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2. Étude d’une fonction affine
P.98-99

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COURS 2


2
Étude d’une fonction affine




est une fonction affine définie sur par et sont deux réels.

A
Variation et parité


Propriété

Si , alors est une fonction strictement croissante.
Si , alors est une fonction strictement décroissante.

Remarque

Si , alors est constante.

DÉMONSTRATION

Soient et deux réels.


donc est strictement croissante.



donc est strictement décroissante.

LOGIQUE

On peut utiliser un raisonnement par l’absurde pour démontrer les réciproques.

Propriété

est une fonction affine impaire si et seulement si est une fonction linéaire.
est une fonction affine paire si et seulement si est une fonction constante.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
81
p. 111

Application et méthode

Énoncé

►► Utiliser les variations

Soit et une fonction affine définie sur par . Déterminer un encadrement de .

Méthode

1. On vérifie les variations de la fonction .

2. La fonction est décroissante donc deux nombres et leur image sont classés dans l’ordre inverse.

SOLUTION

La fonction affine est strictement décroissante car et donc :




Pour s'entraîner : exercices 25 p. 105, 62 p. 109 et 63 p. 110.

Énoncé

►► Utiliser la parité

est une fonction affine impaire telle que . En déduire l’expression de en fonction de

Méthode

1. On détermine de quel type de fonction affine il s’agit en utilisant la propriété.

2. En utilisant la bonne définition et les valeurs de l’énoncé, on détermine l’expression de la fonction cherchée.

SOLUTION

est une fonction affine et impaire : elle est donc linéaire.
Ainsi, il existe tel que, pour tout
Puisque alors d'où .
Pour tout

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 105.

B
Signes


Propriété

1. Si , alors .

2. Si , alors .

3. Si , alors .

Propriété


Étude d’une fonction affine

Étude d’une fonction affine

Remarque

Si , est du signe de .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
84
p. 111

Conséquence
Pour étudier le signe d’un produit ou d'un quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l’aide de la propriété des signes d’un produit ou d’un quotient.

Remarque

Faire attention à l’ensemble de définition de la fonction pour un quotient.

Application et méthode

Énoncé

►► Signes d’une fonction affine

Dresser le tableau de signes de la fonction définie sur par

Méthode

1. On vérifie les variations de .

2. On calcule la valeur qui annule .

3. On complète le tableau de signes à l'aide de 1. et 2.
SOLUTION
est strictement décroissante et


Étude d’une fonction affine


Pour s'entraîner : exercices 26 p. 105 et 65 p. 110

Énoncé

►► Signe d’un produit

Résoudre l’inéquation .

Méthode

1. On détermine le signe de chaque facteur en utilisant la méthode précédente.

2. On résume le signe du produit sur la dernière ligne.

3. On donne l’ensemble des solutions.
SOLUTION
est croissante sur et .
est décroissante sur et
. En résumé :

Étude d’une fonction affine


Pour s'entraîner : exercices 27 p. 105, 71 p. 110 et 72 p. 111
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