TP / TICE 1


Le code de Romain




Pour aller plus loin


Dans la vie professionnelle

À la fois mathématicien et informaticien, le cryptologue assure la confidentialité et la sécurité de données numériques (transaction monétaire, carte SIM, achat en ligne, etc.). Au féminin, on dira une cryptologue.

Un nouveau codage est basé sur la fonction gg suivante.
Si x[0;252[x \in [0 \:; \dfrac{25}{2}[ alors g(x)=2x+1g(x)=2 x+1.

Si x[252;25]x \in [\dfrac{25}{2}\: ; 25] alors g(x)=2x25g(x)=2 x-25.
1. Donner les valeurs de gg pour les nombres entiers entre 00 et 25.25.

2. Coder le message « J’AI FAIM » avec la fonction gg. Pourquoi le codage est-il possible ?

3. Est-il possible de décoder le message : « ZDN BZLLR » avec la fonction gg ?


4. Modifier gg pour que le codage soit possible.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

1. Compléter dans la console le programme Python suivant pour pouvoir coder un message avec le code de Romain.

def codage(entree):
  if 0 <= entree < 25/3:
    sortie = 3*entree + 1
  elif ... <= entree < ...:
    sortie = ...
  else:
    ... = ...
  return(sortie)

2. En déduire le codage de « TU COMPRENDS ? ».


3. Écrire le programme Python correspondant à l’algorithme ci-dessous et expliquer pourquoi il permet de décoder un message.

βα13γα+253δα+513Si β=ent(β) alorsβεSinon Si γ=ent(γ) alorsγεSinon δεFin siFin si \boxed{ \begin{array} { l } { \beta \leftarrow \dfrac{\alpha-1}{3}} \\ \\ \gamma\leftarrow \dfrac{\alpha+25}{3}\\ \\ \delta \leftarrow \dfrac{\alpha+51}{3}\\ \\ \text{Si } \beta=\operatorname{ent}(\beta) \text{ alors}\\ \quad \beta \leftarrow \varepsilon \\ \text{Sinon }\\ \quad \text{Si } \gamma=\operatorname{ent}(\gamma) \text{ alors} \\ \quad \quad \gamma \leftarrow \varepsilon \\ \quad \text{Sinon }\\ \quad \quad \delta \leftarrow \varepsilon \\ \quad \text{Fin si} \\ \text{Fin si} \end{array} }

4. En déduire le décodage de : « GARU QBHZIN ! »


MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
Voir les réponses

1. Entrer les trois fonctions affines correspondant à la fonction ff dans GeoGebra en respectant les intervalles de définition.

2. Pourquoi le codage de la lettre J est-il C ?


3. En déduire le codage du message suivant : « J’AI FAIM ».


4. Pourquoi le décodage de la lettre U est-il P ?


5. En déduire le décodage du message suivant : « UBD LRZ ».

Lancer le module Geogebra

Énoncé

Romain, un élève de seconde, utilise la fonction ff définie sur [0;25][0\: ; 25] et la correspondance du tableau pour coder les messages qu’il envoie à ses camarades pendant le cours de mathématiques.
Si x[0;253[ x \in [0 \:; \dfrac{25}{3} [ alors f(x)=3x+1 f(x)=3 x+1.
Si x[253;17[ x \in [ \dfrac{25}{3} \:; 17[ alors f(x)=3x25. f(x)=3 x-25.
Si x[17;25] x \in[17\: ; 25] alors f(x)=3x51. f(x)=3 x-51.
Pour que le système de codage fonctionne, il faut qu’à chaque nombre entier compris dans l’intervalle [0;25][0 \:; 25] corresponde par ff un unique antécédent entier dans l’intervalle [0;25][0\: ; 25].

Questions préliminaires
1. Montrer que si xx est un entier entre 00 et 2525, alors f(x)f(x) est un entier compris entre 00 et 2525.

2. Montrer que si yy est un entier entre 00 et 2525, alors il admet un unique antécédent entier par f.f.

Objectif

Coder et décoder des messages avec des fonctions affines en utilisant une des deux méthodes de résolution.
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