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2. Étude d’une fonction affine
P.98-99
COURS 2


2
Étude d’une fonction affine




ff est une fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf(x) = mx + pmm et pp sont deux réels.

A
Variation et parité


Propriété

Si m>0m > 0 , alors ff est une fonction strictement croissante.
Si m<0m \lt 0 , alors ff est une fonction strictement décroissante.

Remarque

Si m=0m = 0 , alors ff est constante.

DÉMONSTRATION

Soient aa et bb deux réels.
m>0:a<bma<mbm>0 : a \lt b \Leftrightarrow m a \lt m b
ma+p<mb+pf(a)<f(b)\Leftrightarrow m a+p \lt m b+p \Leftrightarrow f(a) \lt f(b)
donc ff est strictement croissante.

m<0:a<bma>mbm \lt 0 : a \lt b \Leftrightarrow m a>m b
ma+p>mb+pf(a)>f(b)\Leftrightarrow m a+p>m b+p \Leftrightarrow f(a)>f(b)
donc ff est strictement décroissante.

LOGIQUE

On peut utiliser un raisonnement par l’absurde pour démontrer les réciproques.

Propriété

ff est une fonction affine impaire si et seulement si ff est une fonction linéaire.
ff est une fonction affine paire si et seulement si ff est une fonction constante.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
81
p. 111

Application et méthode

Énoncé

►► Utiliser les variations

Soit a[3;2]a \in[-3\: ;-2] et gg une fonction affine définie sur R\mathbb{R} par g(x)=4x5 g(x)=-4 x-5. Déterminer un encadrement de g(a)g(a).

Méthode

1. On vérifie les variations de la fonction gg .

2. La fonction est décroissante donc deux nombres et leur image sont classés dans l’ordre inverse.

SOLUTION

La fonction affine gg est strictement décroissante car m=4m = -4 et 4<0-4 \lt 0 donc :
3a2-3 \leqslant a \leqslant-2
g(3)g(a)g(2)\Leftrightarrow g(-3) \geqslant g(a) \geqslant g(-2)
7g(a)3\Leftrightarrow 7 \geqslant g(a) \geqslant 3

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 105, 62 p. 109 et 63 p. 110.

Énoncé

►► Utiliser la parité

hh est une fonction affine impaire telle que h(3)=5h(3) = 5. En déduire l’expression de hh en fonction de xR.x \in \mathbb{R}.

Méthode

1. On détermine de quel type de fonction affine il s’agit en utilisant la propriété.

2. En utilisant la bonne définition et les valeurs de l’énoncé, on détermine l’expression de la fonction cherchée.

SOLUTION

hh est une fonction affine et impaire : elle est donc linéaire.
Ainsi, il existe kRk \in \mathbb{R} tel que, pour tout xR,h(x)=kx.x \in \mathbb{R}, h(x)=k x.
Puisque h(3)=5h(3)=5 alors 3k=53 k=5 d'où k=53k=\dfrac{5}{3}.
Pour tout xR,h(x)=53x.x \in \mathbb{R}, h(x)=\dfrac{5}{3} x.

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 105.

B
Signes


Propriété

1. Si m0m \neq 0, alors f(x)=0x=pmf(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{p}{m}.

2. Si m>0m > 0, alors f(x>0x>pmf(x>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{p}{m}.

3. Si m>0m > 0, alors f(x)<0x<pmf(x)\lt0 \Leftrightarrow x\lt-\dfrac{p}{m}.

Propriété

m>0m > 0
Étude d’une fonction affine
m<0m \lt 0
Étude d’une fonction affine

Remarque

Si m=0m = 0, ff est du signe de pp.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
84
p. 111

Conséquence
Pour étudier le signe d’un produit ou d'un quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l’aide de la propriété des signes d’un produit ou d’un quotient.

Remarque

Faire attention à l’ensemble de définition de la fonction pour un quotient.

Application et méthode

Énoncé

►► Signes d’une fonction affine

Dresser le tableau de signes de la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=3x4.h(x) = -3x - 4.

Méthode

1. On vérifie les variations de hh.

2. On calcule la valeur qui annule hh.

3. On complète le tableau de signes à l'aide de 1. et 2.
SOLUTION
hh est strictement décroissante et
h(x)=0x=43=43h(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{-4}{-3}=-\dfrac{4}{3}

Étude d’une fonction affine


Pour s'entraîner : exercices 26 p. 105 et 65 p. 110

Énoncé

►► Signe d’un produit

Résoudre l’inéquation (3x+2)(2x1)0(3 x+2)(-2 x-1) \leqslant 0.

Méthode

1. On détermine le signe de chaque facteur en utilisant la méthode précédente.

2. On résume le signe du produit sur la dernière ligne.

3. On donne l’ensemble des solutions.
SOLUTION
x3x+2x \mapsto 3 x+2 est croissante sur R\mathbb{R} et (3x+2)=0x=23(3 x+2)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3}.
x2x1x \mapsto-2 x-1 est décroissante sur R\mathbb{R} et
2x1=0x=12-2 x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}. En résumé :

Étude d’une fonction affine


Pour s'entraîner : exercices 27 p. 105, 71 p. 110 et 72 p. 111
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