Synthèse





88
[Chercher.] ◉◉◉
Un bricoleur a récupéré deux pieds de deux tables à repasser différentes : le premier a une longueur de 100100 cm et le deuxième de 120120 cm. Il souhaite les assembler pour former les pieds d'une nouvelle table à repasser et, sans réfléchir, il les a assemblés respectivement à 3636 cm et 4949 cm de longueur.
Après réflexion, il appelle xx et f(x)f(x) les longueurs respectives, comme indiquées ci-dessous, des pieds 1 et 2, pour obtenir le parallélisme qui convient pour chaque pied après le découpage.

 Fonction de référence - Synthèse - repassage
Fonction de référence - Synthèse

1. Déduire de l’énoncé les plus grandes valeurs possibles pour xx et f(x).f(x).

2. Montrer que, pour x>0,x \gt 0 , f(x)=1764x.f ( x ) = \dfrac { 1\,764 } { x }.

3. Déduire de 1. et 2. les plus petites valeurs possibles pour xx et f(x).f(x).

4. Pour faciliter le découpage des pieds, le bricoleur veut que les longueurs xx et f(x)f(x) soient égales. Quelle sera la longueur de chacun des pieds ?


83
DÉMO
[Raisonner.]
Soit aR.a \in \mathbb { R }. Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble (E)(\text{E}) des solutions dans R \mathbb { R } de x2ax ^ { 2 } \leqslant a d’inconnue x.x .
1. On suppose que a<0.a \lt 0 .
a. Montrer alors que, pour tout xR,x2>a.x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } \gt a.

b. En déduire que l’ensemble des solutions de l’équation (E)(\text{E}) est vide dans ce cas.

2. On suppose que a=0.a = 0 .
a. Montrer que x=0x = 0 est solution de (E).(\text{E}).

b. Montrer que l’inéquation x2<0x^2 \lt 0 n’a pas de solution.

c. Conclure.

3. On suppose que a>0.a \gt 0 .
a. Résolution sur R.\mathbb { R } ^ { - }.
  • Montrer que si ax0,- \sqrt { a } \leqslant x \leqslant 0, alors xx est solution de (E).(\text{E}).
  • Montrer que si x<a,x \lt - \sqrt { a }, alors xx n'est pas solution de (E).(\text{E}).
  • En déduire l’ensemble des solutions de (E)(\text{E}) sur R.\mathbb { R } ^ { - }.
b. Résolution sur R+.\mathbb { R } ^ { + }.
  • Montrer que si 0xa,0 \leqslant x \leqslant \sqrt { a }, alors xx est solution de (E).(\text{E}).
  • Montrer que si x>a,x \gt \sqrt { a }, alors xx n'est pas solution de (E).(\text{E}).
  • En déduire l’ensemble des solutions de (E)(\text{E}) sur R+.\mathbb { R } ^ { + }.
c. Conclure

87
[Chercher.]
On souhaite réaliser le solide ci-dessous. Celui-ci est composé d’un cube sur lequel on dispose quatre cubes dont les côtés ont une longueur trois fois inférieure à celle des arêtes du gros cube.

Fonction de référence - Synthèse

1. On note xx la longueur (en cm) d’une arête du grand cube.
a. À quel intervalle I\text{I} le réel xx doit-il appartenir ?

b. Déterminer, en fonction de xI,x \in \mathrm { I }, la surface S(x)\text{S}(x) de la face avant du solide.

c. Déterminer, en fonction de xI,x \in \mathrm { I }, le volume V(x)\text{V}(x) du solide.

2. On souhaite que la surface de la face avant soit de 4444 cm2. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ? Quel est alors le volume du solide ?

3. On souhaite à présent que le volume du solide soit égal à 8378\dfrac { 837 } { 8 } cm3.
a. Quelle doit être la longueur des arêtes du grand cube ?

b. Quelle est alors la surface de la face avant du solide ?

4. Tracer les courbes représentatives CS C_ { \mathrm { S } } et CVC _ { \mathrm { V } } de S\text{S} et de V\text{V} sur R+.\mathbb { R } ^ { + }. Semble-t-il exister une valeur de xx non nulle pour laquelle S(x)=V(x)?\text{S}(x) = \text{V}(x)\:? Si oui, la déterminer.

Lancer le module Geogebra

5. Conjecturer la position relative des courbes CS C_ { \mathrm { S } } et CV.C _ { \mathrm { V } }.

Club de Maths


94
APPROFONDISSEMENT

Cet exercice utilise des formules du chapitre 5. Dans un repère orthonormé (O;I,J),( \mathrm { O }; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), on considère les points M(a;b)\text{M}(a\:; b) et N(b;a)\text{N}(b\:; a)aa et bb sont des réels positifs ou nuls. dd est la droite d’équation y=x.y = x.
1. Soit A\text{A} le milieu de [MN].[\text{MN}].
a. Justifier que A\text{A} appartient à la médiatrice de [MN].[\text{MN}].

b. Démontrer que Ad.\mathrm { A } \in d.

