Synthèse





96
DÉFI

Soit ff et gg deux fonctions affine définies pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=mx+pf(x)=m x+p et g(x)=rx+sg(x)=r x+s.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les nombres ss et pp pour avoir :
pour tout xR,f(g(x))=g(f(x)).x \in \mathbb{R}, f(g(x))=g(f(x)).

86
[Chercher.] ◉◉◉

Pour les Jeux olympiques de 2024 à Paris, on envisage de construire une salle multisport suivant les contraintes indiquées ci-dessous (avec xx compris entre 10 et 50 mètres).

MAT2_CH3_p112_EX86_1
MAT2_CH3_p112_EX86_2

1. Déterminer l’aire TS\mathrm{T}_{\mathrm{S}} du terrain de sport en fonction de xx.

2. On note TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}}, l’aire au sol de la tribune basse.
Démontrer que, pour tout x[10;50]x \in[10 \:; 50],
TB(x)=(x+20)(x+30)TS(x)\mathrm{T}_{\mathrm{B}}(x)=(x+20)(x+30)-\mathrm{T}_{\mathrm{S}}(x) puis simplifier l’expression de TB.\mathrm{T}_{\mathrm{B}}.

3. On note TH\mathrm{T}_{\mathrm{H}}, l’aire au sol de la tribune haute.
Démontrer que, pour tout x[10;50]x \in[10 \:; 50],
TH(x)=(x+60)(x+70)(x+20)(x+30)\mathrm{T}_{\mathrm{H}}(x)=(x+60)(x+70)-(x+20)(x+30) puis simplifier l’expression de TH.\mathrm{T}_{\mathrm{H}}.

4. Le coût de construction du mètre carré en tribune basse est trois fois plus élevé qu’en tribune haute.
a. Représenter, à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, les fonctions TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} et 3×TH.3 \times \mathrm{T}_{\mathrm{H}}.
b. Déterminer graphiquement puis algébriquement les valeurs de xx pour lesquelles la tribune basse coûtera moins cher que la tribune haute.
(On pourra noter cc le coût de construction au mètre carré de la tribune haute.)

5. Pendant les Jeux olympiques, le prix des places au mètre carré en tribune haute est quatre fois moins important qu’en tribune basse.
a. Représenter, à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, les fonctions TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} et 14×TH.\dfrac{1}{4} \times \mathrm{T}_{\mathrm{H}}.
b. Déterminer graphiquement puis algébriquement les valeurs de xx pour lesquelles la tribune basse engendrera plus de recettes que la tribune haute.
(On pourra noter pp le prix au mètre carré des places de la tribune basse.)


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98
ÉNIGME

Je suis une fonction affine décroissante. Si on me multiplie par mon coefficient directeur ou par mon ordonnée à l’origine, ma courbe représentative passe par le point de coordonnées (1;4).(1 \:; 4). Qui suis-je ?


85
DÉMO
[Raisonner.]
1. a. Démontrer la proposition suivante :
« Si ff est une fonction affine alors pour tous réels uu et v,v, f(u+v2)=f(u)+f(v)2f\left(\dfrac{u+v}{2}\right)=\dfrac{f(u)+f(v)}{2}. »

b. Reformuler cette propriété en terme de moyenne.

2. a. Démontrer que la somme de deux fonctions affines est une fonction affine.

b. Reformuler cette proposition sous la forme « Si ... alors ... » (prendre exemple sur la question 1. a.).


