1. Pour tout réel x , x ^ { 2 } \geqslant 0.
2. La fonction carré est paire.
3. La fonction carré est strictement décroissante sur ] - \infty\:; 0 ] et strictement croissante sur [ 0\:; + \infty [.



1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc x \times x est positif.
2. Pour tout x \in \mathbb { R }, ( - x ) ^ { 2 } = ( - x ) \times ( - x ) = x ^ { 2 } donc l'image de -x est égale à l'image de x donc la fonction carré est paire.
3. Voir exercice

48

p. 133.

Compléter avec \lt , \gt ou = sans calculatrice.
1. 1\text{,}125 ^ { 2 } \ldots 1\text{,}13 ^ { 2 }
2. ( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \ldots ( - 2 ) ^ { 2 }
3. ( - 3 ) ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
4. \pi ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
5. ( - 999 ) ^ { 2 } \ldots ( - 1\,000 ) ^ { 2 }

On utilise les variations de la fonction carré :

• Si a \lt b \leqslant 0 , a ^ { 2 } \gt b ^ { 2 } car la fonction est strictement décroissante sur {] - \infty\:; 0 ]}, l'ordre change.
• Si 0 \leqslant a \lt b , a ^ { 2 } \lt b ^ { 2 } car la fonction est strictement croissante sur {[ 0\:; + \infty [}, l'ordre est conservé.

1. L'équation y ^ { 2 } = 0 possède une unique solution y = 0 donc \sqrt { 0 } = 0. Soit x \geqslant 0. Par définition, \sqrt { x } \geqslant 0. Mais si \sqrt { x } = 0, alors ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = 0 donc x = 0. Donc, par contraposée : si x \gt 0, alors \sqrt { x } \gt 0.
2. Voir exercice

55

p. 134
3. Voir la partie

Nombres et calculs

p. 19

Démontrer l'implication \text{A} \Rightarrow \text{B} revient à démontrer sa contraposée \text{non B} \Rightarrow \text{non A}.