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Entrainement 1


Caractérisation des fonctions affines





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 39 ; 42 ; 50 ; 56 ; 63 et 88
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 58 ; 66 ; 68 ; 70 ; 74 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 53 ; 61 ; 80 ; 82 ; 86 et 91

Pour les exercices
33
à
35


Déterminer si les fonctions données sont affines ou non en justifiant.

33
[Calculer.] ◉◉
1. f1(x)=(2x+3)+(23x) f_{1}(x)=(-2 x+3)+(2-3 x)

2. f2(x)=(2x+3)(23x) f_{2}(x)=(-2 x+3)-(2-3 x)

3. f3(x)=(2x+3)(23x) f_{3}(x)=(-2 x+3)(2-3 x)

4. f4(x)=3x(2x+3)2x(23x) f_{4}(x)=3 x(-2 x+3)-2 x(2-3 x)


34
[Calculer.]
1. g1(x)=(x1)2(x1)g_{1}(x)=(x-1)^{2}-(x-1)

2. g2(x)=(x1)2(x+1)2g_{2}(x)=(x-1)^{2}-(x+1)^{2}

3. g3(x)=((x1)+(x+1))2g_{3}(x)=((x-1)+(x+1))^{2}

4. g4(x)=x(x+1)(x1)2g_{4}(x)=x(x+1)-(x-1)^{2}


35
[Calculer.]
1. h1(x)=(πx3)+(π+3)h_{1}(x)=(\pi x-3)+(-\pi+3)

2. h2(x)=(πx3)+(π+3)xh_{2}(x)=(\pi x-3)+(-\pi+3) x

3. h3(x)=(πx3)(π+3)h_{3}(x)=(\pi x-3)(-\pi+3)

4. h4(x)=πx3π+3h_{4}(x)=\dfrac{\pi x-3}{-\pi+3}


36
[Calculer.]
On définit trois fonctions affines à partir du tableau de valeurs suivant.

 xx 2 6
 f1(x)f_1(x) -3 -3
 f2(x)f_2(x) 5 15
 f3(x)f_3(x) -4 8

1. Lesquelles de ces fonctions sont linéaires ? Constantes ? Justifier.


2. Pour chaque fonction ff, calculer l’expression f(6)f(2)62\dfrac{f(6)-f(2)}{6-2} puis en déduire la forme algébrique de f.f.


3. Complétez le tableau de valeur suivant.

 xx 2 6 7
 f1(x)f_1(x) -3 -3
 f2(x)f_2(x) 5 15
 f3(x)f_3(x) -4 8

37
[Calculer.]
On considère les fonctions affines suivantes. Lesquelles d’entre elles ont une représentation graphique passant par le point C\text{C} de coordonnées (3;4)(-3 \: ; 4) ?
1. f1(x)=4x9f_{1}(x)=4 x-9

2. f2(x)=3x5xf_{2}(x)=-3 x-5 x

3. f3(x)=3x+4f_{3}(x)=-3 x+4

4. f4(x)=4x3f_{4}(x)=4 x-3

5. f5(x)=73x3f_{5}(x)=-\dfrac{7}{3} x-3

6. f6(x)=4f_{6}(x)=4

7. f7(x)=3f_{7}(x)=-3

8. f8(x)=43xf_{8}(x)=-\dfrac{4}{3} x

9. f9(x)=34xf_{9}(x)=-\dfrac{3}{4} x

10. f10(x)=116x+192f_{10}(x)=\dfrac{11}{6} x+\dfrac{19}{2}


38
[Modéliser.]
Une unité de longueur est fixée. Dans chaque cas, exprimer la fonction AA correspondant à l’aire de la figure donnée puis déterminer, en justifiant, si AA est affine ou non.
1. Un carré de côté xx.

2. Un rectangle dont les côtés ont pour longueur xx et 5.

3. Un cercle de rayon xx.

4. Un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueur xx et 5.

5. Un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur xx et un côté a pour longueur 5.

39
[Calculer.] ◉◉
Soit gg, la fonction affine définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par g(x)=7+4xg(x)=-7+4 x. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec les valeurs exactes.

 xx 9-9 00 33 103\dfrac{10}{3}
 g(x)g(x) 9-9 00 33 103\dfrac{10}{3}

40
[Calculer.]
Soit hh, la fonction affine définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par h(x)=73x1h(x)=-\dfrac{7}{3} x-1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec les valeurs exactes.

 xx 3-3 57\dfrac{-5}{7}
 h(x)h(x) 00 43\dfrac{4}{3} π\pi

41
[Raisonner.] ◉◉
On considère la proposition suivante : « Si ff est une fonction linéaire alors ff est une fonction affine et f(0)=0.f(0) = 0. »
1. Montrer que cette proposition est vraie.

2. Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?

3. Énoncer sa réciproque puis montrer qu’elle est vraie.

42
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, ff est une fonction affine. Retrouver son expression algébrique.
1. f(5)=10 et f(10)=11f(5)=10 \text { et } f(10)=11

2. f(7)=4 et f(4)=7f(-7)=4 \text { et } f(4)=-7

3. f(8)=0 et f(1)=13f(-8)=0 \text { et } f(-1)=13

4. f(1)=5 et f(2)=9f(-1)=-5 \text { et } f(2)=-9


43
[Chercher.]
1. Justifier que le tableau de valeurs suivant peut correspondre à une fonction affine ff .
 xx 5 15 25
 f(x)f(x) -1 -9 -17


2. Déterminer alors l’expression algébrique de ff.

44
[Chercher.]
Le tableau suivant peut-il correpondre à une fonction affine ? Justifier.

 xx 6 10 12
 f(x)f(x) 2 1 0,5


45
[Modéliser.]
En 2006, la population d’éléphants d’Afrique était de 526 milliers. En 2016, celle-ci n’est plus que de 415 milliers. On modélise l’évolution de cette population par une fonction affine P.P.

Éléphants dans la savane

Répondre alors aux questions suivantes selon cette modélisation.
1. Quelle était la population d’éléphants en 2015 et 2005 ?

2. Quelle sera la population d’éléphants en 2055 ? Interpréter le résultat.

3. Si rien n’est fait, quelle sera la dernière année avant l’extinction de l’espèce ?


46
[Raisonner.]
DÉMO

On dit qu’un nombre uu est un point fixe d’une fonction ff lorsque f(u)=uf(u) = u.
1. Vérifier que 22 est un point fixe de f:x2x+6f : x \mapsto-2 x+6.

2. Trouver une fonction affine sans point fixe. Justifier.

3. Montrer que si ff est une fonction affine de coefficient directeur m1m \neq 1 et d’ordonnée à l’origine pp alors p1m\dfrac{p}{1-m} est un point fixe.

47
[Raisonner.]
DÉMO


Démontrer la proposition suivante : « Si une fonction affine possède deux points fixes, alors elle en possède une infinité. »

48
[Représenter.]
Dans un repère orthogonal du plan, représenter précisément les fonctions affines ff, gg, hh et kk définies respectivement sur R\mathbb{R} par :
f(x)=43x2 ;g(x)=57xf(x)=\dfrac{4}{3} x-2\text{ }; g(x)=-\dfrac{5}{7} x

h(x)=x+116 ;k(x)=75x15h(x)=\dfrac{-x+11}{6}\text{ }; k(x)=\dfrac{7}{5} x-\dfrac{1}{5}

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49
[Représenter.]

Même consigne que l’exercice précédent avec :

f(x)=x+43 ;g(x)=32x23 ;h(x)=53x+59f(x)=-x+\dfrac{4}{3}\text{ }; g(x)=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{2}{3}\text{ }; h(x)=-\dfrac{5}{3} x+\dfrac{5}{9}

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50
[Raisonner.] ◉◉
Deux fonctions affines ff et gg ont été représentées dans le repère (O;I,J)(\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

1. Retrouver l’expression algébrique de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer graphiquement les solutions de f(x)=g(x)f(x)=g(x) sur R.\mathbb{R}.

3. Déterminer graphiquement les solutions de f(x)>g(x)f(x)>g(x) sur R.\mathbb{R}.

51
[Raisonner.]
Deux fonctions affines hh et kk ont été représentées dans le repère (O;I,J)(\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

1. Retrouver l’expression algébrique de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer algébriquement les solutions de h(x)<k(x)h(x) \lt k(x) sur R.\mathbb{R}.

52
[Chercher.]
Il faut se méfier des apparences !
Donnez les expressions algébriques de chacune des quatre fonctions affines représentées ci-dessous.
Caractérisation des fonctions affines
1.

2.

3.

4.


53
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient ff, gg et hh les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=57,g(x)=2x+1f(x)=57, g(x)=2 x+1 et h(x)=1+2x2+784.h(x)=1+2 \sqrt{x^{2}+784}.

