Caractérisation des fonctions affines

33

[Calculer.] 1. f_{1}(x)=(-2 x+3)+(2-3 x)

2. f_{2}(x)=(-2 x+3)-(2-3 x)

3. f_{3}(x)=(-2 x+3)(2-3 x)

4. f_{4}(x)=3 x(-2 x+3)-2 x(2-3 x)

34

[Calculer.] 1. g_{1}(x)=(x-1)^{2}-(x-1)

2. g_{2}(x)=(x-1)^{2}-(x+1)^{2}

3. g_{3}(x)=((x-1)+(x+1))^{2}

4. g_{4}(x)=x(x+1)-(x-1)^{2}

41

[Raisonner.]
On considère la proposition suivante : « Si f est une fonction linéaire alors f est une fonction affine et f(0) = 0. » 1. Montrer que cette proposition est vraie.

2. Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?

3. Énoncer sa réciproque puis montrer qu'elle est vraie.

42

[Calculer.]
Dans chaque cas, f est une fonction affine. Retrouver son expression algébrique. 1. f(5)=10 \text { et } f(10)=11

2. f(-7)=4 \text { et } f(4)=-7

3. f(-8)=0 \text { et } f(-1)=13

4. f(-1)=-5 \text { et } f(2)=-9

43

[Chercher.]
1. Justifier que le tableau de valeurs suivant peut correspondre à une fonction affine f .

2. Déterminer alors l'expression algébrique de f.

44

[Chercher.] Le tableau suivant peut-il correspondre à une fonction affine ? Justifier.

x	6	10	12
f(x)	2	1	0,5

45

[Modéliser.]
En 2006, la population d'éléphants d'Afrique était de 526 milliers. En 2016, celle-ci n'est plus que de 415 milliers. On modélise l'évolution de cette population par une fonction affine P.


Répondre alors aux questions suivantes selon cette modélisation.

1. Quelle était la population d'éléphants en 2015 et 2005 ?

2. Quelle sera la population d'éléphants en 2055 ? Interpréter le résultat.

3. Si rien n'est fait, quelle sera la dernière année avant l'extinction de l'espèce ?

46

Démo

[Raisonner.]
On dit qu'un nombre u est un point fixe d'une fonction f lorsque f(u) = u.

1. Vérifier que 2 est un point fixe de f : x \mapsto-2 x+6.

2. Trouver une fonction affine sans point fixe. Justifier.

3. Montrer que si f est une fonction affine de coefficient directeur m \neq 1 et d'ordonnée à l'origine p alors \dfrac{p}{1-m} est un point fixe.

47

Démo

[Raisonner.] Démontrer la proposition suivante : « Si une fonction affine possède deux points fixes, alors elle en possède une infinité. »

48

[Représenter.]
Dans un repère orthogonal du plan, représenter précisément les fonctions affines f, g, h et k définies respectivement sur \mathbb{R} par : f(x)=\dfrac{4}{3} x-2\text{ }; g(x)=-\dfrac{5}{7} x

h(x)=\dfrac{-x+11}{6}\text{ }; k(x)=\dfrac{7}{5} x-\dfrac{1}{5}

49

[Représenter.]
Même consigne que l'exercice précédent avec :
f(x)=-x+\dfrac{4}{3}\text{ }; g(x)=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{2}{3}\text{ }; h(x)=-\dfrac{5}{3} x+\dfrac{5}{9}

50

[Représenter.]
Deux fonctions affines f et g ont été représentées dans le repère (\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.

1. Retrouver l'expression algébrique de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer graphiquement les solutions de f(x)=g(x) sur \mathbb{R}.

3. Déterminer graphiquement les solutions de f(x)>g(x) sur \mathbb{R}.

51

[Représenter.]
Deux fonctions affines h et k ont été représentées dans le repère (\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.

1. Retrouver l'expression algébrique de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer algébriquement les solutions de h(x) \lt k(x) sur \mathbb{R}.

56

[Chercher.] Soient f et g, deux fonctions affines définies sur \mathbb{R} par f(x)=-\dfrac{1}{3} x+1 et g(x)=x-\dfrac{5}{3}. Résoudre dans \mathbb{R} et interpréter graphiquement :
f(x)=g(x) et f(x) \geqslant g(x).

57

[Chercher.] Soient f et g, deux fonctions affines définies sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{3}{4} x-2 et g(x)=2 x+5. Résoudre dans [-5\: ;1] et interpréter graphiquement :
f(x)=g(x) et f(x) \lt g(x).

58

[Raisonner.]
Soient a un réel et g une fonction affine définie sur \mathbb{R} telle que g(a+5)-g(a)=-10. Déterminer la valeur des expressions suivantes :
g(15)-g(5) ;
g(100)-g(105) ;
g(a+5)-g(a-5) ;
g(a+20)-g(a) ;
g(a)-g(a+100).

59

[Chercher.]
f est une fonction affine définie sur \mathbb{R} par f(x)+f(-x)=1 et f(4)=1.

1. Calculer f(0).

2. Déterminer l'expression algébrique de f .

60

[Représenter.]
Soient f et g les deux fonctions linéaires représentées ci-dessous.


Résoudre graphiquement :
f(x)-6=g(x) ;
f(x)=g(x)+2 ;
f(x)+3>g(x) ;
f(x) \geqslant g(x)-1.

61

[Chercher.]
Soient f et g deux fonctions affines définies sur \mathbb{R} par f(x)=2 \Leftrightarrow x=-3 ;
g(x)=0 \Leftrightarrow x=2 et
f(x) \leqslant g(x) \Leftrightarrow x \in[1\: ;+\infty[.
On note C_f et C_g les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les coordonnées d'un point de C_f puis d'un point de C_g.

2. Déterminer la droite à laquelle le point d'intersection de C_f et de C_g doit appartenir.

3. Démontrer que le point d'intersection de C_f et C_g a pour coordonnées (1\: ; k) où k est un réel non nul strictement inférieur à \dfrac{2}{5}.