La fonction carré est la fonction qui, à tout réel x, associe le réel x2.
Sa courbe représentative est une parabole.
Propriétés
1. Pour tout réel x , x2⩾0. 2. La fonction carré est paire. 3. La fonction carré est strictement
décroissante sur ]−∞;0] et strictement
croissante sur [0;+∞[.
Remarque
La fonction carré est paire donc sa courbe représentative admet un axe de symétrie.
DÉMONSTRATION
1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc x×x est positif. 2. Pour tout x∈R, (−x)2=(−x)×(−x)=x2 donc l’image de −x est égale à l’image de x donc la fonction carré est paire. 3. Voir exercice
Pour tout réel positif x, la racine carrée de x est le nombre positif, noté x, tel que (x)2=x.
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif x, associe le réel x.
Remarque
Les propriétés de calculs sur les racines carrées sont indiquées dans la partie nombres et calculs page 19.
Propriétés
1. On a : 0=0 et, pour tout x>0, x>0. 2. La fonction racine carrée est strictement croissante
sur [0;+∞[. 3. Pour tous réels positifs a et b, a×b=a×b.
De plus, si b=0 alors ba=ba.
DÉMONSTRATION
1. L’équation y2=0 possède une unique solution y=0 donc 0=0.
Soit x⩾0. Par définition, x⩾0. Mais si x=0, alors (x)2=0 donc x=0.
Donc, par contraposée : si x>0, alors x>0. 2. Voir exercice
Démontrer l’implication A⇒B revient à démontrer sa contraposéenon B⇒non A.
Démonstration au programme
Application et méthode
Énoncé
1. Les écritures suivantes ont-elles un sens ? Justifier la réponse et simplifier si cela est possible.
a.4 b.−3 c.(−5)2 d.121 e.3−π
2. Compléter sans calculatrice avec < ou >.
a.2…2,03 b.23…1 c.6…2π
Méthode
1. La fonction racine carrée est définie sur R+. Donc, si x<0, x n’existe pas. 4 est le nombre positif y tel que y2=4: c’est 2. 2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur
R+ donc si 0⩽a<b , alors a<bl’ordre est conservé.
SOLUTION
1.a.2 b. Impossible car −3<0 c.5 d.11 e. Impossible car 3−π<0
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ donc : a.2<2,03 car 2<2,03 b.23>1 car 23>1 c.6<2π car 6<2π
Pour s'entraîner : exercices 21 p. 131, 50 et 51 p. 133
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.