1. À l’aide de la calculatrice, ou de GeoGebra,
a. représenter les fonctions sur l’intervalle [4;4][-4\: ; 4] dans une fenêtre adaptée : que peut-on remarquer ?

b. représenter les fonctions sur l’intervalle [90;200][90\: ; 200] dans une fenêtre adaptée : que peut-on remarquer ?
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2. Donner les valeurs exactes de h(0)h(0) ; h(96) h(96) et h(195)h(195) puis en déduire que hh n’est pas une fonction affine.


3. Expliquer les observations de la question 1.


54
[Chercher.]
Pendant le cours de mathématiques sur les fonctions affines, un élève a écrit le prénom d’une de ses camarades dans un repère orthonormé.
Caractérisation des fonctions affines

Pour s’amuser, le professeur lui demande de transmettre à celle-ci les instructions nécessaires pour reproduire cette figure sur GeoGebra en utilisant seulement la représentation de fonctions affines. Comment faire ?

55
[Chercher.]
On a représenté une fonction affine ff dans le repère (O;I,J)(\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

1. Représenter dans le repère la fonction affine gg telle que :
g(x)=3x=5g(x) = 3 \Leftrightarrow x = -5 et g(x)=f(x)x=3.g(x) = f(x) \Leftrightarrow x = 3.
2. Représenter dans le repère la fonction affine hh telle que :
h(x)<2x[0;+[h(x) \lt 2 \Leftrightarrow x \in[0 \:;+\infty[ et h(x)f(x)x];1].h(x) \geqslant f(x) \Leftrightarrow x \in]-\infty \:; 1].

56
[Chercher.] ◉◉
Soient ff et gg, deux fonctions affines définies sur R\mathbb{R} par f(x)=13x+1f(x)=-\dfrac{1}{3} x+1 et g(x)=x53.g(x)=x-\dfrac{5}{3}.
Résoudre dans R\mathbb{R} et interpréter graphiquement :
f(x)=g(x)f(x)=g(x) et f(x)g(x).f(x) \geqslant g(x).

Aide
Pour se donner une idée de la solution, on peut représenter graphiquement ces fonctions.

57
[Chercher.]
Soient ff et gg, deux fonctions affines définies sur R\mathbb{R} par f(x)=34x2f(x)=\dfrac{3}{4} x-2 et g(x)=2x+5.g(x)=2 x+5.
Résoudre dans [5;1][-5\: ;1] et interpréter graphiquement :
f(x)=g(x)f(x)=g(x) et f(x)<g(x).f(x) \lt g(x).

58
[Raisonner.] ◉◉
Soient aa un réel et gg une fonction affine définie sur R\mathbb{R} telle que g(a+5)g(a)=10g(a+5)-g(a)=-10.
Déterminer la valeur des expressions suivantes :
g(15)g(5)g(15)-g(5) ;
g(100)g(105)g(100)-g(105) ;
g(a+5)g(a5) g(a+5)-g(a-5) ;
g(a+20)g(a) g(a+20)-g(a) ;
g(a)g(a+100). g(a)-g(a+100).

59
[Chercher.]
ff est une fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)+f(x)=1f(x)+f(-x)=1 et f(4)=1.f(4)=1.
1. Calculer f(0)f(0).

2. Déterminer l’expression algébrique de ff .


60
[Chercher.]
Soient ff et gg les deux fonctions linéaires représentées ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

Résoudre graphiquement :
f(x)6=g(x)f(x)-6=g(x) ;
f(x)=g(x)+2f(x)=g(x)+2 ;
f(x)+3>g(x)f(x)+3>g(x) ;
f(x)g(x)1.f(x) \geqslant g(x)-1.


61
[Chercher.] ◉◉◉
Soient ff et gg deux fonctions définies sur R\mathbb{R} par
f(x)=2x=3f(x)=2 \Leftrightarrow x=-3 ;
g(x)=0x=2g(x)=0 \Leftrightarrow x=2 et
f(x)g(x)x[1;+[.f(x) \leqslant g(x) \Leftrightarrow x \in[1\: ;+\infty[.
On note CfC_f et CgC_g les courbes représentatives respectives de ff et gg dans un repère orthonormé.
1. Déterminer les coordonnées d’un point de CfC_f puis d’un point de CgC_g.


2. Déterminer la droite à laquelle le point d’intersection de CfC_f et de CgC_g doit appartenir.


3. Démontrer que le point d'intersection de CfC_f et CgC_g a pour coordonnées (1;k)(1\: ; k)kk est un réel non nul strictement inférieur à 25\dfrac{2}{5}.

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