Applications des fonctions de référence

Voir exercice

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Voir exercice

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p. 137

Déplacez le curseur pour modifier la valeur de $k$ dans l'équation $f(x)=k$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
a. $x^2=16$
b. $x^2=0$
c. $x^2=5$
d. $x^2=-1$
e. $x^2={\pi }^2$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.
a. $x^2⩽4$
b. $x^2<25$
c. $x^2>9$
d. $x^2⩽-2$

• Pour résoudre une inéquation du type $x^2⩽a$ , on trace la droite d'équation $y=a.$
• Les solutions sont les abscisses des points de la courbe représentative de $x\mapsto x^2$ situés sous cette droite (s'ils existent).
• Les bornes (s'il y en a) s'obtiennent en résolvant l'équation $x^2=a.$

1. Équations :
a. $\mathcal{S}=\{-4;4\}$
b. $\mathcal{S}=\{0\}$
c. $\mathcal{S}=\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}$
d. $\mathcal{S}=\varnothing$ (ensemble vide : pas de solution car $-1<0$)
e. $\mathcal{S}=\{-\pi ;\pi \}$

2. Inéquations :
a. $\mathcal{S}=[-2;2]$
b. $\mathcal{S}=]-5;5[$ ( $-5$ et $5$ ne sont pas des solutions)
c. $\mathcal{S}=]-\infty ;-3[\cup ]3;+\infty [$
d. $\mathcal{S}=\varnothing$

Exercices

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Soit $x$ un réel positif ou nul.

• Si $0<x<1$, alors $x>x^2>x^3.$
• Si $x>1$, alors $x<x^2<x^3.$
• Si $x=0$ ou $x=1$, alors $x=x^2=x^3.$

1. Soit $x\in ]0;1[.$
a. $x^3-x^2=x^2(x-1).$ Or, $x^2>0$ et comme $x<1$, $x-1<0.$ Par multiplication de réels de signes contraires, $x^2(x-1)<0$ donc $x^3<x^2$.
b. $x^2-x=x(x-1)$. Or, $x>0$ et $x<1$ d'où $x-1<0$. Par multiplication de réels de signes contraires, $x(x-1)<0$ donc $x^2<x$.

2. Soit $x>1.$
a. $x^3-x^2=x^2(x-1).$ Or, $x^2>0$ et comme $x>1$, $x-1>0.$ Par multiplication de réels de même signes, $x^2(x-1)>0$ donc $x^3>x^2$.
b. $x^2-x=x(x-1)$. Or, $x>1$ donc $x>0$ et $x-1>0$ . Là encore, par multiplication de réels de même signe, $x(x-1)>0$ donc $x^2>x$.

3. $0=0^2=0^3$, et $1=1^2=1^3.$

L'ensemble ${\mathbb{R}}^{+}$ est l'ensemble des réels positifs ou nuls, noté aussi $[0;+\infty [.$ De même, on note ${\mathbb{R}}^{-}$ l'ensemble des réels négatifs ou nuls.

Voir exercice

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Déplacer le curseur pour comparer les courbes de la fonction cube, carré, identité et racine carrée en différentes abscisses.

Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant.
a. $0\text{,}998^2;0\text{,}998^3;0\text{,}998$

b. $\frac{36}{25};\frac{216}{125};\frac{6}{5}$

c. $2;\sqrt{2};2\sqrt{2}$

a. $0<0\text{,}998<1$ donc $0\text{,}998^3<0\text{,}998^2<0\text{,}998$

b. $\frac{6}{5}>1$ donc $\frac{6}{5}<{\left(\frac{6}{5}\right)}^2<{\left(\frac{6}{5}\right)}^3$

c. $\sqrt{2}>1$ donc $\sqrt{2}<{\sqrt{2}}^2<{\sqrt{2}}^3$

Exercices

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