89
[Communiquer.]
Deux amis veulent construire un dispositif pour mesurer le temps avec de l’eau. Le temps tt est donné en minutes. Au début de l’expérience, on pose t=0t = 0.
Younes élabore un récipient d’eau d’une hauteur de 1 m percé à la base (clepsydre). Il est rempli au début et Younes observe qu’il faut 15 min pour qu’il se vide complètement. La variation de la hauteur de l’eau est proportionnelle au temps.
Amina conçoit un récipient d’eau non percé de la forme d’un pavé droit de 0,8 m de hauteur et de base carrée de 60 cm de côté. Le récipient est vide au début et est ensuite rempli en continu par une source d’eau à débit constant de 12 L par minute.
On note hYh_{\mathrm{Y}} et hAh_{\mathrm{A}} les fonctions qui, au temps tt, font correspondre la hauteur de l’eau des récipients respectifs de Younes et Amina.
1. Déterminer hY(0)h_{\mathrm{Y}}(0) et hY(15)h_{\mathrm{Y}}(15), puis en déduire la forme algébrique de hYh_{\mathrm{Y}}.

2. Amina affirme que son récipient sera rempli avant que celui de Younes soit vide. A-t-elle raison ?

3. Amina règle le débit pour que son récipient soit rempli en 15 min.
a. Quel est le nouveau débit ?

b. Déterminer la forme algébrique de la fonction hA.h_{\mathrm{A}}.

4. Calculer le temps exact nécessaire pour qu'il y ait une hauteur d'eau plus grande dans le récipient d'Amina que dans celui de Younes.

Histoire des maths

Daniel Bernouilli

Contrairement à ce que l’on pourrait penser, la forme du récipient de Younes ne doit pas être cylindrique pour que l’écoulement de l’eau soit proportionnel au temps.
C’est un problème relatif à la mécanique des fluides qui a été étudié par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli (1700-1782).

Club de Maths


93
[Communiquer.]
La pente pp (en %) d’une montée (ou d’une descente) est le rapport entre la différence d’altitude H\text{H} entre les points d’arrivée et de départ sur la distance parcourue D\text{D} à une même altitude relativement à ces points dans la même unité de mesure.

MAT2_CH3_p114_EX93

Le graphique ci-après représente le profil du voyage de Frodon dans Le Seigneur des Anneaux. En abscisse, une unité correspond à la distance parcourue D\text{D} de 10 km.
En ordonnée, une unité correspond à l’altitude H\text{H} de 0,1 km.

MAT2_CH3_p115_EX93

1. Quel calcul permet de retrouver que la pente du Mont Gundabad est de 3,5 % ?

2. Calculer les pourcentages qui correspondent au Mont Caradhras, au Mont Methedras, au Mont Destin et aux plateaux l’entourant.

3. Déterminer la forme algébrique des fonctions qui permettent de tracer ce profil. Que remarquez vous ?


94
[Calculer.]
Au XIXe siècle, un alpiniste décide de défier une chaîne de montagne africaine, les monts de Kong.

MAT.2de.3.SYNT.monts-de-kong

Représenter le profil de l’expédition qui prévoit de partir d’une altitude de 300 m, de parcourir un plateau de 20 km, de grimper le Mont Rennel à 4 % qui culmine à 1 500 m d’altitude et de descendre celui-ci à 2,5 % jusqu’à une altitude de 1 000 m.

Lancer le module Geogebra
Remarque

Les monts de Kong sont une chaîne de montagnes imaginaire qui a figuré à tort sur des cartes géographiques au XIXe siècle.

95
DÉFI

Soit ff une fonction affine définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=mx+pf(x)=m x+p.
On appelle f2f^2 la fonction définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f2(x)=f(f(x))f^2(x)=f(f(x)).
On généralise cette notation pour nNn \in \mathbb{N} :
pour tout xRx \in \mathbb{R}, fn+1(x)=fn(f(x))f^{n+1}(x)=f^{n}(f(x)) et f0(x)=xf^{0}(x)=x.
1. Vérifier que pour n=1n = 1, n=2n = 2 et n=3n = 3, les fonctions fnf^n sont affines.

2. Quelle conjecture peut-on faire sur le coefficient directeur et pour l’ordonnée à l’origine de fnf^n avec nNn \in \mathbb{N}^{*} ?

