Entrainement 2


Fonction inverse, fonction cube





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 50 ; 57 ; 59 ; 67 ; 76 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 60 ; 62 ; 68 ; 74 ; 79 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 52 ; 65 ; 72 ; 85 ; 88 et 91

70
[Calculer.]
1. Vérifier que (1+35)3=136+1445.( 1 + 3 \sqrt { 5 } ) ^ { 3 } = 136 + 144 \sqrt { 5 }.

2. En déduire alors la valeur de la racine cubique de 136+1445.136 + 144 \sqrt { 5 }.

66
[Raisonner.]
Soient aRa \in \mathbb { R } ^ { * } et bRb \in \mathbb { R } ^ { * } et ff la fonction inverse. Le but est de déterminer les couples de valeurs (a;b)(a\: ; b) qui vérifient l’égalité (F)(\text{F}) suivante : f(a+b)=f(a)×f(b).f ( a + b ) = f ( a ) \times f ( b ).
1. Montrer que les couples (4;43)\left( 4\:; \dfrac { 4 } { 3 } \right)et (4;45)\left(-4\:; \dfrac { 4 } { 5 } \right) satisfont (F).(\text{F}).

2. Déterminer aa pour que le couple (a;3)(a\:; 3) vérifie (F).(\text{F}).

3. Montrer qu’il n’existe pas de couple (1;b)(1\:; b) vérifiant (F).(\text{F}).

4. Déterminer tous les couples (a;b)(a\:; b) vérifiant (F).(\text{F}).


Remarque

La fonction exponentielle étudiée en 1re vérifie f(a+b)=f(a)×f(b)f ( a + b ) = f ( a ) \times f ( b ) pour tous réels aa et b.b.


71
DÉMO
[Raisonner.]
On s’intéresse aux variations de la fonction cube définie sur R\mathbb { R } par c(x)=x3.c(x) = x^3 .
1. Démontrer que, pour tous réels aa et b,b , b3a3=(ba)(a2+ab+b2).b ^ { 3 } - a ^ { 3 } = ( b - a ) \left( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right).

2. a. Démontrer que, pour tous réels aa et bb positifs tels que 0a<b,0 \leqslant a \lt b , b3a3>0. b ^ { 3 } - a ^ { 3 }\gt 0.

b. En déduire que la fonction cc est strictement croissante sur [0;+[. [ 0\:; + \infty [.

3. a. Démontrer que, pour tous réels aa et bb strictement négatifs tels que a<b0,a \lt b \leqslant 0 , b3a3>0.b ^ { 3 } - a ^ { 3 } \gt 0.

b. Que peut-on en déduire pour la fonction c?c\:?

4. Que se passe-t-il dans le cas où aa et bb sont de signes contraires ?

5. Conclure.


57
[Calculer.] ◉◉
Donner l’image par la fonction inverse i:x1x i : x \mapsto \dfrac { 1 } { x } des nombres suivants.
1. 2+32 + 3

2. 2×32 \times 3

3. 232 - 3

4. 2×(3)2 \times (-3)

5. 23\dfrac { 2 } { 3 }

6. 23\dfrac { 2 } { -3 }

59
[Chercher.] ◉◉
Ordonner les inverses 1x \dfrac { 1 } { x } des nombres xx suivants en justifiant votre réponse.
0,3;1;47;1;49;1,04;- 0\text{,}3\:; 1\:; \dfrac { 4 } { 7 }\:; - 1 ; \dfrac { 4 } { 9 } \:; - 1\text{,}04\:;47;0,03;54;1,4;114 \dfrac { 4 } { 7 } \:; - 0\text{,}03\:; \dfrac { 5 } { 4 }\:; - 1\text{,}4\:; \dfrac { 11 } { 4 }

65
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient aRa \in \mathbb { R } ^ { * } et bRb \in \mathbb { R } ^ { * } et ff la fonction inverse. Le but est de déterminer les couples (a;b)(a ; b) vérifiant l’égalité (E)(\text{E}) suivante : f(a×b)=f(a)+f(b).f ( a \times b ) = f ( a ) + f ( b ).
1. Montrer que les couples (14;34)\left( \dfrac { 1 } { 4 }\:; \dfrac { 3 } { 4 } \right)et (4;3)(4\:; - 3) satisfont (E).(\text{E}).

