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Activités




A
Les maths sans pression



Objectif
Interpréter le coefficient directeur d’une fonction affine comme un taux d’accroissement.


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Partie 1 : les degrés Kelvin

En France, la température s’exprime en degré Celsius (°C). Il existe une unité de mesure de la température internationale et absolue : le degré Kelvin (K). La température en Kelvin TK\mathrm{T}_{\mathrm{K}} s’obtient en ajoutant 273,15 à la température en degrés Celsius TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} : TK=273,15+TC\mathrm{T}_{\mathrm{K}}=273\text{,}15+\mathrm{T}_{\mathrm{C}}.

1
La température moyenne en bord de mer est de 15 °C. Quelle est la température correspondante en Kelvin ?


2
La température dans un récipient est de 350 K. Quelle est la température correspondante en degrés Celsius ?


3
La température en Kelvin est-elle proportionnelle à la température en degrés Celsius ? Justifier.

Un thermomètre peux mesurer la température de la neige

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Partie 2 : température et pression

La loi de Gay-Lussac affirme que, pour un volume donné d’un gaz parfait, la pression exprimée en Pascal (Pa) est proportionnelle à la température exprimée en Kelvin.

1
Dans un récipient, un gaz parfait se trouve à une température de 300 K et une pression de 46 620 Pa. Après quelque temps, la température est de 380 K et la pression est de 59 052 Pa.
a) Calculer le coefficient de proportionnalité correspondant à cette situation.

b) Quelle était la pression dans le récipient lorsque la température était de 330 K ?

c) Quelle était la température (en Kelvin) dans le récipient lorsque la pression était de 50 000 Pa ? Arrondir à l’unité.

d) Si tt est la température en Kelvin, déterminer l’expression de la pression en fonction de tt . De quel type de fonction s’agit-il ?


2
On rappelle la conversion suivante : TK=273,15+TC\mathrm{T}_{\mathrm{K}}=273\text{,}15+\mathrm{T}_{\mathrm{C}}.
a) Démontrer que si xx est la température en degrés Celsius, alors la pression en Pa est définie par P(x)=155,4x+42447,51.P(x)=155{,}4 x+42 \, 447{,}51. De quel type de fonction s’agit-il ?

b) La pression est-elle proportionnelle à la température en degrés Celsius ? Justifier.


3
On suppose ici que x=20.x = 20.
a) La température augmente de 10 °C : démontrer alors que la pression augmente de 10×155,410 \times 155{,}4 Pa.

b) Que se passe-t-il pour la pression si la température xx augmente de 15 °C ? Et si elle diminue de 5 °C ?

c) Recopier et compléter le tableau suivant.

Variation de la température en °C -7 -5 3 10 15
Variation de la pression en Pa

d) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?


4
Si x1x_1 et x2x_2 sont deux températures distinctes en °C, démontrer que P(x2)P(x1)x2x1=155,4.\dfrac{\mathrm{P}\left(x_{2}\right)-\mathrm{P}\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=155\text{,}4.

Une bouilloire augmente en pression avec la température.
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Bilan
Soit la fonction affine f:xmx+pf : x \mapsto m x+p. Quel lien existe-t-il entre la différence de deux nombres distincts et la différence de leur image ?

B
Le lièvre et la tortue



Objectif
Démontrer et interpréter les variations et le signe d’une fonction affine.


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Il est possible de connaître l’âge humain d’un lièvre ou d’une tortue à l’aide de deux fonctions affines différentes \ell et tt définies sur [0 ;+][0\text{ ;}+\infty] dont on donne le tableau de valeurs ci-dessous.

 Âge réel d’un lièvre xx 0,5 1 2 2,5 3 5,5 6 7,5
 Âge humain correspondant (x)\ell (x) 16 20 28 32 36 56 60 73


 Âge réel d’une tortue xx 0,5 1 2 2,5 3 5,5 6 7,5
 Âge humain correspondant t(x)t (x) 7 12 22 27 32 57 62 77

1
a) À l’aide du tableau de valeurs, conjecturer les variations de la fonction \ell sur [0;+[[0 \: ;+\infty[.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction \ell, puis, en s’appuyant sur le contexte, donner la signification du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine.


2
Le tableau de valeurs ne renseigne pas sur toutes les valeurs de la fonction \ell. Supposons qu’il existe deux nombres aa et bb tels que : 0a<b0 \leqslant a \lt b et (a)(b).\ell(a) \geqslant \ell(b).
a) Déterminer le signe de (b)(a)ba.\dfrac{\ell(b)-\ell(a)}{b-a}.

b) À quelle contradiction arrive-t-on par rapport à la question 1.b) ?

c) La supposition faite sur (a)\ell (a) et (b)\ell (b) est-elle possible ?


3
Dresser le tableau de variations de \ell sur [0;+[[0 \:;+\infty[ .
Couleurs
Formes
Dessinez ici


Pour comparer les âges humains de ces deux animaux à un même âge réel, on s’intéresse à la fonction définie pour tout x[0;+[x \in[0 \:;+\infty[ par d(x)=(x)t(x) d(x)=\ell(x)-t(x).

4
a) Compléter le tableau de valeurs suivant puis émettre une conjecture quant au signe de la fonction dd.
Âge réel de l’animal xx 0,5 1 2 2,5 3 5,5 6 7,5
Différence des âges humains d(x)d(x)

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction dd, puis, en s’appuyant sur le contexte, donner la signification du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine.

LOGIQUE

On réalise dans la question
2
un raisonnement par l’absurde.

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5
a) Résoudre l’équation d(x)=0d(x)=0 et l’inéquation d(x)<0d(x) \lt 0 puis interpréter les résultats.

b) Dresser le tableau de signes de dd sur [0;+[.[0 ;+\infty[.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


6
Si un lièvre a un an de plus qu’une tortue, à partir de quel âge réel la tortue sera-t-elle plus vieille que le lièvre en âge humain ?

AIDE

6
On peut poser xx l’âge de la tortue et x+1x + 1 celui du lièvre.
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Bilan
ff est une fonction affine f:xmx+pf : x \mapsto m x+p. Quel lien peut-on faire entre les variations de ff, le signe de ff et mm ?

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