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2. Vers la racine cubique
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TP / TICE 2


Vers la racine cubique




Énoncé

Pour tout aR,a \in \mathbb { R }, la racine cubique de aa est l’unique réel xx solution de l’équation x3=a.x^3 = a . Souvent, ce nombre est irrationnel et ne peut donc pas s’écrire comme une fraction d’entiers. On cherche donc ici à donner une approximation a3.\sqrt [ 3 ] { a }.

Objectif

Utiliser des outils numériques afin de donner une approximation du nombre a3(aR)\sqrt [ 3 ] { a } ( a \in \mathbb { R } ) avec une des deux méthodes de résolution.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
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On utilise simplement la résolution graphique pour donner une approximation de a3.\sqrt [ 3 ] { a }.

1. Ouvrir GeoGebra et entrer la fonction f(x)=xf(x) = x ^ 33.

Vers la racine cubique - TP

2. On choisit le réel a=5.a = 5. Placer le point A\text{A} de coordonnées (0;5)(0\:; 5) grâce à la commande : A=(0,5)\text{A} = (0{,}5).
3. Sélectionner l’outil Parallèle, cliquer sur le point A\text{A} puis sur l’axe des abscisses. Avec l’outil Point, placer le point B,\text{B}, intersection de la droite tracée avec la courbe représentative de f.f .
4. Tracer la droite parallèle à l’axe des ordonnées et passant par B.\text{B.} Placer C\text{C} le point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses.
5. Justifier que l’abscisse de C\text{C} est égale à 53.\sqrt [ 3 ] { 5 }.

6. Cliquer sur Options › Arrondi › 10 décimales. En déduire une valeur approchée de 53\sqrt [ 3 ] { 5 } à 101010^{-10} près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
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La méthode de Héron, illustrée en début de chapitre pour fournir une approximation de x\sqrt { x } avec x0,x \geqslant 0, se généralise pour fournir une approximation de x3.\sqrt [ 3 ] { x }. Pour calculer la racine cubique de 55, on part d’un réel x0.x_0.
On calcule ensuite : x1=2x0+a(x0)23x _ { 1 } = \dfrac { 2 x _ { 0 } + \dfrac { a } { \left( x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } } { 3 } et on continue : x2=2x1+a(x1)23,x _ { 2 } = \dfrac { 2 x _ { 1 } + \dfrac { a } { \left( x _ { 1 } \right) ^ { 2 } } } { 3 }, etc.

1. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous.

Vers la racine cubique - TP

2. Dans la cellule B2, entrer : =(2B1+5/(B1 = (2 * \text{B}1 + 5/(\text{B}1 ^ 2))/32))/3. Étirer cette formule jusqu’à la cellule B16.
3. Dans la cellule C1, entrer : =B1 = \text{B}1 ^ 33. Étirer cette formule jusqu’à la cellule C16.
4. Expliquer la colonne B et la colonne C.

5. Que se passe-t-il lorsqu’on change la valeur de B1 ? Donner une valeur approchée de 53\sqrt [ 3 ] { 5 } à 101010^{-10} près.
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Pour aller plus loin

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Programmer l’algorithme de Héron avec Python et comparer les résultats obtenus.




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