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Entrainement 1


Fonction carré, fonction racine carrée





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 50 ; 57 ; 59 ; 67 ; 76 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 60 ; 62 ; 68 ; 74 ; 79 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 52 ; 65 ; 72 ; 85 ; 88 et 91

37
[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l’affirmation est vraie ou fausse. Dans le cas où l’affirmation est fausse, rectifier l’affirmation pour qu’elle soit vraie.
1. L’image de 5-5 par la fonction carré est 25.-25.

2. L’image de 44 par la fonction carré est 2.2.

3. Les solutions de l’équation x2=5x^2 = 5 sont 5- \sqrt { 5 } et 5.\sqrt { 5 }.

4. Les antécédents de 5-5 par la fonction carré sont 5- \sqrt { 5 } et 5.\sqrt { 5 }.

5. Si x=3,x = 3, alors x2=9.x^2 = 9.

6. Si x2=9,x^2 = 9, alors x=3.x = 3.

38
[Calculer.]
1. a. Développer et simplifier (57)2.( \sqrt { 5 } - 7 ) ^ { 2 }.

b. En déduire les antécédents du nombre réel 5414554 - 14 \sqrt { 5 } par la fonction carré.

2. Le nombre 3+63 + \sqrt { 6 } est-il un antécédent de 15+3615 + 3 \sqrt { 6 } par la fonction carré ?

39
[Chercher.]
ff est la fonction carré définie sur R.\mathbb { R }. Sans effectuer de calcul, compléter le tableau de valeurs suivant.

 xx -13,8 -5,36 4,896 -7,5 0 5,36 -4,896
 f(x)f(x) 190,44 23,97082 56,25 190,44 28,7296 56,25

40
[Chercher.] ◉◉
Sans faire de calcul, ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant : (17)2;3,142;(5)2;π2;(1)2. \left( \dfrac { 1 } { 7 } \right) ^ { 2 }\: ; 3{,}14 ^ { 2 }\: ; ( - 5 ) ^ { 2 }\: ; \pi ^ { 2 }\: ; ( - 1 ) ^ { 2 }.

41
[Chercher.]
Une des affirmations suivantes correspond à la fonction carré : laquelle ? Quelle est celle qui correspond à la fonction racine carrée ?
1. Ma courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Fonction carré
Fonction racine carrée
Ni l'une, ni l'autre
2. Je suis une fonction impaire strictement croissante sur R.\mathbb { R }.
Fonction carré
Fonction racine carrée
Ni l'une, ni l'autre
3. Je ne suis pas définie en x=2.x = -2 .
Fonction carré
Fonction racine carrée
Ni l'une, ni l'autre

42
[Raisonner.]
Parmi les nombres proposés, associer celui qui correspond au carré du nombre indiqué, sans effectuer aucun calcul.
  • 1,72 -1\text{,}72
  • 2,852\text{,}85
  • 2,19-2\text{,}19
  • 1,331\text{,}33
  • 22
8,12258\text{,}1225 :

44 :

1,76891\text{,}7689 :

4,79614\text{,}7961 :

2,95842\text{,}9584 :

43
[Raisonner.] ◉◉
xx est un nombre réel.
1. Si 3<x7,3 \lt x \leqslant 7, déterminer un encadrement de :
a. x2x^2

b. 8x28x^2

c. x2+3x^2 + 3

2. Si 4x<1,-4 \leqslant x \lt -1 , déterminer un encadrement de :
a. x2x^2

b. 3x2+43x^2 + 4

c. x2+3-x^2 + 3


44
[Représenter.]
xx est un réel tel que 5x3.- 5 \leqslant x \leqslant 3.
1. Dresser le tableau de variations de la fonction carré sur l’intervalle [5;3].[ - 5\: ; 3 ].

Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. En déduire les extremums de ff sur l’intervalle [5;3].[ - 5\: ; 3 ].

3. Donner un encadrement de x2.x^2.

45
[Représenter.]
xx est un réel tel que 4x6.- 4 \leqslant x \leqslant 6.
Peut-on affirmer que 16x236 ?16 \leqslant x ^ { 2 } \leqslant 36 ? Justifier précisément.


46
[Chercher.]
Pour chaque cas, donner un encadrement de x2,x^2, ou une inégalité vérifiée par x2.x^2.
1. 2<x7- 2 \lt x \leqslant 7

2. 4x<74 \leqslant x \lt 7

3. x>3x \gt - 3

4. x<2x \lt - 2

5. 6x<3-6 \leqslant x \lt 3

6. 11<x2-11 \lt x \leqslant -2

47
[Représenter.]
On considère un carré ABCD\text{ABCD} de côté x>0.x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction carré sur ]0;+[ ] 0\: ; + \infty [ avec une approche géométrique.
1. Exprimer l’aire du carré ABCD\text{ABCD} en fonction de x.x.

2. Soient aa et bb deux réels strictement positifs tels que a<b.a \lt b. L’aire du carré ABCD\text{ABCD} est-elle plus grande lorsque x=ax = a ou lorsque x=b ?x = b ?

3. Retrouver le sens de variation de la fonction carré sur ]0;+[. ] 0\: ; + \infty [.

48
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
On cherche à déterminer les variations de la fonction carré, notée C,\text{C}, sur son ensemble de définition.
1. Rappeler l’ensemble de définition de la fonction C.\text{C}.

