+s(x).


3. En déduire le tableau de variations de tt sur R\mathbb{R}.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


4. Conjecturer une propriété pour établir les variations de la somme de deux fonctions affines.

63
[Chercher.] ◉◉

Classer les fonctions suivantes selon leur variation (croissante, décroissante, constante) sur R\mathbb{R}.

g(x)=4x3g(x)=4 x-3
h(x)=(6x+1)2(4x3)h(x)=(-6 x+1)-2(4 x-3)
i(x)=2(6x+1)+3(4x3)i(x)=2(-6 x+1)+3(4 x-3)
j(x)=3(6x+1)(4x3)j(x)=-3(-6 x+1)-(4 x-3)
k(x)=(6x+1)29x(4x3)k(x)=(-6 x+1)^{2}-9 x(4 x-3)

80
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit pp un nombre réel. On pose mpm_p le réel défini par mp=7p+3m_{p}=-7 p+3.
On considère la famille de fonctions affines notées fpf_p définies sur R\mathbb{R} par fp(x)=mp×x+pf_{p}(x)=m_{p} \times x+p.

1. a. Montrer que m1=4.m_{1}=-4.

b. En déduire l’expression de la fonction f1f_{1}.

2. Déterminer l’expression de la fonction f2.f_{-2}.

3. En fonction des valeurs de pp, discuter :
a. des variations de la fonction fpf_{p} ;

b. du signe de l’éventuelle valeur annulant fp.f_{p}.

66
[Raisonner.] ◉◉
ff est une fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf(x)=m x+p dont on donne le tableau de signes ci-dessous.

tableau-signe1

1. Le nombre mm peut-il être égal à 00 ? Justifier.

2. Peut-on comparer les nombres pp et 22 ?

3. Comparer pm-\dfrac{p}{m}et 1.-1.

4. Établir le tableau de variations de ff sur R.\mathbb{R}.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


72
[Calculer.]
On souhaite résoudre dans R\mathbb{R} l’inéquation 3x42x+1>0.\dfrac{3 x-4}{-2 x+1}>0.
1. Déterminer, en fonction de xx, le signe de 3x43x - 4 puis celui de 2x+1.-2x + 1.

2. Rassembler les réponses dans un tableau de signes et en déduire la résolution du problème.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

84
DÉMO
[Raisonner.]
On considère une fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf(x)=m x+pmm et pp sont deux nombres réels tels que m0m \neq 0.

1. Déterminer la solution de l’équation f(x)=0f(x)=0 en fonction de mm et pp.

2. On suppose que m>0m>0.
a. Quel est le sens de variation de ff sur R\mathbb{R} ?

b. x1x_1 et x2x_2 sont deux nombres réels tels que
x1<mp<x2x_{1} \lt -\dfrac{m}{p} \lt x_{2}.
Déterminer le signe de f(x1) f (x_1) et f(x2).f( x_2).

c. Dresser alors le tableau de signes de ff sur R\mathbb{R} lorsque m>0.m > 0.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. On suppose que m<0m \lt 0. En utilisant le même raisonnement que dans la question 2. , dresser le tableau de signes de ff sur R\mathbb{R} lorsque m<0.m \lt 0.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

75
[Calculer.]
1. x+2x+6<0 \dfrac{x+2}{-x+6} \lt 0

2. 3x42x+30 \dfrac{3 x-4}{2 x+3} \geqslant 0

3. 12x78x+130 \dfrac{\dfrac{1}{2} x-7}{8 x+\dfrac{1}{3}} \leqslant 0


67
[Raisonner.]
Soient hh et kk deux fonctions affines écrites sous la forme mx+pmx + p avec m0m \neq 0.
On donne leur tableau de signes ci-dessous :

tableau-signe2
1. Pour chaque fonction, donner la valeur de pm.\dfrac{-p}{m}.

2. Pour chaque fonction, recopier et compléter par le plus petit intervalle possible :
m];[m \in ] \ldots ; \ldots[ et p];[p \in] \ldots ; \ldots[.

71
[Calculer.]
On souhaite résoudre dans R\mathbb{R} l’inéquation :
(4x3)(2x1)0.(4 x-3)(2 x-1) \geqslant 0.
1. Déterminer, en fonction de xx, le signe de 4x34x - 3 puis celui de 2x1.2x - 1.

2. Rassembler les réponses dans un tableau de signes et en déduire la résolution du problème.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

62
[Raisonner.]
Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=136x29.g(x)=\dfrac{13}{6} x-\dfrac{2}{9}.
1. Comparer g(23)g\left(-\dfrac{2}{3}\right) et g(74)g\left(-\dfrac{7}{4}\right) en utilisant les variations de gg.

2.Comparer g(23)g\left(-\dfrac{2}{3}\right) et g(74)g\left(-\dfrac{7}{4}\right) à l’aide d’une chaîne logique.

79
[Raisonner.]
1. Montrer que, pour tout xRx \in \mathbb{R},
7+(2x+7)(x6)=(x+7)(2x5).7+(-2 x+7)(x-6)=(-x+7)(2 x-5).

2. En déduire les solutions de l’inéquation :
(2x+7)(x6)<7.(-2 x+7)(x-6) \lt -7.

77
[Raisonner.]
1. Montrer que, pour tout xRx \in \mathbb{R},
(x+5)(x+3)15=x(x+8)(x+5)(x+3)-15=x(x+8)

2. En déduire les solutions de l’inéquation :
(x+5)(x+3)>15(x+5)(x+3)>15


83
[Raisonner.]
Soit ff une fonction affine définie sur R\mathbb{R} telle que :
5x98f(x)35 \leqslant x \leqslant 9 \Leftrightarrow-8 \leqslant f(x) \leqslant 3.
Quelle doit être alors l’expression de ff pour que la fonction ff :
1. soit croissante ?

2. soit décroissante ?

Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Se connecter

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?