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Activités




B
Approximation de la racine carrée de xx


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Partant d’un rectangle OA0C0B0 \mathrm { OA } _ { 0 } \mathrm { C } _ { 0 } \mathrm { B } _ { 0 } de longueur 33 et d’aire 22, la méthode de Héron permet de construire des rectangles successifs, tous d’aire 22, qui se rapprochent du carré. Ainsi, la longueur du rectangle obtenu après plusieurs itérations doit se rapprocher de 2.\sqrt { 2 }.

1
D’après l’image, le rectangle OA3C3B3\mathrm { OA } _ { 3 } \mathrm { C } _ { 3 } \mathrm { B } _ { 3 } construit par la méthode de Héron semble proche du carré. Etant donné que son aire est 22, donner une valeur approchée de 2\sqrt { 2 } par lecture graphique.


2
Pour déterminer la racine carrée de a>0a \gt 0, on considère un rectangle de longueur x0>0x _ { 0 } \gt 0 et d’aire a.a. Ainsi, la largeur de ce rectangle est y0=ax0.y _ { 0 } = \dfrac { a } { x _ { 0 } }. On construit un nouveau rectangle de longueur x1=x0+y02x _ { 1 } = \dfrac { x _ { 0 } + y _ { 0 } } { 2 } et de largeur y1=ax1.y _ { 1 } = \dfrac { a } { x _ { 1 } }. Celui-ci aura une forme qui se rapproche de celle du carré, tout en ayant une aire égale à a.a. En poursuivant ainsi, on obtient des nombres x1x _ { 1 }, x2x _ { 2 }, x3x _ { 3 }, ... , qui se rapprochent de a.\sqrt { a }.
a) On choisit x0=2x _ { 0 } = 2 et a=2a = 2 . Calculer y0y_ { 0 } et en déduire les valeurs de x1x_ { 1 } et y1.y_ { 1 }.

b) Calculer x2=x1+y12x _ { 2 } = \dfrac { x _ { 1 } + y _ { 1 } } { 2 } et y2=ax2.y _ { 2 } = \dfrac { a } { x _ { 2 } }.

c) Calculer x3x _ { 3 } et vérifier à la calculatrice que x3=2x _ { 3 } = \sqrt { 2 } à 10410 ^ { - 4 } près.


Objectif
Comprendre et manipuler un algorithme permettant de donner une approximation de la racine carrée d’un nombre réel positif.


3
En utilisant la même méthode, donner une valeur approchée de 5.\sqrt { 5 }.


4
Commenter l’algorithme ci-dessous, où aa, x0x _ { 0 } et nn sont des nombres donnés :
xx0 Pour i allant de 1 aˋ nx(x+a/x)/2Fin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { x \leftarrow x _ { 0 } } \\ \text{ Pour } i \text { allant de } 1 \text { à } n \\ \quad x \leftarrow ( x + a / x ) / 2\\ \text {Fin Pour} \end{array} }



5
Programmer cet algorithme avec Python ou la calculatrice et faire plusieurs tests.






Approximation de la racine carrée de x - Fonctions de référence - activités

On peut démontrer que, pour x0x \geqslant 0, x\sqrt { x } n’est pas toujours un nombre rationnel. C’est le cas par exemple de 2.\sqrt { 2 }. Ces nombres ne peuvent donc pas s’écrire sous la forme ab\dfrac { a } { b } et leur développement décimal n’est périodique à partir d’aucun rang. On va alors utiliser la méthode de Héron pour calculer une valeur approchée de x.\sqrt { x }.
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Bilan
Sans calculatrice, comment calculer une approximation de x(x>0)\sqrt { x } ( x > 0 ) en peu de temps ?

Histoire des maths

heron - activités

Héron d’Alexandrie était un mathématicien du Ier siècle après J.-C., mais il était également mécanicien, ingénieur et inventeur. On lui attribue ainsi la création de la pompe à incendie, de la clepsydre, du piston et de systèmes ingénieux de poids et contrepoids utilisés pour des décors de théâtre.

A
Position relative des courbes des fonctions identité, carré et cube


Position relative des courbes des fonctions identité, carré et cube - Fonctions de référence - activités


Objectif
Étudier les fonctions identité, carré et cube puis les comparer afin de pouvoir ranger dans l’ordre croissant les nombres xx , x2x ^ { 2 } et x3x ^ { 3 } lorsque x0x \geqslant 0.

AIDE

4
On rappelle que la fonction identité est la fonction linéaire Id\text{Id} définie sur R\mathbb { R } par Id(x)=x.\operatorname { Id } ( x ) = x.

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On commence par rappeler que le carré d’un nombre réel xx est défini par x2=x×x.x ^ { 2 } = x \times x. Le cube d’un nombre réel xx est défini par x3=x×x×x.x ^ { 3 } = x \times x \times x. On parle de carré et de cube car x2x ^ { 2 } correspond à l’aire d’un carré de côté xx et que x3x ^ { 3 } correspond au volume d’un cube d’arête x.x.

1
a) Choisir un nombre a>0.a \gt 0. Calculer a×0,6a \times 0\text{,}6 ; a×1,2a \times 1\text{,}2 ; a×2a\times 2 ; a×0,13a \times 0\text{,}13 ; a×1,05a \times 1\text{,}05 et a×0,64.a \times 0\text{,}64.

b) Comparer les résultats obtenus à la valeur de aa choisie initialement.

c) Comparer les nombres aa et a×xa \times x lorsque x]0;1[x \in ] 0\: ; 1 [ puis lorsque x>1.x \gt 1.

2
Soit x]0;1[.x \in ] 0\: ; 1 [ .
a) En vertu de la question
1
, si a=xa = x , déduire une comparaison entre xx et x×x.x \times x.

b) Si a=x2a = x ^ { 2 }, déduire de la question
1
une comparaison entre x2x ^ { 2 } et x2×x.x ^ { 2 } \times x.

c) Ranger dans l’ordre croissant xx , x2x ^ { 2 } et x3.x ^ { 3 }.


3
Soit x>1.x \gt 1.
a) En vertu de la question
1
, si a=xa = x , déduire une comparaison entre xx et x×x.x \times x.

b) Si a=x2a = x ^ { 2 }, déduire de la question
1
une comparaison entre x2x ^ { 2 } et x2×x.x ^ { 2 } \times x.

c) Ranger dans l’ordre croissant xx, x2x ^ { 2 } et x3.x ^ { 3 }.


Position relative des courbes des fonctions identité, carré et cube - Fonctions de référence - activités
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Bilan
Peut-on conclure que, pour tout xx positif, on a x<x2<x3x \lt x ^ { 2 } \lt x ^ { 3 } ?
Sinon, sous quelle condition sur xx ces inégalités sont-elles vraies ?


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4
a) On a représenté la fonction identité, la fonction carré et la fonction cube sur l’intervalle [0;1][ 0\:; 1 ] dans un repère orthonormé.
En utilisant les réponses à la question
2
, associer à chaque courbe la fonction correspondante.


b) Compléter le tableau de valeurs suivant.

xx 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
x2x ^ { 2}
x3x ^ { 3 }

c) À l’aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de la fonction identité, de la fonction carré et de la fonction cube dans un même repère orthogonal.

d) Justifier en quoi les courbes obtenues sont cohérentes avec la question
3
.
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