2. Soit P\text{P} un point de dd de coordonnées (x;x).(x \:; x) .
a. Démontrer que MP=NP\text{MP} = \text{NP} et en déduire que P\text{P} appartient à la médiatrice de [MN].\text{[MN]}.

b. En déduire que dd est la médiatrice de [MN].\text{[MN]}.

3. En déduire que M\text{M} et N\text{N} sont symétriques par rapport à d.d .

4. a. Démontrer que, pour tout x0,x \geqslant 0, les points R(x;x2)\text{R}(x \:; x^2) et S(x2;x) \text{S}(x^2\: ; x) sont symétriques par rapport à d.d .

b. Justifier que S\text{S} appartient à la courbe de la fonction racine carrée.

c. Que peut-on en déduire sur les courbes de la fonction carré et de la fonction racine carrée ?

93
ÉNIGME

Existe-t-il un entier naturel nn appartenant à l’intervalle [1860868;1906623][ 1\,860\,868\: ; 1\,906\,623 ] tel que la solution de l’équation x3=nx^3 = n soit entière ?

92
DÉFI

Soit nn un entier naturel. On s’intéresse à l’équation (E)x2=4n+1.( \mathrm { E } )\:x ^ { 2 } = 4 n + 1. Le but de ce défi est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur l’entier naturel nn pour que l’équation (E)(\mathrm { E }) admette des solutions entières, c’est-à-dire pour que xZ.x \in \mathbb { Z }.
1. Déterminer les solutions réelles de (E)(\mathrm { E }) pour n=0,n = 0 , n=4,n = 4 , n=6,n = 6 , n=10,n = 10 , n=12,n = 12 , n=15,n = 15 , n=20.n = 20 .

2. On suppose que xZx \in \mathbb { Z } est solution de (E).(\mathrm { E }).
a. Montrer que xx ne peut être un entier pair.

b. On suppose alors que xx est un entier impair. Montrer que nn vérifie nécessairement une certaine propriété que l’on précisera.

3. Montrer que si nn remplit cette condition, alors l’équation (E)(\mathrm { E }) admet des solutions entières.

4. Conclure.

89
[Raisonner.]
Pour son chaton, Virgile désire construire un enclos provisoire ayant la forme d’un pavé droit sans fond ni toit. La longueur de l’enclos est = \ell = 1 m, la largeur est notée L\text{L} et la hauteur h.h . Il possède 5 m2 de contreplaqué et désire utiliser la totalité.

Fonction de référence - Synthèse
1. a. Donner l’expression de la surface S\text{S} de l’enclos en fonction de L\text{L} et la hauteur h.h .


AIDE

Ne pas oublier que l’enclos n’a pas de fond ni de toit.

b. Montrer que 0<h<2,5 0 \lt h \lt 2\text{,}5 et que L=52h1.\mathrm { L } = \dfrac { 5 } { 2 h } - 1.

2. Sachant que Virgile veut un enclos avec une hauteur comprise entre 0,5 m et 1 m, déterminer un encadrement de L.\text{L} .

3. Écrire hh en fonction de L\text{L} puis déterminer une expression du volume de l’enclos en fonction de L.\text{L} .

4. Sachant que Virgile veut un enclos avec un volume compris entre 1 m3 et 1,5 m3, déterminer un nouvel encadrement de L.\text{L} .

5. Est-il possible d’appliquer les deux contraintes ?

91
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient les fonctions f:xxf : x \mapsto x et g:xx.g : x \mapsto \sqrt { x }.
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer la position relative de CfC _ { f } et CgC _ { g } sur ]0;1[ ] 0\:; 1 [ puis sur ]1;+[.] 1\:; + \infty [.

2. Démontrer cette conjecture.

90
[Raisonner.]

Lire le paragraphe « Histoire des maths » ci-dessous et expliquer pourquoi la construction de John Wallis est fausse.


Histoire des maths

Fonction de référence - JohnWallis

John Wallis est un célèbre mathématicien du XVIIe siècle, qui a notamment inventé le symbole \infty pour désigner l’infini. À un moment de sa vie, il pensait néanmoins que les nombres négatifs n’existaient pas, et pour le montrer, il disait : « S’il existe un nombre négatif a,a , alors il est inférieur à 0.0 . Or, 10=\dfrac { 1 } { 0 } = \infty et par décroissance de la fonction inverse, on a donc 1a>10,\dfrac { 1 } { a } \gt \dfrac { 1 } { 0 }, d’où 1a>,\dfrac { 1 } { a } > \infty, ce qui est absurde. »

Dans la vie professionnelle

Fonction de référence - Synthèse - Satellite

L’ingénieur(e) intégration satellite coordonne tout le montage d’un satellite avant sa mise en orbite, en particulier l’assemblage et la résistance. La mise en orbite fait ensuite appel à des trajectoires hyperboliques ou paraboliques.

