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Préparer la Première

Fonctions





1

ff est définie sur R\mathbb { R } par f(x)=3x25x+2.f(x) = 3x^2 - 5x + 2 .
1. Déterminer une expression simplifiée en fonction de xx de :
a. f(x1)f(x - 1)

b. f(x+1)f(x + 1)

c. f(x+2)f(x + 2)

2. Étudier le signe de f(x+1)f(x)f(x + 1) - f(x) en fonction de x.x .

4

Montrer que, pour tout réel xx appartenant à [12;+[,\left[ \dfrac { 1 } { 2 }\: ; + \infty \right[, on a : x2x1.x \geqslant \sqrt { 2 x - 1 } .

8

Étudier le signe des fonctions définies sur D\mathcal { D } par :
1. f(x)=5x3f ( x ) = 5 x ^ { 3 } avec D=R.\mathcal { D } = \mathbb { R }.

2. g(x)=5(x3)(x+2)g ( x ) = - 5 ( x - 3 ) ( x + 2 ) avec D=R.\mathcal { D } = \mathbb { R }.

3. h(x)=2x3105xh ( x ) = \dfrac { 2 x - 3 } { 10 - 5 x } avec ];2[]2;+[.] - \infty\:; 2 [ \cup ] 2\:; + \infty [.

4. (x)=(52x)(6x+2)\ell ( x ) = ( 5 - 2 x ) - ( 6 x + 2 ) avec D=R.\mathcal { D } = \mathbb { R }.

5. p(x)=2x+6p ( x ) = - \sqrt { 2 x + 6 } avec D=[3;+[.\mathcal { D } = [ - 3\:; + \infty [.

15

ff est une fonction définie sur ]0;+[] 0\: ; + \infty [ telle que pour tous réels x>0x \gt 0 et y>0,y \gt 0, f(x×y)=f(x)+f(y).f(x \times y) = f(x) + f(y).
1. En posant y=1,y = 1 , justifier que f(1)=0.f(1) = 0 .

2. Démontrer que, pour tout réel x,x , f(x2)=2[f(x)].f(x^2) = 2[f(x)] .

3. Démontrer que, pour tout réel x,x , f(1x)=f(x).f \left( \dfrac { 1 } { x } \right) = - f ( x ).

4. Démontrer que, pour tout réel x>0x \gt 0 et y>0,y \gt 0, on a f(xy)=f(x)f(y).f \left( \dfrac { x } { y } \right) = f ( x ) - f ( y ).


La fonction logarithme népérien dont voici la représentation graphique vérifie cette relation.

Préparer la Première - Fonctions

2

ff et gg sont définies sur N\mathbb { N } par f(n)=2nf(n) = 2^n et g(n)=(13)n.g ( n ) = \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { n }.
Déterminer une expression simplifiée, en fonction de n,n , de f(n+1)f(n) f(n + 1) - f(n) puis de g(n+1)g(n).g(n + 1) - g(n) .

11

On considère les fonctions ff et gg définies sur R \mathbb { R } par : f(x)=x32x+1f ( x ) = x ^ { 3 } - 2 x + 1 et g(x)=4x22x+1.g ( x ) = 4 x ^ { 2 } - 2 x + 1. On note CfC_f et CgC_g les représentations graphiques des fonctions ff et gg dans un repère du plan.
1. À l’aide d’une calculatrice, on obtient l’affichage suivant.

Préparer la Première - Fonctions

a. Conjecturer les coordonnées des points d’intersection des courbes CfC_f et Cg.C_g.

b. Conjecturer la position relative des courbes CfC_f et Cg.C_g.

2. Démontrer les conjectures émises.

12

ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par : f(x)=2(x3)218. f(x) = 2(x - 3)^2 - 18 . CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormé du plan.
1. Déterminer la forme développée puis factorisée de f.f .

2. Étudier la position relative de CfC_f par rapport à l’axe des abscisses.

3. a. Calculer f(0).f(0) .

b. dd est la droite passant par l’origine du repère et le point de coordonnées A(12;6).\mathrm { A } \left( \dfrac { 1 } { 2 } \:; - 6 \right). Déterminer son équation réduite.

c. Étudier la position relative de CfC_f et d.d .


AIDE

Pour étudier la position relative de deux courbes, il faut déterminer une inéquation à résoudre.


10

ff est la fonction définie sur R \mathbb { R } par : f(x)=x3+2x27.f ( x ) = x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 7. On note CfC_{f} sa représentation graphique dans un repère (O;I,J).( \mathrm { O } ; \mathrm { I } , \mathrm { J } ).

Préparer la Première - Fonctions

1. À l’aide du graphique, déterminer l’équation réduite de la droite d.d .

2. a. Conjecturer la position relative de CfC_{f} et dd en fonction des valeurs de x.x .

b. Démontrer ces conjectures.

7

ff est définie sur R \mathbb { R } par f(x)=x32x23x+4.f ( x ) = x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 3 x + 4.

Préparer la Première - Fonctions

On note (E)(\text{E}) l'équation f(x)=0.f(x) = 0 . D’après ce graphique, on observe que l’équation (E)(\text{E}) admet trois solutions : une solution entière et deux autres solutions notées α\alpha et β. \beta.
1. Quelle est la solution entière de (E) ?(\text{E}) ?

2. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10210^{-2} des solutions α\alpha et β. \beta.

