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Chapitre 4
Entrainement 1

Fonction carré, fonction racine carrée

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Exercices FLASH

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31
Parmi les quatre fonctions de référence : 1. Citer une fonction paire.

2. Citer une fonction positive.

3. Citer une fonction dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine d'un repère orthonormé.

4. Citer une fonction définie sur \mathbb { R } ^ { * }.
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32
Parmi les quatre fonctions de référence : 1. Citer une fonction croissante sur son ensemble de définition.

2. Citer une fonction non monotone sur \mathbb { R }.

3. Citer une fonction qui n'est pas définie sur \mathbb { R }.
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33
Pour chaque fonction de référence, donner le nombre d'antécédents que possèdent les nombres suivants, puis les déterminer.
1. Le réel 1

2. Le réel 8

3. Le réel 0

4. Le réel -27

5. Le réel \dfrac { 1 } { 4 }

6. Le réel 1 + a, si a \gt -1
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34
Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes.
Fonctions de référence - Questions Flash
1. x ^ { 2 } = 9

2. x ^ { 2 } \leqslant 9

3. \dfrac { 1 } { x } \leqslant - \dfrac { 1 } { 2 }

4. \dfrac { 1 } { x } \leqslant 1
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35
Marion et Lilian discutent. Lilian prétend que la valeur de l'aire (en m2) d'un carré est toujours supérieure à la valeur de la longueur des côtés (en m). Marion, elle, prétend que ce n'est pas toujours vrai. Qui de Marion ou Lilian a raison ? Justifier.
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36
Résoudre dans \mathbb { R } ^ { + } et sans calcul les inéquations suivantes.
1. x ^ { 2 } \gt x

2. x ^ { 3 } \lt x ^ { 2 }

3. x \gt x ^ { 3 }

4. ( 1 + x ) ^ { 2 } \lt ( 1 + x ) ^ { 3 }
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Exercices d'entraînement

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
40
 ;
50
 ;
57
 ;
59
 ;
67
 ;
76
 et
80
Parcours 2 : exercices
43
 ;
60
 ;
62
 ;
68
 ;
74
 ;
79
 et
86
Parcours 3 : exercices
48
 ;
52
 ;
65
 ;
72
 ;
85
 ;
88
 et
91
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38
[Calculer.]
1. a. Développer et simplifier ( \sqrt { 5 } - 7 ) ^ { 2 }.

b. En déduire les antécédents du nombre réel 54 - 14 \sqrt { 5 } par la fonction carré.

2. Le nombre 3 + \sqrt { 6 } est-il un antécédent de 15 + 3 \sqrt { 6 } par la fonction carré ?
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37
[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse. Dans le cas où l'affirmation est fausse, rectifier l'affirmation pour qu'elle soit vraie.
1. L'image de -5 par la fonction carré est -25.

2. L'image de 4 par la fonction carré est 2.

3. Les solutions de l'équation x^2 = 5 sont - \sqrt { 5 } et \sqrt { 5 }.

4. Les antécédents de -5 par la fonction carré sont - \sqrt { 5 } et \sqrt { 5 }.

5. Si x = 3, alors x^2 = 9.

6. Si x^2 = 9, alors x = 3.
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39
[Chercher.]
f est la fonction carré définie sur \mathbb { R }. Sans effectuer de calcul, compléter le tableau de valeurs suivant.

 x-13,8-5,364,896-7,50
5,36
-4,896
 f(x)190,44
23,9708256,25
190,4428,729656,25
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40
[Chercher.]

Sans faire de calcul, ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : \left( \dfrac { 1 } { 7 } \right) ^ { 2 }\: ; 3{,}14 ^ { 2 }\: ; ( - 5 ) ^ { 2 }\: ; \pi ^ { 2 }\: ; ( - 1 ) ^ { 2 }.
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41
[Chercher.]
Une des affirmations suivantes correspond à la fonction carré : laquelle ? Quelle est celle qui correspond à la fonction racine carrée ?
1. Ma courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction carré
Fonction racine carrée
Ni l'une, ni l'autre
2. Je suis une fonction impaire strictement croissante sur \mathbb { R }.
Fonction carré
Fonction racine carrée
Ni l'une, ni l'autre
3. Je ne suis pas définie en x = -2 .
Fonction carré
Fonction racine carrée
Ni l'une, ni l'autre
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42
[Raisonner.]
Placer les nombres suivants en face de leur carré, sans effectuer aucun calcul.
8\text{,}1225 :

4 :

1\text{,}7689 :

4\text{,}7961 :

2\text{,}9584 :
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43
[Raisonner.]

x est un nombre réel.

1. Si {3 \lt x \leqslant 7},
déterminer un encadrement de :
a. x^2
b. 8x^2
c. x^2 + 3
2. Si {-4 \leqslant x \lt -1} ,
déterminer un encadrement de :
a. x^2
b. 3x^2 + 4
c. -x^2 + 3
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44
[Représenter.]
x est un réel tel que - 5 \leqslant x \leqslant 3.
1. Dresser le tableau de variations de la fonction carré sur l'intervalle [ - 5\: ; 3 ].
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. En déduire les extremums de f sur l'intervalle [ - 5\: ; 3 ].

3. Donner un encadrement de x^2.
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45
[Représenter.]
x est un réel tel que - 4 \leqslant x \leqslant 6.
Peut-on affirmer que 16 \leqslant x ^ { 2 } \leqslant 36 ? Justifier précisément.

