Fonction carré, fonction racine carrée

31

Parmi les quatre fonctions de référence : 1. Citer une fonction paire.

2. Citer une fonction positive.

3. Citer une fonction dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine d'un repère orthonormé.

4. Citer une fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }.$

32

Parmi les quatre fonctions de référence : 1. Citer une fonction croissante sur son ensemble de définition.

2. Citer une fonction non monotone sur $\mathbb{R}.$

3. Citer une fonction qui n'est pas définie sur $\mathbb{R}.$

35

Marion et Lilian discutent. Lilian prétend que la valeur de l'aire (en m²) d'un carré est toujours supérieure à la valeur de la longueur des côtés (en m). Marion, elle, prétend que ce n'est pas toujours vrai. Qui de Marion ou Lilian a raison ? Justifier.

38

[Calculer.]
1. a. Développer et simplifier $(\sqrt{5}-7{)}^2.$

Insérer une formule mathématique

b. En déduire les antécédents du nombre réel $54-14\sqrt{5}$ par la fonction carré.

Insérer une formule mathématique

2. Le nombre $3+\sqrt{6}$ est-il un antécédent de $15+3\sqrt{6}$ par la fonction carré ?

Insérer une formule mathématique

37

[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse. Dans le cas où l'affirmation est fausse, rectifier l'affirmation pour qu'elle soit vraie.
1. L'image de $-5$ par la fonction carré est $-25.$

2. L'image de $4$ par la fonction carré est $2.$

3. Les solutions de l'équation $x^2=5$ sont $-\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}.$

4. Les antécédents de $-5$ par la fonction carré sont $-\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}.$

5. Si $x=3,$ alors $x^2=9.$

6. Si $x^2=9,$ alors $x=3.$

40

[Chercher.]
Sans faire de calcul, ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : ${\left(\frac{1}{7}\right)}^2;3,14^2;(-5{)}^2;{\pi }^2;(-1{)}^2.$

41

[Chercher.]
Une des affirmations suivantes correspond à la fonction carré : laquelle ? Quelle est celle qui correspond à la fonction racine carrée ?
1. Ma courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction carré

Fonction racine carrée

Ni l'une, ni l'autre
2. Je suis une fonction impaire strictement croissante sur $\mathbb{R}.$

Fonction carré

Fonction racine carrée

Ni l'une, ni l'autre
3. Je ne suis pas définie en $x=-2.$

Fonction carré

Fonction racine carrée

Ni l'une, ni l'autre

42

[Raisonner.]
Placer les nombres suivants en face de leur carré, sans effectuer aucun calcul.

44

[Représenter.]
$x$ est un réel tel que $-5⩽x⩽3.$
1. Dresser le tableau de variations de la fonction carré sur l'intervalle $[-5;3].$

2. En déduire les extremums de $f$ sur l'intervalle $[-5;3].$

3. Donner un encadrement de $x^2.$

45

[Représenter.]
$x$ est un réel tel que $-4⩽x⩽6.$
Peut-on affirmer que $16⩽x^2⩽36?$ Justifier précisément.

Insérer une formule mathématique

47

[Représenter.]
On considère un carré $\text{ABCD}$ de côté $x>0.$ Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction carré sur $]0;+\infty [$ avec une approche géométrique.
1. Exprimer l'aire du carré $\text{ABCD}$ en fonction de $x.$

2. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $a<b.$ L'aire du carré $\text{ABCD}$ est-elle plus grande lorsque $x=a$ ou lorsque $x=b?$

3. Retrouver le sens de variation de la fonction carré sur $]0;+\infty [.$

50

[Chercher.]
Ranger les nombres suivants par ordre croissant.
$\sqrt{3};\sqrt{\frac{5}{3}};\sqrt{\pi };\sqrt{3\text{,}8};\sqrt{0\text{,}1287}$

51

[Calculer.]
Dans chaque cas, donner un encadrement de $\sqrt{x}.$
1. $1<x<2$

Insérer une formule mathématique

2. $4⩽x<12$

Insérer une formule mathématique

3. $5⩽4x<16$

Insérer une formule mathématique

4. $1\text{,}44<x⩽{\pi }^2+2\pi +1$

Insérer une formule mathématique

52

[Calculer.]
Écrire les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.
1. $\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

2. $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$

3. $\frac{1+2\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}$

4. $\frac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{\pi +1}}$

5. $\frac{2-3\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

6. $\frac{1+5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$

53

[Raisonner.]
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Montrer que les réels suivants ont le même signe.
1. $9-a$ et $3-\sqrt{a}$

2. $b-5$ et $\sqrt{b}-\sqrt{5}$

3. $b-a$ et $\sqrt{b}-\sqrt{a}$

54

[Représenter.]
On considère un carré $\text{ABCD}$ d'aire $x>0.$ Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction racine carrée sur $]0;+\infty [$ avec une approche géométrique.

1. Exprimer la longueur $\text{AB}$ en fonction de $x.$

2. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs tels que $a<b.$ La longueur $\text{AB}$ est-elle plus grande lorsque $x=a$ ou lorsque $x=b?$

3. Retrouver le sens de variation de la fonction racine carrée sur $]0;+\infty [.$