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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 3
TP / TICE 1
Le code de Romain
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Énoncé
Romain, un élève de seconde, utilise la fonction f définie sur [0\: ; 25] et la correspondance du tableau pour coder les messages qu'il envoie à ses camarades pendant le cours de mathématiques.
Si x \in [0 \:; \dfrac{25}{3} [ alors f(x)=3 x+1.
Si x \in [ \dfrac{25}{3} \:; 17[ alors f(x)=3 x-25.
Si x \in[17\: ; 25] alors f(x)=3 x-51.
Pour que le système de codage fonctionne, il faut qu'à chaque nombre entier compris dans l'intervalle [0 \:; 25] corresponde par f un unique antécédent entier dans l'intervalle [0\: ; 25].
Si x \in [ \dfrac{25}{3} \:; 17[ alors f(x)=3 x-25.
Si x \in[17\: ; 25] alors f(x)=3 x-51.
Pour que le système de codage fonctionne, il faut qu'à chaque nombre entier compris dans l'intervalle [0 \:; 25] corresponde par f un unique antécédent entier dans l'intervalle [0\: ; 25].
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
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Questions préliminaires
1. Montrer que si x est un entier entre 0 et 25, alors f(x) est un entier compris entre 0 et 25.
2. Montrer que si y est un entier entre 0 et 25, alors il admet un unique antécédent entier par f.
2. Montrer que si y est un entier entre 0 et 25, alors il admet un unique antécédent entier par f.
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Objectif
Coder et décoder des messages avec des fonctions affines en utilisant une des deux méthodes de résolution.
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Méthode 1Geogebra
1. Entrer les trois fonctions affines correspondant à la fonction f dans GeoGebra en respectant les intervalles de définition.
2. Pourquoi le codage de la lettre J est-il C ?
3. En déduire le codage du message suivant : « J'AI FAIM ».
4. Pourquoi le décodage de la lettre U est-il P ?
5. En déduire le décodage du message suivant : « UBD LRZ ».
2. Pourquoi le codage de la lettre J est-il C ?
3. En déduire le codage du message suivant : « J'AI FAIM ».
4. Pourquoi le décodage de la lettre U est-il P ?
5. En déduire le décodage du message suivant : « UBD LRZ ».
GeoGebra
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Méthode 2Python
1. Compléter dans la console le programme Python ci‑après pour pouvoir coder un message avec le code de Romain.
2. En déduire le codage de « TU COMPRENDS ? ».
def codage(entree):
if 0 <= entree < 25/3:
sortie = 3*entree + 1
elif ... <= entree < ...:
sortie = ...
else:
... = ...
return(sortie)
2. En déduire le codage de « TU COMPRENDS ? ».
3. Écrire le programme Python correspondant à l'algorithme ci-dessous et expliquer pourquoi il permet de décoder un message.
4. En déduire le décodage de : « GARU QBHZIN ! »
\boxed{
\begin{array} { l } { \beta \leftarrow \dfrac{\alpha-1}{3}} \\
\\
\gamma\leftarrow \dfrac{\alpha+25}{3}\\
\\
\delta \leftarrow \dfrac{\alpha+51}{3}\\
\\
\text{Si } \beta=\operatorname{ent}(\beta) \text{ alors}\\
\quad \beta \leftarrow \varepsilon \\
\text{Sinon }\\
\quad \text{Si } \gamma=\operatorname{ent}(\gamma) \text{ alors} \\
\quad \quad \gamma \leftarrow \varepsilon \\
\quad \text{Sinon }\\
\quad \quad \delta \leftarrow \varepsilon \\
\quad \text{Fin si} \\
\text{Fin si}
\end{array}
}
4. En déduire le décodage de : « GARU QBHZIN ! »
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Un nouveau codage est basé sur la fonction g suivante.
Si x \in [0 \:; \dfrac{25}{2}[ alors g(x)=2 x+1.
Si x \in [\dfrac{25}{2}\: ; 25] alors g(x)=2 x-25. 1. Donner les valeurs de g pour les nombres entiers entre 0 et 25.
2. Coder le message « J'AI FAIM » avec la fonction g. Pourquoi le codage est-il possible ?
3. Est-il possible de décoder le message : « ZDN BZLLR » avec la fonction g ?
4. Modifier g pour que le décodage soit possible.
Si x \in [0 \:; \dfrac{25}{2}[ alors g(x)=2 x+1.
Si x \in [\dfrac{25}{2}\: ; 25] alors g(x)=2 x-25. 1. Donner les valeurs de g pour les nombres entiers entre 0 et 25.
2. Coder le message « J'AI FAIM » avec la fonction g. Pourquoi le codage est-il possible ?
3. Est-il possible de décoder le message : « ZDN BZLLR » avec la fonction g ?
4. Modifier g pour que le décodage soit possible.
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À la fois mathématicien et informaticien, le cryptologue assure la confidentialité et la sécurité de données numériques (transaction monétaire, carte SIM, achat en ligne, etc.). Au féminin, on dira une cryptologue.
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