Fonctions

a. $f(x-1)$

b. $f(x+1)$

1. $(x+3{)}^2+2$

2. $1-3x^2$

3. $7x^3-2$

4. $\sqrt{x+3}-2$

5. $6-3(x-1{)}^2$

a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2-18=0.$

b. En déduire les solutions de l'équation $2x^4-18=0.$

2. a. Factoriser $2x^2-18$ pour $x\in \mathbb{R}.$

b. En déduire le tableau de signes de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-18.$



c. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^4-18⩾0.$

7

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-2x^2-3x+4.$


On note $(\text{E})$ l'équation $f(x)=0.$ D'après ce graphique, on observe que l'équation $(\text{E})$ admet trois solutions : une solution entière et deux autres solutions notées $\alpha$ et $\beta .$

1. Quelle est la solution entière de $(\text{E})?$

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ des solutions $\alpha$ et $\beta .$

3. a. Démontrer que, pour tout réel $x,$ $f(x)=(x-1)\left(x^2-x-4\right).$

b. Démontrer que, pour tout réel $x,$
$x^2-x-4=\left(x-\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right).$

c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes des solutions de $(\text{E}).$

2. a. Conjecturer la position relative de $C_f$ et $d$ en fonction des valeurs de $x.$

b. Démontrer ces conjectures.

1. À l'aide d'une calculatrice, on obtient l'affichage suivant.

a. Conjecturer les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g.$

b. Conjecturer la position relative des courbes $C_f$ et $C_g.$

2. Démontrer les conjectures émises.

1. Déterminer la forme développée puis factorisée de $f.$

2. Étudier la position relative de $C_f$ par rapport à l'axe des abscisses.

3. a. Calculer $f(0).$

b. $d$ est la droite passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $\mathrm{A}\left(\frac{1}{2};-6\right).$ Déterminer son équation réduite.

c. Étudier la position relative de $C_f$ et $d.$

1. Déterminer la forme développée puis factorisée de $f.$

2. À l'aide d'une calculatrice :
a. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser son tableau de variations.

b. Déterminer l'extremum de $f$ sur $\mathbb{R}.$

3. Étudier le signe de $f$ sur $\mathbb{R}.$

4. $d$ est la droite d'équation $y=6x+24.$ Étudier la position relative de $C_f$ et $d.$

1. En posant $y=0,$ justifier que $f(0)=1.$

2. Démontrer que, pour tout réel $x,$ $f(2x)=[f(x){]}^2.$

3. Démontrer que, pour tout réel $x,$ on a $f(-x)=\frac{1}{f(x)}.$

4. Démontrer que, pour tout réel $x$ et $y,$ on a $f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}.$

1. En posant $y=1,$ justifier que $f(1)=0.$

2. Démontrer que, pour tout réel $x,$ $f(x^2)=2[f(x)].$

3. Démontrer que, pour tout réel $x,$ $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x).$

4. Démontrer que, pour tout réel $x>0$ et $y>0,$ on a $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y).$

La fonction logarithme népérien dont voici la représentation graphique vérifie cette relation.

1. $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^3+4x^2-3x-2.$
a. Vérifier que $f(1)=0.$ On dit que $1$ est une racine évidente de $f,$ c'est-à-dire une solution simple de l'équation $f(x)=0.$

b. On considère trois réels $a,$ $b$ et $c.$
Justifier que $(x-1)\left(a{x}^2+bx+c\right)=a{x}^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c.$

c. Pour déterminer $a,$ $b$ et $c$ tels que $f(x)=(x-1)(a{x}^2+bx+c)$, on procède à une identification des coefficients en écrivant le système suivant :
$\{\begin{array}{c}a=1\\ b-a=4\\ c-b=-3\\ -c=-2\end{array}$
Résoudre ce système puis en déduire une forme factorisée de $f.$

2. $g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=-x^3+2x^2+x-2.$ En utilisant la méthode précédente, déterminer les réels $a,$ $b,$ $c$ et $d$ tels que $g(x)=(x-d)\left(a{x}^2+bx+c\right).$