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3. Applications des fonctions de référence
P.124-125

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COURS 3


3
Applications des fonctions de référence




A
Équations et inéquations

Soit aa un nombre réel.


Propriété

    On considère l’équation x2=ax ^ { 2 } = a dans R \mathbb { R }. Alors :
  • si a<0a \lt 0, l’équation n’a pas de solution ;
  • si a=0a = 0, l’équation a pour unique solution x=0x = 0 ;
  • si a>0a \gt 0, l’équation a deux solutions : x=ax = - \sqrt { a } et x=a.x = \sqrt { a }.

Équations et inéquations - cours - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

Voir exercice p. 137

Propriété

    On considère l’inéquation x2ax ^ { 2 } \leqslant a dans R \mathbb { R }. Alors :
  • si a<0a \lt 0, l’inéquation n’a pas de solution ;
  • si a=0a = 0, l’inéquation a pour unique solution x=0x = 0 ;
  • si a>0a \gt 0, l’ensemble des solutions est l’intervalle [a;a].[ - \sqrt { a }\: ; \sqrt { a } ].

Remarque

De manière analogue, on obtient les solutions de x2<ax ^ { 2 } \lt a, x2ax ^ { 2 } \geqslant a et x2>a.x ^ { 2 } \gt a.

DÉMONSTRATION

Voir exercice p. 137

Application et méthode

Énoncé

1. Résoudre dans R\mathbb { R } les équations suivantes.
a. x2=16x ^ { 2 } = 16
b. x2=0x ^ { 2 } = 0
c. x2=5x ^ { 2 } = 5
d. x2=1x ^ { 2 } = - 1
e. x2=π2x ^ { 2 } = \pi ^ { 2 }

2. Résoudre dans R\mathbb { R } les inéquations suivantes.
a. x24x ^ { 2 } \leqslant 4
b. x2<25x ^ { 2 } \lt 25
c. x2>9x ^ { 2 } \gt 9
d. x22x ^ { 2 } \leqslant - 2

Méthode

  • Pour résoudre une inéquation du type x2ax ^ { 2 } \leqslant a , on trace la droite d’équation y=a.y = a.
  • Les solutions sont les abscisses des points de la courbe représentative de xx2x \mapsto x ^ { 2 } situés sous cette droite (s’ils existent).
  • Les bornes (s’il y en a) s’obtiennent en résolvant l’équation x2=a.x ^ { 2 } = a.

SOLUTION

1. Équations :
a. S={4;4}\mathcal { S } = \{ - 4 \:; 4 \}
b. S={0}\mathcal { S } = \{ 0 \}
c. S={5;5}\mathcal { S } = \{ - \sqrt { 5 } \:; \sqrt { 5 } \}
d. S=\mathcal { S } = \emptyset (ensemble vide : pas de solution car 1<0-1 \lt 0)
e. S={π;π}\mathcal { S } = \{ - \pi\:; \pi \}

2. Inéquations :
a. S=[2;2]\mathcal { S } = [ - 2\:; 2 ]
b. S=]5;5[\mathcal { S } = ] - 5\:; 5 [ ( 5-5 et 55 ne sont pas des solutions)
c. S=];3[]3;+[\mathcal { S } = ] - \infty\:; - 3 [ \cup ] 3\:; + \infty [
d. S=\mathcal { S } = \emptyset


Pour s'entraîner : exercices 25 p. 131 et 75 p. 136

B
Position relative des courbes sur R+\mathbb { R } ^ { + }


Théorème

Soit xx un réel positif ou nul.
  • Si 0<x<10 \lt x \lt 1, alors x>x2>x3.x \gt x ^ { 2 } \gt x ^ { 3 }.
  • Si x>1x \gt 1, alors x<x2<x3.x \lt x ^ { 2 } \lt x ^ { 3 }.
  • Si x=0x = 0 ou x=1x = 1, alors x=x2=x3.x = x ^ { 2 } = x ^ { 3 }.

NOTATION

L’ensemble R+\mathbb { R } ^ { + } est l’ensemble des réels positifs ou nuls, noté aussi [0 ;+[.[ 0 ; + \infty [. De même, on note R\mathbb { R } ^ { - } l’ensemble des réels négatifs ou nuls.

