Fonctions de référence

a) Choisir un nombre $a>0.$ Calculer $a\times 0\text{,}6$ ; $a\times 1\text{,}2$ ; $a\times 2$ ; $a\times 0\text{,}13$ ; $a\times 1\text{,}05$ et $a\times 0\text{,}64.$

b) Comparer les résultats obtenus à la valeur de $a$ choisie initialement.

c) Comparer les nombres $a$ et $a\times x$ lorsque $x\in ]0;1[$ puis lorsque $x>1.$

Soit $x\in ]0;1[.$
a) En vertu de la question

1

, si $a=x$ , déduire une comparaison entre $x$ et $x\times x.$

b) Si $a=x^2$, déduire de la question

1

une comparaison entre $x^2$ et $x^2\times x.$

c) Ranger dans l'ordre croissant $x$ , $x^2$ et $x^3.$

Soit $x>1.$
a) En vertu de la question

1

, si $a=x$ , déduire une comparaison entre $x$ et $x\times x.$

b) Si $a=x^2$, déduire de la question

1

une comparaison entre $x^2$ et $x^2\times x.$

c) Ranger dans l'ordre croissant $x$, $x^2$ et $x^3.$

a) On a représenté la fonction identité, la fonction carré et la fonction cube sur l'intervalle $[0;1]$ dans un repère orthonormé.
En utilisant les réponses à la question

2

, associer à chaque courbe la fonction correspondante.

b) Compléter le tableau de valeurs suivant.


c) À l'aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de la fonction identité, de la fonction carré et de la fonction cube dans un même repère orthogonal.

d) Justifier en quoi les courbes obtenues sont cohérentes avec la question

3

.

1

D'après l'image, le rectangle ${\mathrm{OA}}_3{\mathrm{C}}_3{\mathrm{B}}_3$ construit par la méthode de Héron semble proche du carré. Etant donné que son aire est $2$, donner une valeur approchée de $\sqrt{2}$ par lecture graphique.

Pour déterminer la racine carrée de $a>0$, on considère un rectangle de longueur $x_0>0$ et d'aire $a.$ Ainsi, la largeur de ce rectangle est $y_0=\frac{a}{x_0}.$ On construit un nouveau rectangle de longueur $x_1=\frac{x_0+y_0}{2}$ et de largeur $y_1=\frac{a}{x_1}.$ Celui-ci aura une forme qui se rapproche de celle du carré, tout en ayant une aire égale à $a.$ En poursuivant ainsi, on obtient des nombres $x_1$, $x_2$, $x_3$, ... , qui se rapprochent de $\sqrt{a}.$
a) On choisit $x_0=2$ et $a=2$ . Calculer $y_0$ et en déduire les valeurs de $x_1$ et $y_1.$

b) Calculer $x_2=\frac{x_1+y_1}{2}$ et $y_2=\frac{a}{x_2}.$

c) Calculer $x_3$ et vérifier à la calculatrice que $x_3=\sqrt{2}$ à $10^{-4}$ près.

3

En utilisant la même méthode, donner une valeur approchée de $\sqrt{5}.$

4

Commenter l'algorithme ci-dessous, où $a$, $x_0$ et $n$ sont des nombres donnés :

$\boxed{\begin{array}{l}x\leftarrow x_0\\ \text{ Pour }i\text{ allant de }1\text{ aˋ }n\\ x\leftarrow (x+a/x)/2\\ \text{Fin Pour}\end{array}}$

Programmer cet algorithme avec Python ou la calculatrice et faire plusieurs tests.