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COURS 1


1
Fonction carré, fonction racine carrée




A
Fonction carré


Fonction carré - Cours - Fonctions de référence

Remarque

La fonction carré est paire donc sa courbe représentative admet un axe de symétrie.

Définitions

  • La fonction carré est la fonction qui, à tout réel x,x, associe le réel x2.x ^ { 2 }.
  • Sa courbe représentative est une parabole.

Fonction carré - cours- Fonctions de référence

Propriétés

1. Pour tout réel xx , x20.x ^ { 2 } \geqslant 0.
2. La fonction carré est paire.
3. La fonction carré est strictement décroissante sur ];0]] - \infty\:; 0 ] et strictement croissante sur [0;+[.[ 0\:; + \infty [.

DÉMONSTRATION

1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc x×xx \times x est positif.
2. Pour tout xRx \in \mathbb { R }, (x)2=(x)×(x)=x2( - x ) ^ { 2 } = ( - x ) \times ( - x ) = x ^ { 2 } donc l’image de x-x est égale à l’image de xx donc la fonction carré est paire.
3. Voir exercice p. 133

Démonstration au programme

Application et méthode

Énoncé

Compléter avec <\lt , >\gt ou == sans calculatrice.

1. 1,12521,1321\text{,}125 ^ { 2 } \ldots 1\text{,}13 ^ { 2 }
2. (3,21)2(2)2( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \ldots ( - 2 ) ^ { 2 }
3. (3)232( - 3 ) ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
4. π232\pi ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
5. (999)2(1000)2( - 999 ) ^ { 2 } \ldots ( - 1\,000 ) ^ { 2 }

SOLUTION

1. 1,1252<1,1321\text{,}125 ^ { 2 } \lt 1\text{,}13 ^ { 2 }
2. (3,21)2>(2)2( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \gt ( - 2 ) ^ { 2 }
3. (3)2=32( - 3 ) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } car la fonction xx2x \mapsto x ^ { 2 } est paire.
4. π2>32\pi ^ { 2 } > 3 ^ { 2 }
5. (999)2<(1000)2( - 999 ) ^ { 2 } \lt ( - 1\,000 ) ^ { 2 }

Pour s'entraîner : exercices 20 ; 28 et 29 p. 131

Méthode

On utilise les variations de la fonction carré :
  • Si a<b0a \lt b \leqslant 0 , a2>b2a ^ { 2 } \gt b ^ { 2 } car la fonction est strictement décroissante sur ];0]] - \infty\:; 0 ], l’ordre change.
  • Si 0a<b0 \leqslant a \lt b , a2<b2a ^ { 2 } \lt b ^ { 2 } car la fonction est strictement croissante sur [0;+[[ 0\:; + \infty [, l’ordre est conservé.

Application et méthode


SOLUTION

1. a. 22
b. Impossible car 3<0-3 \lt 0
c. 55
d. 1111
e. Impossible car 3π<03 - \pi \lt 0

2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+\mathbb { R } ^ { + } donc :
a. 2<2,03\sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2\text{,}03 } car 2<2,032 \lt 2\text{,}03
b. 32>1\sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } > 1 car 32>1\dfrac { 3 } { 2 } > 1
c. 6<2π\sqrt { 6 } \lt \sqrt { 2 \pi } car 6<2π6 \lt 2 \pi

Pour s'entraîner : exercices 21 p. 131, 50 et 51 p. 133

Méthode

1. La fonction racine carrée est définie sur R+.\mathbb { R } ^ { + }. Donc, si x<0x \lt 0, x\sqrt { x } n’existe pas. 4\sqrt { 4 } est le nombre positif yy tel que y2=4: y ^ { 2 } = 4: c’est 2.2.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+\mathbb { R } ^ { + } donc si 0a<b0 \leqslant a \lt b , alors a<b\sqrt { a } \lt \sqrt { b } l’ordre est conservé.

Énoncé

1. Les écritures suivantes ont-elles un sens ? Justifier la réponse et simplifier si cela est possible.

a. 4\sqrt { 4 }
b. 3\sqrt { - 3 }
c. (5)2\sqrt { ( - 5 ) ^ { 2 } }
d. 121\sqrt { 121 }
e. 3π\sqrt { 3 - \pi }

2. Compléter sans calculatrice avec <\lt ou >\gt.

a. 22,03\sqrt { 2 } \ldots \sqrt { 2\text{,}03 }
b. 321\sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } \ldots 1
c. 62π\sqrt { 6 } \ldots \sqrt { 2 \pi }

B
Fonction racine carrée


Propriétés

1. On a : 0=0\sqrt { 0 } = 0 et, pour tout x>0x \gt 0, x>0.\sqrt { x } \gt 0.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+[.[ 0\:; + \infty [.
3. Pour tous réels positifs aa et bb, a×b=a×b.\sqrt { a \times b } = \sqrt { a } \times \sqrt { b }. De plus, si b0b \neq 0 alors ab=ab.\sqrt { \dfrac { a } { b } } = \dfrac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } }.

Démonstration au programme


Fonction racine carré - Cours - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

1. L’équation y2=0y ^ { 2 } = 0 possède une unique solution y=0y = 0 donc 0=0.\sqrt { 0 } = 0. Soit x0.x \geqslant 0. Par définition, x0.\sqrt { x } \geqslant 0. Mais si x=0\sqrt { x } = 0, alors (x)2=0( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = 0 donc x=0.x = 0. Donc, par contraposée : si x>0x \gt 0, alors x>0.\sqrt { x } \gt 0.
2. Voir exercice p. 134
3. Voir la partie Nombres et calculs p. 19.

Remarque

Les propriétés de calculs sur les racines carrées sont indiquées dans la partie nombres et calculs page 19.

LOGIQUE

Démontrer l’implication AB\text{A} \Rightarrow \text{B} revient à démontrer sa contraposée non B\text{non B} \Rightarrow non A.\text{non A}.

Fonction racine carré - Cours - Fonctions de référence

Définitions

  • Pour tout réel positif xx, la racine carrée de xx est le nombre positif, noté x\sqrt { x }, tel que (x)2=x.( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = x.
  • La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif x,x, associe le réel x.\sqrt { x }.
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