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Chapitre 3
Entraînement 2

Étude d'une fonction affine

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
33
 ;
39
 ;
42
 ;
50
 ;
56
 ;
63
 et
88
Parcours 2 : exercices
41
 ;
58
 ;
66
 ;
68
 ;
70
 ;
74
 et
87
Parcours 3 : exercices
45
 ;
53
 ;
61
 ;
80
 ;
82
 ;
86
 et
91
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62
 [Raisonner.]
Soit la fonction définie sur par

1. Comparer et en utilisant les variations de .

2.Comparer et à l'aide d'une chaîne logique.
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63
 [Chercher.]


Classer les fonctions suivantes selon leur variation (croissante, décroissante, constante) sur .














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 [Raisonner.]
Soit une fonction affine définie sur .
Déterminer les extremums de sur l'intervalle en supposant que :

1. est croissante sur ;

2. est décroissante sur
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65
 [Chercher.]
Classer les fonctions affines suivantes selon leur signe sur l'intervalle

















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66
 [Raisonner.]

est une fonction affine définie sur par dont on donne le tableau de signes ci-dessous.

Placeholder pour Tableau: étude de fonction affine. Évolution de f(x) de -∞ à +∞. f(x) = 0 quand x = -1.Tableau: étude de fonction affine. Évolution de f(x) de -∞ à +∞. f(x) = 0 quand x = -1.
1. Le nombre peut-il être égal à ? Justifier.

2. Peut-on comparer les nombres et ?

3. Comparer et

4. Établir le tableau de variations de sur
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67
 [Raisonner.]
Soient et deux fonctions affines écrites sous la forme avec .
On donne leur tableau de signes ci-dessous :

Placeholder pour Tableau: étude du signe des fonctions affines h(x) et k(x). Signe de h(x) positif puis négatif autour de -5. Signe de k(x) négatif puis positif autour de 0,8.Tableau: étude du signe des fonctions affines h(x) et k(x). Signe de h(x) positif puis négatif autour de -5. Signe de k(x) négatif puis positif autour de 0,8.

1. Pour chaque fonction, donner la valeur de

2. Pour chaque fonction, recopier et compléter par le plus petit intervalle possible :
et .
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68
 [Chercher.]

Soient et deux fonctions affines définies sur par et .

1. Dresser le tableau de variations sur de chacune de ces fonctions.
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2. Déterminer l'expression algébrique de la fonction définie pour tout réel par


3. En déduire le tableau de variations de sur .
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4. Conjecturer une propriété pour établir les variations de la somme de deux fonctions affines.
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69
 [Chercher.]
Soient et deux fonctions affines définies sur par et .

1. Donner le tableau de signes de chacune de ces fonctions sur .
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2. Déterminer l'expression algébrique de la fonction définie pour tout réel par


3. En déduire le tableau de signes de sur
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4. Que peut-on en déduire sur les positions relatives des courbes représentatives de et de ?
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70
Algo
 [Modeliser.]

Un étudiant a emprunté 1 000 € à ses parents. Il prévoit de rembourser 85 € par mois. On note le nombre de mois écoulés depuis l'emprunt et la somme restant à rembourser après mois.

1. Donner une expression de .

2. Étudier le signe et les variations de la fonction .

3. En déduire au bout de combien de mois l'étudiant aura payé sa dette.

4. Compléter l'algorithme ci-dessous pour que celui-ci donne le nombre de mois nécessaires pour recouvrir la dette de l'étudiant.
Dans la vie professionnelle

La conseillère financier (ou le conseiller financier) est parfois amenée à proposer à ses clients des prêts avec intérêts simples. Dans ce cas, on peut effectuer les calculs des remboursements à l'aide de fonctions affines.
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71
 [Calculer.]
On souhaite résoudre dans l'inéquation :


1. Déterminer, en fonction de , le signe de puis celui de

2. Rassembler les réponses dans un tableau de signes et en déduire la résolution du problème.

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72
 [Calculer.]
On souhaite résoudre dans l'inéquation

1. Déterminer, en fonction de , le signe de puis celui de

2. Rassembler les réponses dans un tableau de signes et en déduire la résolution du problème.

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Pour les exercices 73 à 76
Résoudre dans les inéquations proposées en faisant attention aux ensembles de définition.
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73
 [Calculer.]
1.

2.

3.
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74
 [Calculer.]

1.

2.

3.

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75
 [Calculer.]
1.

2.

3.

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76
 [Calculer.]
1.

2.

3.

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77
 [Raisonner.]
1. Montrer que, pour tout ,


2. En déduire les solutions de l'inéquation :


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78
 [Raisonner.]
1. Montrer que, pour tout ,


2. En déduire les solutions de l'inéquation :


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79
 [Raisonner.]
1. Montrer que, pour tout ,


2. En déduire les solutions de l'inéquation :
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81
Démo
 [Raisonner.]
1. Montrer qu'une fonction linéaire est une fonction impaire.

2. Montrer qu'une fonction constante est une fonction paire.

3. Démontrer les réciproques des deux propositions précédentes dans le cas de fonctions affines.

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80
 [Raisonner.]

Soit un nombre réel. On pose le réel défini par .
On considère la famille de fonctions affines notées définies sur par .

1. a. Montrer que

b. En déduire l'expression de la fonction .

2. Déterminer l'expression de la fonction

3. En fonction des valeurs de , discuter :
a. des variations de la fonction ;

b. du signe de l'éventuelle valeur annulant
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82
 [Raisonner.]

Soient et deux fonctions définies pour tout par .

1. Étudier les variations de et sur

2. Soit un réel tel que
a. Donner un encadrement de puis de .

b. Donner un encadrement de puis de .
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83
 [Raisonner.]
Soit une fonction affine définie sur telle que :
.
Quelle doit être alors l'expression de pour que la fonction :

1. soit croissante ?

2. soit décroissante ?

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84
Démo
 [Raisonner.]
On considère une fonction affine définie sur par où et sont deux nombres réels tels que .

1. Déterminer la solution de l'équation en fonction de et .

2. On suppose que .
a. Quel est le sens de variation de sur ?

b. et sont deux nombres réels tels que
.
Déterminer le signe de et

c. Dresser alors le tableau de signes de sur lorsque
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3. On suppose que . En utilisant le même raisonnement que dans la question 2. , dresser le tableau de signes de sur lorsque
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