Fonctions affines

Dans un récipient, un gaz parfait se trouve à une température de 300 K et une pression de 46 620 Pa. Après quelque temps, la température est de 380 K et la pression est de 59 052 Pa.

a) Calculer le coefficient de proportionnalité correspondant à cette situation.

b) Quelle était la pression dans le récipient lorsque la température était de 330 K ?

c) Quelle était la température (en Kelvin) dans le récipient lorsque la pression était de 50 000 Pa ? Arrondir à l'unité.

d) Si t est la température en Kelvin, déterminer l'expression de la pression en fonction de t . De quel type de fonction s'agit-il ?

On rappelle la conversion suivante : \mathrm{T}_{\mathrm{K}}=273\text{,}15+\mathrm{T}_{\mathrm{C}}.
a) Démontrer que si x est la température en degrés Celsius, alors la pression en Pa est définie par P(x)=155{,}4 x+42 \, 447{,}51. De quel type de fonction s'agit-il ?

b) La pression est-elle proportionnelle à la température en degrés Celsius ? Justifier.

On suppose ici que x = 20.
a) La température augmente de 10 °C : démontrer alors que la pression augmente de 10 \times 155{,}4 Pa.

b) Que se passe-t-il pour la pression si la température x augmente de 15 °C ? Et si elle diminue de 5 °C ?

c) Recopier et compléter le tableau suivant.


d) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?

4

Si x_1 et x_2 sont deux températures distinctes en °C, démontrer que \dfrac{\mathrm{P}\left(x_{2}\right)-\mathrm{P}\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=155\text{,}4.

a) À l'aide du tableau de valeurs, conjecturer les variations de la fonction \ell sur [0 \: ;+\infty[.

b) Déterminer l'expression algébrique de la fonction \ell, puis, en s'appuyant sur le contexte, donner la signification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine.

Le tableau de valeurs ne renseigne pas sur toutes les valeurs de la fonction \ell. Supposons qu'il existe deux nombres a et b tels que : 0 \leqslant a \lt b et \ell(a) \geqslant \ell(b).


a) Déterminer le signe de \dfrac{\ell(b)-\ell(a)}{b-a}.

b) À quelle contradiction arrive-t-on par rapport à la question 1.b) ?

c) La supposition faite sur \ell (a) et \ell (b) est-elle possible ?

3

Dresser le tableau de variations de \ell sur [0 \:;+\infty[ .

Pour comparer les âges humains de ces deux animaux à un même âge réel, on s'intéresse à la fonction définie pour tout x \in[0 \:;+\infty[ par d(x)=\ell(x)-t(x).

a) Compléter le tableau de valeurs suivant puis émettre une conjecture quant au signe de la fonction d.

b) Déterminer l'expression algébrique de la fonction d, puis, en s'appuyant sur le contexte, donner la signification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine.

a) Résoudre l'équation d(x)=0 et l'inéquation d(x) \lt 0 puis interpréter les résultats.

b) Dresser le tableau de signes de d sur [0 ;+\infty[.

6

Si un lièvre a un an de plus qu'une tortue, à partir de quel âge réel la tortue sera-t-elle plus vieille que le lièvre en âge humain ?

Aide

On peut poser x l'âge de la tortue et x + 1 celui du lièvre.