Chapitre 4


Fonctions de référence






La forme de cette toupie rappelle celle de la fonction inverse.
Son énergie de rotation dépend du carré de sa vitesse de rotation.
La fonction inverse et la fonction carré sont deux des quatre fonctions de référence qui sont étudiées dans ce chapitre.

Fonctions de référence, toupie

Avant de commencer

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1
Utiliser une représentation graphique

On considère la courbe représentative d’une fonction ff définie sur [2;4].[ - 2\:; 4 ].

Fonctions de référence

1. Déterminer les images de 00 ; 1–1 et 33 par f.f .

2. Déterminer un antécédent de 4,4, deux antécédents de 33, un antécédent de 11 et deux antécédents
de 22 par f.f .

3. Donner un exemple de réel qui possède trois antécédents par f.f .

4. Donner un exemple de réel qui ne possède pas d’antécédent par f.f .


2
Développer et factoriser une expression

Soit xRx \in \mathbb { R } .
1. Développer et réduire les expressions suivantes.
a. (2x+1)2( 2 x + 1 ) ^ { 2 }

b. (x+4)(x4)( x + 4 ) ( x - 4 )

c. (3x4)2( 3 x - 4 ) ^ { 2 }

2. Factoriser les expressions suivantes.
a. x22x+1x ^ { 2 } - 2 x + 1

b. 4x2+12x+94 x ^ { 2 } + 12 x + 9

c. 4x294 x ^ { 2 } - 9


3
Lire et utiliser des variations

On donne la courbe représentative d’une fonction gg définie sur l’intervalle I=[0;5].\mathrm { I } = [ 0\:; 5 ].

Fonctions de référence

1. La fonction gg est-elle monotone sur I?\mathrm { I }\:?

2. Dresser le tableau de variations de gg sur I.\mathrm { I }.
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3. a. Donner le sens de variation de gg sur l’intervalle [3;4].[ 3\:; 4 ].

b. On suppose que aa et bb appartiennent à [3;4][ 3\:; 4 ] tels que a<b.a \lt b. Comparer g(a)g(a) et g(b).g(b).

4. Répondre aux questions 3. a. et 3. b. sur l’intervalle [2;3].[ 2\:; 3 ].

Prérequis

1. Utiliser les identités remarquables usuelles.
2. Maîtriser les notions d’image et d’antécédent.
3. Dresser graphiquement un tableau de variations ou le lire.
4. Utiliser la définition de fonction croissante ou décroissante.
5. Déterminer graphiquement la position relative de courbes.
Voir les réponses

4
Lire et utiliser un tableau de variations

On donne ci-après le tableau de variations d’une fonction ff définie sur [10;9].[ - 10\:; 9 ].

Fonctions de référence

1. Tracer la courbe représentative d’une fonction ayant ce tableau de variations.

Fonctions de référence

2. Compléter avec les symboles <\lt ou >.\gt. Écrire « ? » si on ne peut pas savoir.
a. f(6)f ( 6 ) f(8)f ( 8 )

b. f(3,6)f ( - 3\text{,}6 ) (1,3) ( 1\text{,}3 )

c. f(6)f ( - 6 ) f(2)f ( - 2 )

d. f(8)f ( - 8 ) f(5)f ( - 5 )

e. f(3,2)f ( 3\text{,}2 ) f(5,72)f ( 5\text{,}72 )

f. f(2,01)f ( 2\text{,}01 ) f(2,1)f ( 2\text{,}1 )


5
Problème

Un particulier possède un terrain sur lequel il veut installer un potager rectangulaire ABCD.\mathrm { ABCD }.
Pour ne pas être dérangé par des animaux nuisibles, il souhaite le clôturer avec un grillage.
Il veut avoir un potager de 25 m2 et minimiser la longueur de grillage à utiliser.

1. On note xx la longueur AB\mathrm { AB } en m.
a. Quelles sont les valeurs possibles de x?x\:?

b. Exprimer, en fonction de x,x, la longueur BC.\mathrm{BC}.

2. Exprimer, en fonction de x,x, le périmètre P(x)\mathrm { P } ( x ) du potager.

3. Tracer la courbe représentative de P\mathrm { P } et en déduire son tableau de variations.

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4. a. Pour quelle valeur de xx le périmètre est-il minimal ?

b. Quelle est alors la valeur de ce périmètre ?

c. Quelle est la particularité de ABCD?\mathrm { ABCD }\:?

Anecdote

La somme des inverses des carrés de tous les entiers naturels non nuls est égale à π26: \dfrac { \pi ^ { 2 } } { 6 } :
112+122+132+=π26.\dfrac { 1 } { 1 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \ldots = \dfrac { \pi ^ { 2 } } { 6 }.


Capacités attendues - chapitre 4

1. Reconnaître la représentation graphique des fonctions de référence.
2. Comparer l’image de deux nombres par ces fonctions.
3. Résoudre graphiquement ou algébriquement équations et inéquations faisant intervenir ces fonctions.
4. Utiliser la position relative de leur courbe représentative.
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