3. Déterminer la seule fonction affine ff avec mNm \in \mathbb{N} et pNp \in \mathbb{N} vérifiant la propriété suivante :
« Il existe nNn \in \mathbb{N} telle que, pour tout xRx \in \mathbb{R}, fn(x)=2048x2047f^{n}(x)=2\,048 x-2\,047. »


DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 39 ; 42 ; 50 ; 56 ; 63 et 88
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 58 ; 66 ; 68 ; 70 ; 74 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 53 ; 61 ; 80 ; 82 ; 86 et 91

88
PYTHON
[Modeliser.]
◉◉
Réda veut faire état à Arthur de ses talents de magicien. Pour cela, il lui demande de choisir un nombre entier entre 00 et 5050 et de le garder pour lui tout en suivant ces étapes.
• Ajouter 55 au nombre choisi.
• Multiplier par 1010 la somme précédente.
• Soustraire le nombre initialement choisi au produit précédent.
• Soustraire 1010 au résultat précédent.
1. a. Arthur a choisi 1010. Quel résultat va-t-il annoncer ?

b. Quelle fonction affine permet de déterminer le résultat final à partir d’une valeur xx initiale ?

c. Écrire un programme avec Python permettant de trouver le résultat final lorsque le nombre de départ est connu.

2. Arthur indique le résultat final : 238.238.
a. Quel nombre a-t-il choisi ?

b. Écrire un programme permettant à Réda de déterminer le nombre initial à partir du résultat final.



  

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
; ; ; ; et

87
[Modéliser.] ◉◉
Un nouveau journal communal d’une ville de 6 000 habitants a imprimé 1 000 exemplaires de son premier numéro et les a tous vendus au prix de 2 € chacun.
Une étude de marché montre que si le prix du journal baissait d’un certain pourcentage x100\dfrac{x}{100}, les ventes augmenteraient significativement.
Le but est d’étudier le chiffre d’affaire potentiel pour les prochains numéros en fonction de x[0;100]x \in[0 \:; 100].
Le comptable a déterminé que le chiffre d’affaire C\mathrm{C} du journal est défini pour tout x[0;100]x \in[0 \:; 100] par :
C(x)=2000+80xx2.\mathrm{C}(x)=2\,000+80 x-x^{2}.
1. a. Démontrer que pour tout x[0;100]x \in[0 \:; 100],
C(x)=(x+20)(x60)+3200.\text{C}(x)=(-x+20)(x-60)+3\,200.

b. Résoudre l’inéquation C(x)3200\mathrm{C}(x) \geqslant 3\,200, puis interpréter le résultat.

2. a. Démontrer que pour tout x[0;100]x \in[0 \:; 100],
C(x)<1100(x10)(x90)<0\mathrm{C}(x)\lt1\,100 \Leftrightarrow(-x-10)(x-90)\lt0.

b. En déduire les solutions de l’inéquation C(x)<1100\mathrm{C}(x)\lt1\,100 puis interpréter le résultat.

3. Résoudre les inéquations C(x)>2000\mathrm{C}(x)>2\,000 et C(x)3600\text{C}(x) \leqslant 3\,600 puis interpréter les résultats.


92
[Chercher.]
Un triathlon Ironman comporte 3 phases : 3,8 km de natation, 180,2 km de cyclisme et 42 km de course à pieds.
1. Claire réalise cette épreuve en 15,11 h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l’ensemble de l’épreuve ?

2. Elle a effectué la partie natation en 1,9 h et la partie cyclisme en 9,01 h. Quelle est sa vitesse moyenne sur chacune des trois phases ?

3. Voici la représentation de la distance parcourue par l’athlète en fonction du temps.

MAT2_CH3_p114_EX92

a. Donner les coordonnées des points N\text{N}, C\text{C} et P\text{P} mis en évidence dans le graphique à l’aide des informations.

b. Comment retrouver graphiquement les vitesses moyennes de chacune des trois phases du triathlon ?

c. Donner les expressions algébriques correspondant à cette fonction.