2. Déterminer bb pour que le couple (3;b)(3\:; b) vérifie (E).(\text{E}).

3. Montrer qu’il n’existe pas de couple (a;1)(a\:; 1) vérifiant (E).(\text{E}).

4. Déterminer tous les couples (a;b)(a\:; b) vérifiant (E).(\text{E}).


Remarque

Les fonctions logarithmes vérifient f(a×b)=f(a)+f(b)f ( a \times b ) = f ( a ) + f ( b ) pour tous réels aa et bb strictement positifs.


68
[Chercher.] ◉◉
Déterminer un encadrement de x3x^3 ou une inégalité que vérifie x3x^3 dans chacun des cas suivants.
1. 3x<2- 3 \leqslant x \lt 2

2. 2<2x1- \sqrt { 2 } \lt 2 x \leqslant 1

3. x56x \geqslant \dfrac { 5 } { 6 }

4. x<532x \lt \dfrac { \sqrt [ 3 ] { 5 } } { 2 }


62
[Chercher.] ◉◉
Déterminer le plus petit ensemble qui contient l’inverse de xx dans les cas suivants.
1. 27<x58\dfrac { 2 } { 7 } \lt x \leqslant \dfrac { 5 } { 8 }

2. 32>x53- \dfrac { 3 } { 2 } \gt x \geqslant - \dfrac { 5 } { 3 }

3. 7<x7 \lt x

4. 72x>0\dfrac { 7 } { 2 } \geqslant x \gt 0

5. 5x<0- 5 \leqslant x \lt 0

6. 16x- \dfrac { 1 } { 6 } \leqslant x


64
DÉMO
[Raisonner.]
On cherche à déterminer les variations de la fonction inverse, notée I,\text{I}, sur son ensemble de définition.
1. Rappeler l’ensemble de définition de la fonction I.\text{I}.

2. Démontrer que, pour tous réels a et bb non nuls, 1a1b=baab.\dfrac { 1 } { a } - \dfrac { 1 } { b } = \dfrac { b - a } { a b }.

3. On étudie d’abord les variations de I\text{I} sur l’intervalle ];0[.] - \infty\:; 0[.
On considère deux réels aa et bb tels que a<b<0.a \lt b \lt 0.
a. En utilisant la question 2., étudier le signe de 1a1b.\dfrac { 1 } { a } - \dfrac { 1 } { b }.

b. Que peut-on en déduire pour la fonction I\text{I} sur ];0[?] - \infty\:; 0 [\:?

4. Déterminer les variations de la fonction I\text{I} sur ]0;+[.] 0\:; + \infty [.


67
[Chercher.] ◉◉
Sans calculatrice, ranger les nombres suivants par ordre croissant.
1.
  • (3)3( - 3 ) ^ { 3 }
  • π3 \pi ^ { 3 }
  • 33 \sqrt { 3 } ^ { 3 }
  • (22)3( \sqrt { 2 } - 2 ) ^ { 3 }
  • 00
<\lt
<\lt
<\lt
<\lt

2.
  • π38- \dfrac { \pi ^ { 3 } } { 8 }
  • 555 \sqrt { 5 }
  • 8 8
  • 278- \dfrac { 27 } { 8 }
  • 64125- \dfrac { 64 } { 125 }
  • 23\sqrt { 2 } ^ { 3 }
<\lt
<\lt
<\lt
<\lt
<\lt


63
[Représenter.]
On considère un rectangle ABCD \text{ABCD} d’aire fixe égale à 11 tel que AB=x\text{AB} = x avec x>0.x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction inverse sur ]0;+[] 0\:; + \infty [ avec une approche géométrique.
1. Exprimer la longueur BC\text{BC} en fonction de x.x .

2. On considère deux réels strictement positifs aa et bb tels que a<b.a \lt b . La longueur BC\text{BC} est-elle plus grande lorsque x=ax = a ou x=b?x = b\:?

3. Retrouver le sens de variation de la fonction inverse sur ]0;+[.] 0\:; + \infty [.

56
[Chercher.]
Une des affirmations suivantes correspond à la fonction inverse : laquelle ? Qu’elle est celle qui correspond à la fonction cube ?
1. Ma courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine mais je ne suis pas définie en x=0.x = 0.
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre

2. Le point de coordonnées (3;9)(-3\: ; 9) appartient à ma courbe représentative.
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre

3. Je suis la fonction de référence dont la courbe représentative est située sous celle des autres sur [0;1].[0\: ; 1].
Fonction inverse
Fonction cube
Ni l'une, ni l'autre