3. a. Démontrer que, pour tout réel x,x , f(x)=(x1)(x2x4).f ( x ) = ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - x - 4 \right).

b. Démontrer que, pour tout réel x,x ,
x2x4=(x1172)(x1+172).x ^ { 2 } - x - 4 = \left( x - \dfrac { 1 - \sqrt { 17 } } { 2 } \right) \left( x - \dfrac { 1 + \sqrt { 17 } } { 2 } \right).

c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes des solutions de (E).(\text{E}).

14

ff est une fonction définie sur R\mathbb { R } ne s’annulant jamais sur R\mathbb { R } et vérifiant, pour tous réels xx et y,y , f(x+y)=f(x)×f(y).f(x + y) = f(x) \times f(y).
1. En posant y=0,y = 0 , justifier que f(0)=1.f(0) = 1 .

2. Démontrer que, pour tout réel x,x , f(2x)=[f(x)]2.f(2x) = [f(x)]^2 .

3. Démontrer que, pour tout réel x,x, on a f(x)=1f(x).f ( - x ) = \dfrac { 1 } { f ( x ) }.

4. Démontrer que, pour tout réel xx et y,y , on a f(xy)=f(x)f(y).f ( x - y ) = \dfrac { f ( x ) } { f ( y ) }.


En classe de première, on démontre qu’il existe une fonction vérifiant ces conditions : la fonction exponentielle.

13

ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par : f(x)=3(x1)2+27. f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 27. CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormé du plan.
1. Déterminer la forme développée puis factorisée de f.f .

2. À l’aide d’une calculatrice :
a. Étudier les variations de ff sur R\mathbb { R } puis dresser son tableau de variations.

Couleurs
Formes
Dessinez ici


b. Déterminer l’extremum de ff sur R.\mathbb { R }.

3. Étudier le signe de ff sur R.\mathbb { R }.

4. dd est la droite d’équation y=6x+24.y = 6x + 24 . Étudier la position relative de CfC_f et d.d .

5

On considère un réel xx tel que 3x<4.- 3 \leqslant x \lt 4. Déterminer un encadrement de :
1. (x+3)2+2( x + 3 ) ^ { 2 } + 2

2. 13x21 - 3 x ^ { 2 }

3. 7x327 x ^ { 3 } - 2

4. x+32\sqrt { x + 3 } - 2

5. 63(x1)26 - 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }

9

1. ff est la fonction définie sur R \mathbb { R } par f(x)=x2+4x5.f ( x ) = x ^ { 2 } + 4 x - 5.
a. Démontrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=(x+2)29.f ( x ) = ( x + 2 ) ^ { 2 } - 9.

b. En déduire la forme factorisée de f.f .

2. gg est la fonction définie sur R \mathbb { R } par g(x)=3(x1)212.g(x) = 3(x - 1)^2 - 12 . Déterminer la forme développée puis la forme factorisée de g.g .

3. hh est la fonction définie sur R \mathbb { R } par h(x)=15(x3)25.h ( x ) = \dfrac { 1 } { 5 } ( x - 3 ) ^ { 2 } - 5. Déterminer la forme développée puis la forme factorisée de h.h .

3

Étudier la parité des fonctions définies sur R\mathbb { R } par :
1.f(x)=5x2+6 f ( x ) = - 5 x ^ { 2 } + 6

2. g(x)=2x35x2g ( x ) = 2 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 }

3. h(x)=4xx2+1h ( x ) = \dfrac { - 4 x } { x ^ { 2 } + 1 }

6

1. a. Résoudre dans R\mathbb { R } l’équation 2x218=0.2x^2 - 18 = 0 .

b. En déduire les solutions de l’équation 2x418=0.2x^4 - 18 = 0 .

2. a. Factoriser 2x2182x^2 - 18 pour xR.x \in \mathbb { R }.

b. En déduire le tableau de signes de la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=2x218.f(x)=2x^2 - 18.

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c. Résoudre dans R\mathbb { R } l’inéquation 2x4180.2x^4 - 18 \geqslant 0 .

16

1. ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par : f(x)=x3+4x23x2.f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 2 .
a. Vérifier que f(1)=0.f(1) = 0 . On dit que 11 est une racine évidente de f, f , c’est-à-dire une solution simple de l’équation f(x)=0.f(x) = 0 .

b. On considère trois réels a,a , bb et c.c.
Justifier que (x1)(ax2+bx+c)=ax3+(ba)x2+(cb)xc.( x - 1 ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right) = a x ^ { 3 } + ( b - a ) x ^ { 2 } + ( c - b ) x - c.

c. Pour déterminer a,a , bb et cc tels que f(x)=(x1)(ax2+bx+c)f(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c) , on procède à une identification des coefficients en écrivant le système suivant :
{a=1ba=4cb=3c=2\left\{ \begin{array} { c } { a = 1 } \\ { b - a = 4 } \\ { c - b = - 3 } \\ { - c = - 2 } \end{array} \right.
Résoudre ce système puis en déduire une forme factorisée de f.f .

2. gg est la fonction définie sur R\mathbb { R } par : g(x)=x3+2x2+x2.g ( x ) = - x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x - 2. En utilisant la méthode précédente, déterminer les réels a,a, b,b, cc et dd tels que g(x)=(xd)(ax2+bx+c).g ( x ) = ( x - d ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right).
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