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1. Caractérisation des fonctions affines
P.107-109

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Entrainement 1


Caractérisation des fonctions affines





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 39 ; 42 ; 50 ; 56 ; 63 et 88
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 58 ; 66 ; 68 ; 70 ; 74 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 53 ; 61 ; 80 ; 82 ; 86 et 91

Pour les exercices
33
à
35


Déterminer si les fonctions données sont affines ou non en justifiant.

33
[Calculer.] ◉◉
1.

2.

3.

4.

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34
[Calculer.]
1.

2.

3.

4.

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35
[Calculer.]
1.

2.

3.

4.

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36
[Calculer.]
On définit trois fonctions affines à partir du tableau de valeurs suivant.

  2 6
  -3 -3
  5 15
  -4 8

1. Lesquelles de ces fonctions sont linéaires ? Constantes ? Justifier.


2. Pour chaque fonction , calculer l’expression puis en déduire la forme algébrique de


3. Complétez le tableau de valeur suivant.

  2 6 7
  -3 -3
  5 15
  -4 8
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37
[Calculer.]
On considère les fonctions affines suivantes. Lesquelles d’entre elles ont une représentation graphique passant par le point de coordonnées ?
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

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38
[Modéliser.]
Une unité de longueur est fixée. Dans chaque cas, exprimer la fonction correspondant à l’aire de la figure donnée puis déterminer, en justifiant, si est affine ou non.
1. Un carré de côté .

2. Un rectangle dont les côtés ont pour longueur et 5.

3. Un cercle de rayon .

4. Un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueur et 5.

5. Un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur et un côté a pour longueur 5.
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39
[Calculer.] ◉◉
Soit , la fonction affine définie pour tout par . Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec les valeurs exactes.

 
 
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40
[Calculer.]
Soit , la fonction affine définie pour tout par . Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec les valeurs exactes.

 
 
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41
[Raisonner.] ◉◉
On considère la proposition suivante : « Si est une fonction linéaire alors est une fonction affine et »
1. Montrer que cette proposition est vraie.

2. Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?

3. Énoncer sa réciproque puis montrer qu’elle est vraie.
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42
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, est une fonction affine. Retrouver son expression algébrique.
1.

2.

3.

4.

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43
[Chercher.]
1. Justifier que le tableau de valeurs suivant peut correspondre à une fonction affine .
  5 15 25
  -1 -9 -17


2. Déterminer alors l’expression algébrique de .
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44
[Chercher.]
Le tableau suivant peut-il correspondre à une fonction affine ? Justifier.

  6 10 12
  2 1 0,5

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45
[Modéliser.]
En 2006, la population d’éléphants d’Afrique était de 526 milliers. En 2016, celle-ci n’est plus que de 415 milliers. On modélise l’évolution de cette population par une fonction affine

Éléphants dans la savane

Répondre alors aux questions suivantes selon cette modélisation.
1. Quelle était la population d’éléphants en 2015 et 2005 ?

2. Quelle sera la population d’éléphants en 2055 ? Interpréter le résultat.

3. Si rien n’est fait, quelle sera la dernière année avant l’extinction de l’espèce ?

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46
[Raisonner.]
DÉMO

On dit qu’un nombre est un point fixe d’une fonction lorsque .
1. Vérifier que est un point fixe de .

2. Trouver une fonction affine sans point fixe. Justifier.

3. Montrer que si est une fonction affine de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine alors est un point fixe.
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47
[Raisonner.]
DÉMO


Démontrer la proposition suivante : « Si une fonction affine possède deux points fixes, alors elle en possède une infinité. »
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48
[Représenter.]
Dans un repère orthogonal du plan, représenter précisément les fonctions affines , , et définies respectivement sur par :




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49
[Représenter.]

Même consigne que l’exercice précédent avec :



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50
[Raisonner.] ◉◉
Deux fonctions affines et ont été représentées dans le repère ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

1. Retrouver l’expression algébrique de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer graphiquement les solutions de sur

3. Déterminer graphiquement les solutions de sur
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51
[Raisonner.]
Deux fonctions affines et ont été représentées dans le repère ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

1. Retrouver l’expression algébrique de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer algébriquement les solutions de sur
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52
[Chercher.]
Il faut se méfier des apparences !
Donnez les expressions algébriques de chacune des quatre fonctions affines représentées ci-dessous.
Caractérisation des fonctions affines
1.

2.

3.

4.

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53
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient , et les fonctions définies sur par et

1. À l’aide de la calculatrice, ou de GeoGebra,
a. représenter les fonctions sur l’intervalle dans une fenêtre adaptée : que peut-on remarquer ?

b. représenter les fonctions sur l’intervalle dans une fenêtre adaptée : que peut-on remarquer ?
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2. Donner les valeurs exactes de ; et puis en déduire que n’est pas une fonction affine.


3. Expliquer les observations de la question 1.

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54
[Chercher.]
Pendant le cours de mathématiques sur les fonctions affines, un élève a écrit le prénom d’une de ses camarades dans un repère orthonormé.
Caractérisation des fonctions affines

Pour s’amuser, le professeur lui demande de transmettre à celle-ci les instructions nécessaires pour reproduire cette figure sur GeoGebra en utilisant seulement la représentation de fonctions affines. Comment faire ?
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55
[Chercher.]
On a représenté une fonction affine dans le repère ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

1. Représenter dans le repère la fonction affine telle que :
et
2. Représenter dans le repère la fonction affine telle que :
et

56
[Chercher.] ◉◉
Soient et , deux fonctions affines définies sur par et
Résoudre dans et interpréter graphiquement :
et

Aide
Pour se donner une idée de la solution, on peut représenter graphiquement ces fonctions.
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57
[Chercher.]
Soient et , deux fonctions affines définies sur par et
Résoudre dans et interpréter graphiquement :
et
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58
[Raisonner.] ◉◉
Soient un réel et une fonction affine définie sur telle que .
Déterminer la valeur des expressions suivantes :
;
;
;
;

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59
[Chercher.]
est une fonction affine définie sur par et
1. Calculer .

2. Déterminer l’expression algébrique de .

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60
[Chercher.]
Soient et les deux fonctions linéaires représentées ci-dessous.

Caractérisation des fonctions affines

Résoudre graphiquement :
;
;
;


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61
[Chercher.] ◉◉◉
Soient et deux fonctions définies sur par
;
et

On note et les courbes représentatives respectives de et dans un repère orthonormé.
1. Déterminer les coordonnées d’un point de puis d’un point de .


2. Déterminer la droite à laquelle le point d’intersection de et de doit appartenir.


3. Démontrer que le point d'intersection de et a pour coordonnées est un réel non nul strictement inférieur à .

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