69
[Calculer.]
Déterminer les racines cubiques des nombres suivants (on simplifiera les expressions au maximum).
1. 64-64

2. 216\sqrt { 216 }

3. 278\dfrac { 27 } { 8 }

4. 777 \sqrt { 7 }

5. 1616

6. 64π3125\dfrac { 64 \pi ^ { 3 } } { 125 }


61
[Raisonner.]
Déterminer le ou les intervalles pouvant contenir l’inverse de xx dans la liste suivante.
1. Si 3<x<43 \lt x \lt 4 alors son inverse appartient à :
a. ];0[] - \infty\:; 0 [
b. ]0;+[] 0\:; + \infty[

c. ]14;13[\left] \dfrac { 1 } { 4 }\:; \dfrac { 1 } { 3 } \right[

d. ]14;13[\left] - \dfrac { 1 } { 4 }\:; - \dfrac { 1 } { 3 } \right[

e. ]4;3[] - 4\:; -3 [
f. ]4;3]] - 4\:; 3 ]

2. Si 12<x<15- \dfrac { 1 } { 2 } \lt x \lt - \dfrac { 1 } { 5 } alors son inverse appartient à :
a. ]5;2[] - 5\:; - 2 [
b. ]2;5[] 2\:; 5 [
c. ];0]] - \infty\:; 0 ]
d. ]0;+[] 0\:; + \infty [
e. [0,5;0,2][ - 0\text{,}5\:; - 0\text{,}2 ]

f. ]5;12]\left] - 5\:; \dfrac { 1 } { 2 } \right]

3. Si 1x10- 1 \geqslant x \geqslant - 10 alors son inverse appartient à :
a. ];1[] - \infty\:; - 1 [
b. ]10;+[] - 10\:; + \infty [
c. [1;0,1][ - 1\:; - 0,1 ]
d. [1;0,1[[ - 1\:; - 0,1 [
e. ]10;1[] - 10\:; - 1 [
f. ]1;10]] - 1\:; 10 ]

4. Si 32>x23\dfrac { 3 } { 2 } \gt x \geqslant \dfrac { 2 } { 3 } alors son inverse appartient à :
a. ]2;3[] - 2\:; 3 [

b. ]23;1,5]\left] \dfrac { 2 } { 3 }\:; 1\text{,}5 \right]

c. ];32]\left] - \infty\:; \dfrac { 3 } { 2 } \right]

d. [23;+[\left[ \dfrac { 2 } { 3 } ; + \infty \right[

e. ]0;1]] 0\:; 1 ]

f. [32;23[\left[ - \dfrac { 3 } { 2 }\:; - \dfrac { 2 } { 3 } \right[


58
[Calculer.]
Donner l’inverse des nombres suivants.
1. 12+13\dfrac { - 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 }

2. 1213\dfrac { - 1 } { 2 } - \dfrac { 1 } { 3 }

3. 12×13\dfrac { - 1 } { 2 } \times \dfrac { 1 } { 3 }

4. 12×13\dfrac { - 1 } { 2 } \times \dfrac { - 1 } { 3 }

5. 1213\dfrac { \dfrac { - 1 } { 2 } } { \dfrac { 1 } { 3 } }

6. 1213\dfrac { \dfrac { - 1 } { 2 } } { \dfrac { - 1 } { 3 } }

72
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tous réels aa et b,b , ab3=a3×b3.\sqrt [ 3 ] { a b } = \sqrt [ 3 ] { a } \times \sqrt [ 3 ] { b }.
1. Démontrer que, pour tous réels aa et b,b , (ab3)3=(a3×b3)3.( \sqrt [ 3 ] { a b } ) ^ { 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { a } \times \sqrt [ 3 ] { b } ) ^ { 3 }.

2. Conclure.

60
[Calculer.] ◉◉
Déterminer un encadrement pour 1x\dfrac { 1 } { x } dans chacun des cas suivants.
1. 1x31 \leqslant x \leqslant 3

2. 12<x6\dfrac { 1 } { 2 } \lt x \leqslant 6

3. 5<x<1- 5 \lt x \lt - 1

4. 2π3x<12\dfrac { 2 \pi } { 3 } \leqslant x \lt 12

5. 1+π4<x116- 1 + \dfrac { \pi } { 4 } \lt x \leqslant - \dfrac { 1 } { 16 }

6. 5π+2x1π+6- \dfrac { 5 } { \pi + 2 } \leqslant x \leqslant - \dfrac { 1 } { \pi + 6 }

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