2. Pour tous réels aa et b,b, donner l’expression factorisée de a2b2.a^2 - b^2.

3. On étudie les variations de C\text{C} sur l’intervalle];0]. ] - \infty\:; 0 ].
On considère alors deux réels aa et bb tels que a<b0. a \lt b \leqslant 0. On cherche à comparer C(a)\mathrm { C } ( a ) et C(b).\mathrm { C } ( b ).
a. Quel est le signe de a+b?a + b\:?

b. Quel est le signe de ab?a - b\:?

c. En déduire alors le signe de (ab)(a+b).( a - b ) ( a + b ).

d. En s’aidant de la question 2., déterminer alors le signe de C(a)C(b).\mathrm { C } ( a ) - \mathrm { C } ( b ).

e. Conclure.

4. En effectuant les mêmes raisonnements que dans la question 3., déterminer les variations de la fonction ff sur l’intervalle [0;+[.[ 0\:; + \infty [.

49
GEOGEBRA
[Représenter.]
Dans un repère (O;I,J),( \mathrm { O }; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), on considère un point A\text{A} fixé qui n’appartient pas à l’axe des abscisses (OI).(\text{OI}). On veut représenter l’ensemble des points M\text{M} de coordonnées (xM;yM) \left( x _ { \mathrm { M } }\:; y _ { \mathrm { M } } \right) situés à égale distance du point A\text{A} et de la droite (OI).(\text{OI}). La distance de M\text{M} à (OI)(\text{OI}) est définie par la longueur MH\text{MH}H\text{H} est le projeté orthogonal de M\text{M} sur (OI).(\text{OI}).
1. a. Justifier que ( OI)(MH).\mathrm { OI } ) \perp ( \mathrm { MH } ).

b. Quelles sont les coordonnées du point H?\text{H}\:?

2. Justifier que le point M\text{M} appartient à la médiatrice du segment [AH].[\text{AH}].

3. Réaliser alors la construction suivante avec GeoGebra :
a. placer le point A\text{A} de coordonnées (1;1);(1\:; 1)\:;
b. placer un point H\text{H} libre sur l’axe des abscisses ;
c. construire le point M\text{M} en utilisant les questions 1. et 2. ;
d. afficher la trace du point M\text{M} et déplacer le point H\text{H} le long de l’axe des abscisses. Quelle courbe semble-t-on obtenir ?


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50
[Chercher.] ◉◉
Ranger les nombres suivants par ordre croissant.
3;53;π;3,8;0,1287\sqrt { 3 }\:; \sqrt { \dfrac { 5 } { 3 } }\:; \sqrt { \pi } \:; \sqrt { 3\text{,}8 }\:; \sqrt { 0\text{,}1287 }

51
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner un encadrement de x.\sqrt { x }.
1. 1<x<21 \lt x \lt 2

2. 4x<124 \leqslant x \lt 12

3. 54x<165 \leqslant 4 x \lt 16

4. 1,44<xπ2+2π+11\text{,}44 \lt x \leqslant \pi ^ { 2 } + 2 \pi + 1

52
[Calculer.] ◉◉◉
Écrire les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.
1. 232\dfrac { 2 } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } }

2. 2573\dfrac { \sqrt { 2 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 3 } }

3. 1+231+2\dfrac { 1 + 2 \sqrt { 3 } } { 1 + \sqrt { 2 } }

4. 522+π+1\dfrac { 5 - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { \pi + 1 } }

5. 2356\dfrac { 2 - 3 \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 } }

6. 1+5232\dfrac { 1 + 5 \sqrt { 2 } } { 3 \sqrt { 2 } }


53
[Raisonner.]
Soient aa et bb deux réels strictement positifs. Montrer que les réels suivants ont le même signe.
1. 9a9 - a et 3a3 - \sqrt { a }

2. b5b - 5 et b5\sqrt { b } - \sqrt { 5 }

3. bab - a et ba\sqrt { b } - \sqrt { a }

54
[Représenter.]
On considère un carré ABCD\text{ABCD} d’aire x>0.x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction racine carrée sur ]0;+[] 0\:; + \infty [ avec une approche géométrique.

1. Exprimer la longueur AB\text{AB} en fonction de x.x.

2. Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs tels que a<b.a \lt b. La longueur AB\text{AB} est-elle plus grande lorsque x=ax = a ou lorsque x=b?x = b\:?

3. Retrouver le sens de variation de la fonction racine carrée sur ]0;+[.] 0\:; + \infty [.

55
DÉMO
[Raisonner.]
On cherche à déterminer les variations de la fonction racine carrée, notée R,\text{R}, sur son ensemble de définition.
1. Rappeler l’ensemble de définition de la fonction R.\text{R}.

2. On considère deux réels aa et bb tels que 0a<b.0 \leqslant a \lt b. On cherche à comparer R(a)\text{R}(a) et R(b).\text{R}(b) .
a. Démontrer que R(b)R(a)=bab+a. \mathrm { R } ( b ) - \mathrm { R } ( a ) = \dfrac { b - a } { \sqrt { b } + \sqrt { a } }.

b. Étudier alors le signe de cette différence.

c. En déduire une comparaison entre a\sqrt { a } et b\sqrt { b } et conclure.
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