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COURS 1


1
Fonction carré, fonction racine carrée




A
Fonction carré


Définitions

  • La fonction carré est la fonction qui, à tout réel x,x, associe le réel x2.x ^ { 2 }.
  • Sa courbe représentative est une parabole.

Fonction carré - Cours - Fonctions de référence

Propriétés

1. Pour tout réel xx , x20.x ^ { 2 } \geqslant 0.
2. La fonction carré est paire.
3. La fonction carré est strictement décroissante sur ];0]] - \infty\:; 0 ] et strictement croissante sur [0;+[.[ 0\:; + \infty [.

Fonction carré - cours- Fonctions de référence

Remarque

La fonction carré est paire donc sa courbe représentative admet un axe de symétrie.

DÉMONSTRATION

1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc x×xx \times x est positif.
2. Pour tout xRx \in \mathbb { R }, (x)2=(x)×(x)=x2( - x ) ^ { 2 } = ( - x ) \times ( - x ) = x ^ { 2 } donc l’image de x-x est égale à l’image de xx donc la fonction carré est paire.
3. Voir exercice p. 133

Démonstration au programme

Application et méthode

Énoncé

Compléter avec <\lt , >\gt ou == sans calculatrice.

1. 1,12521,1321\text{,}125 ^ { 2 } \ldots 1\text{,}13 ^ { 2 }
2. (3,21)2(2)2( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \ldots ( - 2 ) ^ { 2 }
3. (3)232( - 3 ) ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
4. π232\pi ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
5. (999)2(1000)2( - 999 ) ^ { 2 } \ldots ( - 1\,000 ) ^ { 2 }

Méthode

On utilise les variations de la fonction carré :
  • Si a<b0a \lt b \leqslant 0 , a2>b2a ^ { 2 } \gt b ^ { 2 } car la fonction est strictement décroissante sur ];0]] - \infty\:; 0 ], l’ordre change.
  • Si 0a<b0 \leqslant a \lt b , a2<b2a ^ { 2 } \lt b ^ { 2 } car la fonction est strictement croissante sur [0;+[[ 0\:; + \infty [, l’ordre est conservé.

SOLUTION

1. 1,1252<1,1321\text{,}125 ^ { 2 } \lt 1\text{,}13 ^ { 2 }
2. (3,21)2>(2)2( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \gt ( - 2 ) ^ { 2 }
3. (3)2=32( - 3 ) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } car la fonction xx2x \mapsto x ^ { 2 } est paire.
4. π2>32\pi ^ { 2 } > 3 ^ { 2 }
5. (999)2<(1000)2( - 999 ) ^ { 2 } \lt ( - 1\,000 ) ^ { 2 }

Pour s'entraîner : exercices 20 ; 28 et 29 p. 131

B
Fonction racine carrée


Définitions

  • Pour tout réel positif xx, la racine carrée de xx est le nombre positif, noté x\sqrt { x }, tel que (x)2=x.( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = x.
  • La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif x,x, associe le réel x.\sqrt { x }.

Fonction racine carré - Cours - Fonctions de référence

Remarque

Les propriétés de calculs sur les racines carrées sont indiquées dans la partie nombres et calculs page 19.

Propriétés

1. On a : 0=0\sqrt { 0 } = 0 et, pour tout x>0x \gt 0, x>0.\sqrt { x } \gt 0.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+[.[ 0\:; + \infty [.
3. Pour tous réels positifs aa et bb, a×b=a×b.\sqrt { a \times b } = \sqrt { a } \times \sqrt { b }. De plus, si b0b \neq 0 alors ab=ab.\sqrt { \dfrac { a } { b } } = \dfrac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } }.

Fonction racine carré - Cours - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

1. L’équation y2=0y ^ { 2 } = 0 possède une unique solution y=0y = 0 donc 0=0.\sqrt { 0 } = 0. Soit x0.x \geqslant 0. Par définition, x0.\sqrt { x } \geqslant 0. Mais si x=0\sqrt { x } = 0, alors (x)2=0( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = 0 donc x=0.x = 0. Donc, par contraposée : si x>0x \gt 0, alors x>0.\sqrt { x } \gt 0.
2. Voir exercice p. 134
3. Voir la partie Nombres et calculs p. 19.

LOGIQUE

Démontrer l’implication AB\text{A} \Rightarrow \text{B} revient à démontrer sa contraposée non B\text{non B} \Rightarrow non A.\text{non A}.

Démonstration au programme

Application et méthode

Énoncé

1. Les écritures suivantes ont-elles un sens ? Justifier la réponse et simplifier si cela est possible.

a. 4\sqrt { 4 }
b. 3\sqrt { - 3 }
c. (5)2\sqrt { ( - 5 ) ^ { 2 } }
d. 121\sqrt { 121 }
e. 3π\sqrt { 3 - \pi }

2. Compléter sans calculatrice avec <\lt ou >\gt.

a. 22,03\sqrt { 2 } \ldots \sqrt { 2\text{,}03 }
b. 321\sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } \ldots 1
c. 62π\sqrt { 6 } \ldots \sqrt { 2 \pi }

Méthode

1. La fonction racine carrée est définie sur R+.\mathbb { R } ^ { + }. Donc, si x<0x \lt 0, x\sqrt { x } n’existe pas. 4\sqrt { 4 } est le nombre positif yy tel que y2=4: y ^ { 2 } = 4: c’est 2.2.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+\mathbb { R } ^ { + } donc si 0a<b0 \leqslant a \lt b , alors a<b\sqrt { a } \lt \sqrt { b } l’ordre est conservé.

SOLUTION

1. a. 22
b. Impossible car 3<0-3 \lt 0
c. 55
d. 1111
e. Impossible car 3π<03 - \pi \lt 0

2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+\mathbb { R } ^ { + } donc :
a. 2<2,03\sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2\text{,}03 } car 2<2,032 \lt 2\text{,}03
b. 32>1\sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } > 1 car 32>1\dfrac { 3 } { 2 } > 1
c. 6<2π\sqrt { 6 } \lt \sqrt { 2 \pi } car 6<2π6 \lt 2 \pi

Pour s'entraîner : exercices 21 p. 131, 50 et 51 p. 133
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