86
[Représenter.] ◉◉
On s’intéresse à la position relative des courbes représentatives des fonctions f:x1xf : x \mapsto \dfrac { 1 } { x } et g:xx2.g : x \mapsto x ^ { 2 }.
1. a. Tracer les courbes représentatives des fonctions ff et g.g .

Lancer le module Geogebra

b. Conjecturer la position relative de ces courbes.

2. Montrer que, pour tout x<0,f(x)<g(x).x \lt 0 , f(x) \lt g(x) .

3. Pour x>0,x \gt 0 , on définit h:xg(x)f(x).h : x \mapsto \dfrac { g ( x ) } { f ( x ) }.
a. Montrer que h(1)=1.h(1) = 1 .

b. Montrer que pour tout x]0;1[,h(x)<1x \in ] 0\: ; 1 [ , h ( x ) \lt 1 et en déduire que g(x)<f(x).g(x) \lt f(x).

c. Montrer que pour tout x>1,h(x)>1 x \gt 1 , h(x) \gt 1 et en déduire que g(x)>f(x).g(x) \gt f(x).

4. Conclure.

82
DÉMO
[Raisonner.]
Soit aR.a \in \mathbb { R }. Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble (E)(\text{E}) des solutions dans R \mathbb { R } de l’équation x2=ax^2 = a d’inconnue x.x .
1. On suppose que a<0.a \lt 0 .
a. Montrer que, pour tout xR,x2a>0.x \in \mathbb { R } ,x ^ { 2 } - a \gt 0.

b. En déduire que l’ensemble des solutions de l’équation (E)(\text{E}) est vide.

2. On suppose que a=0.a = 0 . Montrer que l’équation (E)(\text{E}) admet pour unique solution x=0.x = 0 .

3. On suppose maintenant que a>0.a \gt 0 .
a. Montrer que, pour tout xR,x2a=(xa)(x+a).x \in \mathbb { R } , x ^ { 2 } - a = ( x - \sqrt { a } ) ( x + \sqrt { a } ).

b. En déduire les solutions de l’équation x2=a.x^2 = a .

85
[Chercher.] ◉◉◉
Le but de cet exercice est d’étudier la fonction racine cubique ff qui, à tout xR,x \in \mathbb { R }, associe le réel x3.\sqrt [ 3 ] { x }.
1. On considère deux réels aa et bb tels que a<b.a \lt b .
a. Montrer, à l’aide des variations de la fonction cube, que supposer a3b3\sqrt [ 3 ] { a } \geqslant \sqrt [ 3 ] { b } conduit à une absurdité.

b. En déduire que, nécessairement, a3<b3\sqrt [ 3 ] { a } \lt \sqrt [ 3 ] { b } et que ff est strictement croissante sur R.\mathbb { R }.

2. Montrer que f(0)=0f(0) = 0 et en déduire que :
a. pour tout x>0,f(x)>0;x \gt 0 , f(x) \gt 0\:;

b. pour tout x<0,f(x)<0.x \lt 0 , f(x) \lt 0.

3. Déduire des questions 1. et 2. le tableau de signes et le tableau de variations de f.f .

Couleurs
Formes
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4. a. Montrer que, pour tout xR,f(x)=f(x).x \in \mathbb { R } , f ( - x ) = - f ( x ).

b. Qu’est-ce que cela signifie pour f?f\:?

c. Quelle propriété géométrique vérifie alors la courbe représentative de f?f\:?

5. a. À l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, tracer dans un repère orthonormé les courbes représentatives de f,f , de la fonction cube et de la fonction identité (xx).( x \mapsto x ).

Lancer le module Geogebra
b. Quelle conjecture peut-on faire d’un point de vue géométrique ?

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 50 ; 57 ; 59 ; 67 ; 76 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 60 ; 62 ; 68 ; 74 ; 79 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 52 ; 65 ; 72 ; 85 ; 88 et 91

84
[Raisonner.]
Le but de l’exercice est de déterminer le sens de variation de la fonction f:x(x3)2+1f : x \mapsto ( x - 3 ) ^ { 2 } + 1 définie sur R.\mathbb { R }.
1. Tracer la courbe représentative de la fonction ff à l’aide de la calculatrice et observer les variations de f.f .

2. Étude :
a. Soient a<b3.a \lt b \leqslant 3. Montrer que a3<b30 a - 3 \lt b - 3 \leqslant 0 et en déduire, à l’aide des variations de la fonction carré, que (a3)2>(b3)2.(a - 3)^2 \gt (b - 3)^2 .

b. En déduire que f(a)>f(b)f(a) \gt f(b) et que ff est strictement décroissante sur ];3].] - \infty\: ; 3 ].

c. Soit 3a<b.3 \leqslant a \lt b. Montrer, de la même manière, que f(a)<f(b)f(a) \lt f(b) et en déduire que ff est strictement croissante sur [3;+[.[ 3\: ; + \infty [.

d. Dresser le tableau de variations de f.f .

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
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