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Fonction carré, fonction racine carrée

La fonction carré est paire donc sa courbe représentative admet un axe de symétrie.

DÉMONSTRATION

1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc $x \times x$ est positif.
2. Pour tout $x \in \mathbb { R }$, $( - x ) ^ { 2 } = ( - x ) \times ( - x ) = x ^ { 2 }$ donc l’image de $-x$ est égale à l’image de $x$ donc la fonction carré est paire.
3. Voir exercice

48

p. 133

Compléter avec $\lt$ , $\gt$ ou $=$ sans calculatrice.

1. $1\text{,}125 ^ { 2 } \ldots 1\text{,}13 ^ { 2 }$
2. $( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \ldots ( - 2 ) ^ { 2 }$
3. $( - 3 ) ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }$
4. $\pi ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }$
5. $( - 999 ) ^ { 2 } \ldots ( - 1\,000 ) ^ { 2 }$

SOLUTION

1. $1\text{,}125 ^ { 2 } \lt 1\text{,}13 ^ { 2 }$
2. $( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \gt ( - 2 ) ^ { 2 }$
3. $( - 3 ) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 }$ car la fonction $x \mapsto x ^ { 2 }$ est paire.
4. $\pi ^ { 2 } > 3 ^ { 2 }$
5. $( - 999 ) ^ { 2 } \lt ( - 1\,000 ) ^ { 2 }$

Pour s'entraîner : exercices 20 ; 28 et 29 p. 131

Méthode

On utilise les variations de la fonction carré :

• Si $a \lt b \leqslant 0$ , $a ^ { 2 } \gt b ^ { 2 }$ car la fonction est strictement décroissante sur $] - \infty\:; 0 ]$, l’ordre change.
• Si $0 \leqslant a \lt b$ , $a ^ { 2 } \lt b ^ { 2 }$ car la fonction est strictement croissante sur $[ 0\:; + \infty [$, l’ordre est conservé.

SOLUTION

1. a. $2$
b. Impossible car $-3 \lt 0$
c. $5$
d. $11$
e. Impossible car $3 - \pi \lt 0$

2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\mathbb { R } ^ { + }$ donc :
a. $\sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2\text{,}03 }$ car $2 \lt 2\text{,}03$
b. $\sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } > 1$ car $\dfrac { 3 } { 2 } > 1$
c. $\sqrt { 6 } \lt \sqrt { 2 \pi }$ car $6 \lt 2 \pi$

Pour s'entraîner : exercices 21 p. 131, 50 et 51 p. 133

Méthode

1. La fonction racine carrée est définie sur $\mathbb { R } ^ { + }.$ Donc, si $x \lt 0$, $\sqrt { x }$ n’existe pas. $\sqrt { 4 }$ est le nombre positif $y$ tel que $y ^ { 2 } = 4:$ c’est $2.$
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\mathbb { R } ^ { + }$ donc si $0 \leqslant a \lt b$ , alors $\sqrt { a } \lt \sqrt { b }$ l’ordre est conservé.

1. Les écritures suivantes ont-elles un sens ? Justifier la réponse et simplifier si cela est possible.

a. $\sqrt { 4 }$
b. $\sqrt { - 3 }$
c. $\sqrt { ( - 5 ) ^ { 2 } }$
d. $\sqrt { 121 }$
e. $\sqrt { 3 - \pi }$

2. Compléter sans calculatrice avec $\lt$ ou $\gt$.

a. $\sqrt { 2 } \ldots \sqrt { 2\text{,}03 }$
b. $\sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } \ldots 1$
c. $\sqrt { 6 } \ldots \sqrt { 2 \pi }$

DÉMONSTRATION

1. L’équation $y ^ { 2 } = 0$ possède une unique solution $y = 0$ donc $\sqrt { 0 } = 0.$ Soit $x \geqslant 0.$ Par définition, $\sqrt { x } \geqslant 0.$ Mais si $\sqrt { x } = 0$, alors $( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = 0$ donc $x = 0.$ Donc, par contraposée : si $x \gt 0$, alors $\sqrt { x } \gt 0.$
2. Voir exercice

55

p. 134
3. Voir la partie Nombres et calculs p. 19.

Les propriétés de calculs sur les racines carrées sont indiquées dans la partie nombres et calculs page 19.