Si m > 0 , alors f est une fonction strictement croissante.
Si m \lt 0 , alors f est une fonction strictement décroissante.

Si m = 0 , alors f est constante.

Soient a et b deux réels.
m>0 : a \lt b \Leftrightarrow m a \lt m b
\Leftrightarrow m a+p \lt m b+p \Leftrightarrow f(a) \lt f(b)
donc f est strictement croissante.

m \lt 0 : a \lt b \Leftrightarrow m a>m b
\Leftrightarrow m a+p>m b+p \Leftrightarrow f(a)>f(b)
donc f est strictement décroissante.

On peut utiliser un raisonnement par l'absurde pour démontrer les réciproques.

f est une fonction affine impaire si et seulement si f est une fonction linéaire.
f est une fonction affine paire si et seulement si f est une fonction constante.

Voir exercice

81

p. 111

Soit a \in[-3\: ;-2] et g une fonction affine définie sur \mathbb{R} par g(x)=-4 x-5. Déterminer un encadrement de g(a).

1. On vérifie les variations de la fonction g .
2. La fonction est décroissante donc deux nombres et leur image sont classés dans l'ordre inverse.

La fonction affine g est strictement décroissante car m = -4 et -4 \lt 0 donc :
-3 \leqslant a \leqslant-2
\Leftrightarrow g(-3) \geqslant g(a) \geqslant g(-2)
\Leftrightarrow 7 \geqslant g(a) \geqslant 3

Exercices

25

p. 105,

62

p. 109 et

63

p. 110.

h est une fonction affine impaire telle que h(3) = 5. En déduire l'expression de h en fonction de x \in \mathbb{R}.

1. On détermine de quel type de fonction affine il s'agit en utilisant la propriété.
2. En utilisant la bonne définition et les valeurs de l'énoncé, on détermine l'expression de la fonction cherchée.

h est une fonction affine et impaire : elle est donc linéaire.
Ainsi, il existe k \in \mathbb{R} tel que, pour tout x \in \mathbb{R}, h(x)=k x.
Puisque h(3)=5 alors 3 k=5 d'où k=\dfrac{5}{3}.
Pour tout x \in \mathbb{R}, h(x)=\dfrac{5}{3} x.

Exercices

25

p. 105.

Si m = 0, f est du signe de p.

Voir exercice

84

p. 111

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l'aide de la propriété des signes d'un produit ou d'un quotient.

Faire attention à l'ensemble de définition de la fonction pour un quotient.

Dresser le tableau de signes de la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x) = -3x - 4.

1. On vérifie les variations de h.
2. On calcule la valeur qui annule h.
3. On complète le tableau de signes à l'aide de 1. et 2.

h est strictement décroissante et h(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{-4}{-3}=-\dfrac{4}{3}



Exercices

26

p. 105 et

65

p. 110

Résoudre l'inéquation (3 x+2)(-2 x-1) \leqslant 0.

1. On détermine le signe de chaque facteur en utilisant la méthode précédente.
2. On résume le signe du produit sur la dernière ligne.
3. On donne l'ensemble des solutions.

x \mapsto 3 x+2 est croissante sur \mathbb{R} et (3 x+2)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3}. x \mapsto-2 x-1 est décroissante sur \mathbb{R} et -2 x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}. En résumé :


Ainsi, \left.(3 x+2)(-2 x-1) \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in]-\infty ; \frac{-2}{3}\right] \cup\left[\frac{-1}{2} ;+\infty[\right.

Exercices

27

p. 105,

71

p. 110 et

72

p. 111