DÉMONSTRATION

1. Soit x]0;1[.x \in ] 0\: ; 1 [.
a. x3x2=x2(x1).x ^ { 3 } - x ^ { 2 } = x ^ { 2 } ( x - 1 ). Or, x2>0x ^ { 2 } \gt 0 et comme x<1x \lt 1, x1<0.x - 1 \lt 0. Par multiplication de réels de signes contraires, x2(x1)<0x ^ { 2 } ( x - 1 ) \lt 0 donc x3<x2x ^ { 3 } \lt x ^ { 2 }.
b. x2x=x(x1)x ^ { 2 } - x = x ( x - 1 ). Or, x>0x \gt 0 et x<1x \lt 1 d’où x1<0x - 1 \lt 0. Par multiplication de réels de signes contraires, x(x1)<0x ( x - 1 ) \lt 0 donc x2<xx ^ { 2 } \lt x.
2. Soit x>1.x \gt 1.
a. x3x2=x2(x1).x ^ { 3 } - x ^ { 2 } = x ^ { 2 } ( x - 1 ). Or, x2>0x ^ { 2 } \gt 0 et comme x>1x \gt 1, x1>0.x - 1 \gt 0. Par multiplication de réels de même signes, x2(x1)>0x ^ { 2 } ( x - 1 ) \gt 0 donc x3>x2x ^ { 3 } \gt x ^ { 2 }.
b. x2x=x(x1)x ^ { 2 } - x = x ( x - 1 ). Or, x>1x \gt 1 donc x>0 x \gt 0 et x1>0x - 1 \gt 0 . Là encore, par multiplication de réels de même signe, x(x1)>0x ( x - 1 ) \gt 0 donc x2>xx ^ { 2 } \gt x.
3. 0=02=030 = 0 ^ { 2 } = 0 ^ { 3 }, et 1=12=13.1 = 1 ^ { 2 } = 1 ^ { 3 }.

Démonstration au programme


Théorèmes

1. Soit xx un réel positif ou nul.
  • Si 0<x<10 \lt x \lt 1, alors x>x.\sqrt { x } \gt x.
  • Si x>1x \gt 1, alors x<x.\sqrt { x } \lt x.
  • Si x=0x = 0 ou x=1x = 1, alors x=x.x = \sqrt { x }.

2. Les courbes d’équation y=x2y = x ^ { 2 } et y=xy = \sqrt { x } sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.y = x.

Position relative des courbes sur R+ - cours - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

Voir exercice p. 139

Application et méthode

Énoncé

Sans calculatrice, ranger dans l’ordre croissant.

a. 0,9982;0,9983;0,9980\text{,}998 ^ { 2 }\:;\:0\text{,}998 ^ { 3 }\:;\:0\text{,}998

b. 3625;216125;65\dfrac { 36 } { 25 }\:;\:\dfrac { 216 } { 125 }\:;\:\dfrac { 6 } { 5 }

c. 2;2;222\:;\:\sqrt { 2 }\:;\:2 \sqrt { 2 }

Méthode

Pour ranger aa, a2a ^ { 2 } et a3a ^ { 3 } dans l’ordre croissant, avec a>0a \gt 0 et a1a \neq 1 :
  • si a]0;1[a \in ] 0\: ; 1 [, alors a3<a2<aa ^ { 3 } \lt a ^ { 2 } \lt a ;
  • si a>1a \gt 1, alors a<a2<a3a \lt a^2 \lt a^3.

SOLUTION

a. 0<0,998<10 \lt 0\text{,}998 \lt 1 donc 0,9983<0,9982<0,9980\text{,}998 ^ { 3 } \lt 0\text{,}998 ^ { 2 } \lt 0\text{,}998

b. 65>1\dfrac { 6 } { 5 } \gt 1 donc 65<(65)2<(65)3\dfrac { 6 } { 5 } \lt \left( \dfrac { 6 } { 5 } \right) ^ { 2 } \lt \left( \dfrac { 6 } { 5 } \right) ^ { 3 }

c. 2>1\sqrt { 2 } \gt 1 donc 2<22<23\sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2 } ^ { 2 } \lt \sqrt { 2 } ^ { 3 }

Pour s'entraîner : exercices 24 p. 131 et 80 p. 136
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