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COURS 1


1
Caractérisation des fonctions affines




A
Définitions et propriété

Remarque

p=f(0)p = f(0) et, si a=0a = 0 et b=1b = 1 alors m=f(1)f(0)m = f(1) - f(0).

NOTATION

Le nombre f(b)f(a)ba\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} est le taux d’accroissement de ff entre aa et b.b.

Propriété

Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R}. ff est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts aa et bb, le rapport f(b)f(a)ba\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} est constant.

LOGIQUE

Pour une fonction affine donnée, il y a unicité des réels mm et pp.

Exemple

ff est une fonction affine telle que f(0)=5 et f(1)=2f(0)=-5 \text { et } f(1)=-2. Alors : p=f(0)=5p=f(0)=-5 et m=f(1)f(0)10=2(5)1=2+5=3.m=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{-2-(-5)}{1}=-2+5=3. ff est donc définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x5.f(x)=3 x-5.

Cas particuliers

Si ff est une fonction affine telle que :
  • m=0,m = 0, alors la fonction ff est une fonction constante.
  • p=0,p = 0, alors la fonction ff est une fonction linéaire.

  • DÉMONSTRATION

    • Implication : on suppose que ff est une fonction affine.
    f(b)=mb+pf(b)=m b+p et f(a)=ma+pf(a)=m a+p donc, si ab,a \neq b,

    f(b)f(a)ba\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

    =(mb+p)(ma+p)ba=\dfrac{(m b+p)-(m a+p)}{b-a}

    =mb+pmapba=\dfrac{m b+p-m a-p}{b-a}

    =mbmaba=\dfrac{m b-m a}{b-a}

    =m(ba)ba=m.=\dfrac{m(b-a)}{b-a}=m.
    Le taux d’accroissement est bien constant.

    • Réciproque : Soit aa un réel.
    On suppose que, pour tout xa,f(x)f(a)xax \neq a, \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} est constant.
    Pour tout xa,f(x)f(a)xa=cx \neq a, \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=c
    f(x)f(a)=c(xa)\Leftrightarrow f(x)-f(a)=c(x-a)
    f(x)=cxca+f(a).\Leftrightarrow f(x)=c x-c a+f(a).
    Si x=ax = a, alors on a f(a)=caca+f(a)f(a)=c a-c a+f(a) : l’égalité est donc encore vraie.
    Donc ff est une fonction affine avec m=cm = c et p=ca+f(a)p = -ca + f(a) .

    Conséquence

    Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf(x)=m x+p et aa et bb deux réels distincts.
    Alors, m=f(b)f(a)ba et p=f(a)ma.m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \text { et } p=f(a)-ma.

    Définition

    • Une fonction ff définie sur R\mathbb{R} est dite affine lorsqu’il existe deux réels mm et pp tels que, pour tout xR,f(x)=mx+p.x \in \mathbb{R}, f(x)=m x+p.
    • Les nombres mm et pp sont respectivement appelés le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de f.f.

    LOGIQUE

    Pour démontrer une équivalence
    (AB\text{A} \Leftrightarrow \text{B} : proposition sous la forme « si et seulement si »),
    il suffit de démontrer l’implication (AB)(\text{A} \Rightarrow \text{B}) et la réciproque (BA)(\text{B} \Rightarrow \text{A}).

    LOGIQUE

    Cette propriété caractérise les fonctions affines.

    Application et méthode

    SOLUTION
    • On prend xA=0x_{\mathrm{A}}=0 et xB=3 x_{\mathrm{B}}=3.
    • On a donc yA=2y_{\mathrm{A}}=-2 et yB=43×32=2y_{\mathrm{B}}=\dfrac{4}{3} \times 3-2=2.
    • On obtient :
    Trois modes de définition d’une fonction

    Pour s'entraîner : exercices 23 p. 105, 30 p. 106 et 48 p. 108

    Méthode

    • Pour placer les deux points A\text {A} et B \text {B}, on choisit deux abscisses xAx_{\mathrm{A}} et xBx_{\mathrm{B}}.
    • On calcule les ordonnées yA=mxA+py_{\mathrm{A}}=m x_{\mathrm{A}}+p et yB=mxB+py_{\mathrm{B}}=m x_{\mathrm{B}}+p.
    • La droite (AB)(\mathrm{AB}) est la courbe représentative de la fonction affine.

    Énoncé

    Représenter dans un repère orthonormé (O;I,J)(\text{O} ; \text{I}, \text{J}) la fonction affine hh définie par h(x)=43x2.h(x)=\dfrac{4}{3} x-2.

    Application et méthode


    SOLUTION

    Pour tout réel x,f(x)=1×x+1x, f(x)=1 \times x+1 donc ff est affine avec m=1m = 1 et p=1p = 1.
    Pour la fonction gg, on a : g(0)=1g(0)=-1, g(1)=0 g(1)=0 et g(2)=3 g(2)=3.

    g(2)g(1)21=301=3\dfrac{g(2)-g(1)}{2-1}=\dfrac{3-0}{1}=3 et g(1)g(0)10=0(1)1=1 \dfrac{g(1)-g(0)}{1-0}=\dfrac{0-(-1)}{1}=1
    Le taux d’accroissement n’est pas constant donc gg n’est pas affine.

    Pour s'entraîner : exercices 21 et 22 p. 105

    Énoncé

    Les fonctions suivantes sont-elles affines ? Justifier.

    f(x)=x+1f(x)=x+1 ; g(x)=x21g(x)=x^{2}-1

    Méthode

    1. Une fonction ff est affine si on peut déterminer deux réels mm et pp tels que, pour tout xR,f(x)=mx+px \in \mathbb{R}, f(x)=m x+p.

    2. Une fonction n’est pas affine lorsque le taux d’accroissement n’est pas constant.

    B
    Représentation graphique


    Conséquence

    Soit ff une fonction affine définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=mx+p f(x)=m x+p.
    Pour représenter ff, il suffit de placer deux points A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB)\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} \:; y_{\mathrm{B}}\right) avec yA=mxA+p et yB=mxB+py_{\mathrm{A}}=m x_{\mathrm{A}}+p \text { et } y_{\mathrm{B}}=m x_{\mathrm{B}}+p puis de tracer la droite passant par ces deux points.

    Remarque

    La différence des ordonnées de A\mathrm{A} et B\mathrm{B} est proportionnelle à la différence des abscisses de A\mathrm{A} et B.\mathrm{B}.

    Propriété (admise)

    Dans un repère orthonormé (O;I,J)(\text{O} ; \text{I}, \text{J}), la courbe représentative d’une fonction ff est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées si et seulement si ff est une fonction affine.

    Remarque

    La courbe représentative d’une fonction ff a pour équation y=f(x)y = f(x).
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