90
EN MÉDECINE
[Représenter.]
électrocardiogramme

Le complexe QRS\text{QRS} est une partie d’un électrocardiogramme (ECG) correspondant à la dépolarisation des ventricules du cœur. Il est composé de trois ondes : l’onde Q\text{Q} est la première onde négative, l’onde R\text{R} est la première onde positive puis l’onde S\text{S} est la deuxième onde négative.
L’étude du complexe QRS\text{QRS} peut révéler certaines pathologies. Par exemple, la normalité est que :

 hauteur onde Q hauteur onde R0,25\dfrac{|\text { hauteur onde } \mathrm{Q} |}{|\text { hauteur onde } \mathrm{R} |} \leqslant 0{,}25.

MAT2_CH3_p113_EX90

1. Vérifier que c’est le cas chez le patient dont l’ECG est ci-dessus.

2. Un professeur en cardiologie essaye de trouver un autre critère pathogène en relation avec la durée de l’onde Q\text{Q} (longueur du segment [AB][\text{AB}] sur le graphique) et de l’onde R\text{R} (longueur du segment [BC][\text{BC}]). Sur le complexe QRS\text{QRS} étudié :
a. calculer la durée de l’onde Q\text{Q} ;

b. calculer la durée de l’onde R.\text{R}.

3. Sur des patients présentant une certaine pathologie, il remarque que  dureˊe onde Q dureˊe onde R>0,25\dfrac{\text { durée onde } \mathrm{Q}}{\text { durée onde } \mathrm{R}}>0{,}25. Est-ce le cas pour l’ECG de ce patient ? Que peut-on en conclure ?


97
DÉFI

Soit uRu \in \mathbb{R}. On pose mu=3u1m_{u}=3 u-1 et pu=52u. p_{u}=5-2 u.
fuf_u est une famille de fonctions affines définies sur R\mathbb{R} par :
fu(x)=mu×x+pu.f_{u}(x)=m_{u} \times x+p_{u}.
Déterminer le nombre λ\lambda qui possède la même image par toutes les fonctions fuf_u. Quelle est cette image ?

91
[Modéliser.] ◉◉◉
David et Antoine achètent un terrain qui doit être partagé en deux perpendiculairement à la route principale. On désigne par xx la distance entre le chemin d’accès et la ligne de partage comme ci-dessous.

MAT2_CH3_p114_EX91

Le côté d'un carreau mesure 5 mètres.

Partie 1

1. Déterminer l’ensemble de définition de xx et l’aire totale du terrain en jaune sans prendre en compte la maison.

2. Soit A(x)\mathrm{A}(x) l’aire du terrain de gauche longeant le chemin d’accès sans prendre en compte la maison.
a. Déterminer A(x)\mathrm{A}(x) pour x[0;15]x \in[0 \:; 15].

b. Déterminer A(x)\mathrm{A}(x) pour x]15;50]x \in ] 15 \:; 50 ].

c. Représenter la fonction A\mathrm{A} dans GeoGebra.

Lancer le module Geogebra
3. Déterminer graphiquement puis algébriquement la valeur de xx pour laquelle le partage est équitable (David et Antoine ont un terrain de même surface).


Partie 2

1. Déterminer le périmètre total du terrain en jaune.


2. Soit P(x)\mathrm{P}(x), le périmètre du terrain de gauche longeant le chemin d’accès.
a. Déterminer P(x)\mathrm{P}(x) pour x[0;15]x \in[0 \:; 15].

b. Déterminer P(x)\mathrm{P}(x) pour x]15;50].x \in ] 15 \:; 50 ].

c. Représenter la fonction P\text{P} dans le même module GeoGebra ci-dessus.

3. On désire clôturer uniquement le terrain longeant le chemin d’accès (y compris le long de la maison). Quelle longueur de clôture (en mètre) doit-on acheter pour effectuer ce travail ? Illustrer graphiquement le résultat dans le module GeoGebra.


4. Le prix du mètre de clôture est de 100 € et le prix du terrain est de 200 € par mètre carré. Quelle doit être la valeur de xx pour que les prix des deux terrains (clôture comprise) soient égaux ?
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