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47
[Représenter.]
On considère un carré \text{ABCD} de côté x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction carré sur ] 0\: ; + \infty [ avec une approche géométrique.
1. Exprimer l'aire du carré \text{ABCD} en fonction de x.

2. Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a \lt b. L'aire du carré \text{ABCD} est-elle plus grande lorsque x = a ou lorsque x = b ?

3. Retrouver le sens de variation de la fonction carré sur ] 0\: ; + \infty [.
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46
[Chercher.]
Pour chaque cas, donner un encadrement de x^2, ou une inégalité vérifiée par x^2.
1. - 2 \lt x \leqslant 7

2. 4 \leqslant x \lt 7

3. x \gt - 3

4. x \lt - 2

5. -6 \leqslant x \lt 3

6. -11 \lt x \leqslant -2
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48
Démo
 [Raisonner.]

On cherche à déterminer les variations de la fonction carré, notée \text{C}, sur son ensemble de définition.
1. Rappeler l'ensemble de définition de la fonction \text{C}.

2. Pour tous réels a et b, donner l'expression factorisée de a^2 - b^2.

3. On étudie les variations de \text{C} sur l'intervalle ] - \infty\:; 0 ].
On considère alors deux réels a et b tels que a \lt b \leqslant 0. On cherche à comparer \mathrm { C } ( a ) et \mathrm { C } ( b ).
a. Quel est le signe de a + b\:?

b. Quel est le signe de a - b\:?

c. En déduire alors le signe de ( a - b ) ( a + b ).

d. En s'aidant de la question 2., déterminer alors le signe de \mathrm { C } ( a ) - \mathrm { C } ( b ).

e. Conclure.

4. En effectuant les mêmes raisonnements que dans la question 3., déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle [ 0\:; + \infty [.
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49
GeoGebra
[Représenter.]
Dans un repère ( \mathrm { O }; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), on considère un point \text{A} fixé qui n'appartient pas à l'axe des abscisses (\text{OI}). On veut représenter l'ensemble des points \text{M} de coordonnées \left( x _ { \mathrm { M } }\:; y _ { \mathrm { M } } \right) situés à égale distance du point \text{A} et de la droite (\text{OI}). La distance de \text{M} à (\text{OI}) est définie par la longueur \text{MH} où \text{H} est le projeté orthogonal de \text{M} sur (\text{OI}).
1. a. Justifier que ( \mathrm { OI } ) \perp ( \mathrm { MH } ).

b. Quelles sont les coordonnées du point \text{H}\:?

2. Justifier que le point \text{M} appartient à la médiatrice du segment [\text{AH}].

3. Réaliser alors la construction suivante avec GeoGebra :
a. placer le point \text{A} de coordonnées (1\:; 1)\:;
b. placer un point \text{H} libre sur l'axe des abscisses ;
c. construire le point \text{M} en utilisant les questions 1. et 2. ;

d. afficher la trace du point \text{M} et déplacer le point \text{H} le long de l'axe des abscisses. Quelle courbe semble-t-on obtenir ?
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50
[Chercher.]

Ranger les nombres suivants par ordre croissant.
\sqrt { 3 }\:; \sqrt { \dfrac { 5 } { 3 } }\:; \sqrt { \pi } \:; \sqrt { 3\text{,}8 }\:; \sqrt { 0\text{,}1287 }
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51
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner un encadrement de \sqrt { x }.
1. 1 \lt x \lt 2

2. 4 \leqslant x \lt 12

3. 5 \leqslant 4 x \lt 16

4. 1\text{,}44 \lt x \leqslant \pi ^ { 2 } + 2 \pi + 1
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52
[Calculer.]

Écrire les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.
1. \dfrac { 2 } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } }

2. \dfrac { \sqrt { 2 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 3 } }

3. \dfrac { 1 + 2 \sqrt { 3 } } { 1 + \sqrt { 2 } }

4. \dfrac { 5 - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { \pi + 1 } }

5. \dfrac { 2 - 3 \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 } }

6. \dfrac { 1 + 5 \sqrt { 2 } } { 3 \sqrt { 2 } }

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53
[Raisonner.]
Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que les réels suivants ont le même signe.
1. 9 - a et 3 - \sqrt { a }

2. b - 5 et \sqrt { b } - \sqrt { 5 }

3. b - a et \sqrt { b } - \sqrt { a }
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54
[Représenter.]
On considère un carré \text{ABCD} d'aire x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction racine carrée sur ] 0\:; + \infty [ avec une approche géométrique.

1. Exprimer la longueur \text{AB} en fonction de x.

2. Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a \lt b. La longueur \text{AB} est-elle plus grande lorsque x = a ou lorsque x = b\:?

3. Retrouver le sens de variation de la fonction racine carrée sur ] 0\:; + \infty [.
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55
Démo
 [Raisonner.]
On cherche à déterminer les variations de la fonction racine carrée, notée \text{R}, sur son ensemble de définition.
1. Rappeler l'ensemble de définition de la fonction \text{R}.

2. On considère deux réels a et b tels que 0 \leqslant a \lt b. On cherche à comparer \text{R}(a) et \text{R}(b) .
a. Démontrer que \mathrm { R } ( b ) - \mathrm { R } ( a ) = \dfrac { b - a } { \sqrt { b } + \sqrt { a } }.

b. Étudier alors le signe de cette différence.

c. En déduire une comparaison entre \sqrt { a } et \sqrt { b } et conclure.
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