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COURS 2


2
Étude d’une fonction affine




ff est une fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf(x) = mx + pmm et pp sont deux réels.

Application et méthode


Méthode

1. On vérifie les variations de la fonction gg .

2. La fonction est décroissante donc deux nombres et leur image sont classés dans l’ordre inverse.

Énoncé

►► Utiliser les variations

Soit a[3;2]a \in[-3\: ;-2] et gg une fonction affine définie sur R\mathbb{R} par g(x)=4x5 g(x)=-4 x-5. Déterminer un encadrement de g(a)g(a).

SOLUTION

hh est une fonction affine et impaire : elle est donc linéaire.
Ainsi, il existe kRk \in \mathbb{R} tel que, pour tout xR,h(x)=kx.x \in \mathbb{R}, h(x)=k x.
Puisque h(3)=5h(3)=5 alors 3k=53 k=5 d'où k=53k=\dfrac{5}{3}.
Pour tout xR,h(x)=53x.x \in \mathbb{R}, h(x)=\dfrac{5}{3} x.

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 105.

Énoncé

►► Utiliser la parité

hh est une fonction affine impaire telle que h(3)=5h(3) = 5. En déduire l’expression de hh en fonction de xR.x \in \mathbb{R}.

SOLUTION

La fonction affine gg est strictement décroissante car m=4m = -4 et 4<0-4 \lt 0 donc :
3a2-3 \leqslant a \leqslant-2
g(3)g(a)g(2)\Leftrightarrow g(-3) \geqslant g(a) \geqslant g(-2)
7g(a)3\Leftrightarrow 7 \geqslant g(a) \geqslant 3

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 105, 62 p. 109 et 63 p. 110.

Méthode

1. On détermine de quel type de fonction affine il s’agit en utilisant la propriété.

2. En utilisant la bonne définition et les valeurs de l’énoncé, on détermine l’expression de la fonction cherchée.

Application et méthode

Énoncé

►► Signe d’un produit

Résoudre l’inéquation (3x+2)(2x1)0(3 x+2)(-2 x-1) \leqslant 0.

Énoncé

►► Signes d’une fonction affine

Dresser le tableau de signes de la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=3x4.h(x) = -3x - 4.
SOLUTION
hh est strictement décroissante et
h(x)=0x=43=43h(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{-4}{-3}=-\dfrac{4}{3}

Étude d’une fonction affine


Pour s'entraîner : exercices 26 p. 105 et 65 p. 110

Méthode

1. On détermine le signe de chaque facteur en utilisant la méthode précédente.

2. On résume le signe du produit sur la dernière ligne.

3. On donne l’ensemble des solutions.

Méthode

1. On vérifie les variations de hh.

2. On calcule la valeur qui annule hh.

3. On complète le tableau de signes à l'aide de 1. et 2.
SOLUTION
x3x+2x \mapsto 3 x+2 est croissante sur R\mathbb{R} et (3x+2)=0x=23(3 x+2)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3}.
x2x1x \mapsto-2 x-1 est décroissante sur R\mathbb{R} et
2x1=0x=12-2 x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}. En résumé :

Étude d’une fonction affine


Pour s'entraîner : exercices 27 p. 105, 71 p. 110 et 72 p. 111

A
Variation et parité


DÉMONSTRATION

Voir exercice
81
p. 111

Propriété

Si m>0m > 0 , alors ff est une fonction strictement croissante.
Si m<0m \lt 0 , alors ff est une fonction strictement décroissante.

LOGIQUE

On peut utiliser un raisonnement par l’absurde pour démontrer les réciproques.

Remarque

Si m=0m = 0 , alors ff est constante.

DÉMONSTRATION

Soient aa et bb deux réels.
m>0:a<bma<mbm>0 : a \lt b \Leftrightarrow m a \lt m b
ma+p<mb+pf(a)<f(b)\Leftrightarrow m a+p \lt m b+p \Leftrightarrow f(a) \lt f(b)
donc ff est strictement croissante.

m<0:a<bma>mbm \lt 0 : a \lt b \Leftrightarrow m a>m b
ma+p>mb+pf(a)>f(b)\Leftrightarrow m a+p>m b+p \Leftrightarrow f(a)>f(b)
donc ff est strictement décroissante.

Propriété

ff est une fonction affine impaire si et seulement si ff est une fonction linéaire.
ff est une fonction affine paire si et seulement si ff est une fonction constante.

B
Signes


Propriété

1. Si m0m \neq 0, alors f(x)=0x=pmf(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{p}{m}.

2. Si m>0m > 0, alors f(x>0x>pmf(x>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{p}{m}.

3. Si m>0m > 0, alors f(x)<0x<pmf(x)\lt0 \Leftrightarrow x\lt-\dfrac{p}{m}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
84
p. 111

Propriété

m>0m > 0
Étude d’une fonction affine
m<0m \lt 0
Étude d’une fonction affine

Remarque

Faire attention à l’ensemble de définition de la fonction pour un quotient.

Remarque

Si m=0m = 0, ff est du signe de pp.

Conséquence
Pour étudier le signe d’un produit ou d'un quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l’aide de la propriété des signes d’un produit ou d’un quotient.
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