Mathématiques 2de
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Cahier d'algorithmique et de programmation
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Chapitre 4
Cours 1
Fonction carré, fonction racine carrée
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AFonction carré
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Définition
- La fonction carré est la fonction qui, à tout réel x, associe le réel x ^ { 2 }.
- Sa courbe représentative est une parabole.
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Propriété
1. Pour tout réel x , x ^ { 2 } \geqslant 0.
2. La fonction carré est paire.
3. La fonction carré est strictement décroissante sur ] - \infty\:; 0 ] et strictement croissante sur [ 0\:; + \infty [.
1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc x \times x est positif.
2. Pour tout x \in \mathbb { R }, ( - x ) ^ { 2 } = ( - x ) \times ( - x ) = x ^ { 2 } donc l'image de -x est égale à l'image de x donc la fonction carré est paire.
3. Voir exercice p. 133.
2. La fonction carré est paire.
3. La fonction carré est strictement décroissante sur ] - \infty\:; 0 ] et strictement croissante sur [ 0\:; + \infty [.
Démonstration
1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc x \times x est positif.
2. Pour tout x \in \mathbb { R }, ( - x ) ^ { 2 } = ( - x ) \times ( - x ) = x ^ { 2 } donc l'image de -x est égale à l'image de x donc la fonction carré est paire.
3. Voir exercice p. 133.
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La fonction carré est paire donc sa courbe représentative admet un axe de symétrie.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Genially
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Application et méthode
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Énoncé
Compléter avec \lt , \gt ou = sans calculatrice.
1. 1\text{,}125 ^ { 2 } \ldots 1\text{,}13 ^ { 2 }
2. ( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \ldots ( - 2 ) ^ { 2 }
3. ( - 3 ) ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
4. \pi ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
5. ( - 999 ) ^ { 2 } \ldots ( - 1\,000 ) ^ { 2 }
1. 1\text{,}125 ^ { 2 } \ldots 1\text{,}13 ^ { 2 }
2. ( - 3\text{,}21 ) ^ { 2 } \ldots ( - 2 ) ^ { 2 }
3. ( - 3 ) ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
4. \pi ^ { 2 } \ldots 3 ^ { 2 }
5. ( - 999 ) ^ { 2 } \ldots ( - 1\,000 ) ^ { 2 }
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On utilise les variations de la fonction carré :
- Si a \lt b \leqslant 0 , a ^ { 2 } \gt b ^ { 2 } car la fonction est strictement décroissante sur {] - \infty\:; 0 ]}, l'ordre change.
- Si 0 \leqslant a \lt b , a ^ { 2 } \lt b ^ { 2 } car la fonction est strictement croissante sur {[ 0\:; + \infty [}, l'ordre est conservé.
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Solution
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BFonction racine carrée
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Définition
- Pour tout réel positif x, la racine carrée de x est le nombre positif, noté \sqrt { x }, tel que ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = x.
- La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif x, associe le réel \sqrt { x }.
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Les propriétés de calculs sur les racines carrées sont indiquées dans la partie page 19.
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Propriété
1. On a : \sqrt { 0 } = 0 et, pour tout x \gt 0, \sqrt { x } \gt 0.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [ 0\:; + \infty [.
3. Pour tous réels positifs a et b, \sqrt { a \times b } = \sqrt { a } \times \sqrt { b }. De plus, si b \neq 0 alors \sqrt { \dfrac { a } { b } } = \dfrac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } }.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [ 0\:; + \infty [.
3. Pour tous réels positifs a et b, \sqrt { a \times b } = \sqrt { a } \times \sqrt { b }. De plus, si b \neq 0 alors \sqrt { \dfrac { a } { b } } = \dfrac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } }.
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Démonstration
1. L'équation y ^ { 2 } = 0 possède une unique solution y = 0 donc \sqrt { 0 } = 0.
Soit x \geqslant 0. Par définition, \sqrt { x } \geqslant 0. Mais si \sqrt { x } = 0, alors ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = 0 donc x = 0.
Donc, par contraposée : si x \gt 0, alors \sqrt { x } \gt 0.
2. Voir exercice p. 134
3. Voir la partie p. 19
2. Voir exercice p. 134
3. Voir la partie p. 19
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Démontrer l'implication \text{A} \Rightarrow \text{B} revient à démontrer sa contraposée \text{non B} \Rightarrow \text{non A}.
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Genially
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EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacer le curseur pour passer de la courbe de la fonction carré à celle de la fonction racine carrée.
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
1. Les écritures suivantes ont-elles un sens ? Justifier la réponse et simplifier si cela est possible.
a. \sqrt { 4 }
b. \sqrt { - 3 }
c. \sqrt { ( - 5 ) ^ { 2 } }
d. \sqrt { 121 }
e. \sqrt { 3 - \pi }
2. Compléter sans calculatrice avec \lt ou \gt.
a. \sqrt { 2 } \ldots \sqrt { 2\text{,}03 }
b. \sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } \ldots 1
c. \sqrt { 6 } \ldots \sqrt { 2 \pi }
a. \sqrt { 4 }
b. \sqrt { - 3 }
c. \sqrt { ( - 5 ) ^ { 2 } }
d. \sqrt { 121 }
e. \sqrt { 3 - \pi }
2. Compléter sans calculatrice avec \lt ou \gt.
a. \sqrt { 2 } \ldots \sqrt { 2\text{,}03 }
b. \sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } \ldots 1
c. \sqrt { 6 } \ldots \sqrt { 2 \pi }
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1. La fonction racine carrée est définie sur \mathbb { R } ^ { + }. Donc, si x \lt 0, \sqrt { x } n'existe pas. \sqrt { 4 } est le nombre positif y tel que y ^ { 2 } = 4: c'est 2.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur \mathbb { R } ^ { + } donc si 0 \leqslant a \lt b , alors \sqrt { a } \lt \sqrt { b } l'ordre est conservé.
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur \mathbb { R } ^ { + } donc si 0 \leqslant a \lt b , alors \sqrt { a } \lt \sqrt { b } l'ordre est conservé.
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Solution
1. a. 2
b. Impossible car -3 \lt 0
c. 5
d. 11
e. Impossible car 3 - \pi \lt 0
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur \mathbb { R } ^ { + } donc :
a. \sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2\text{,}03 } car 2 \lt 2\text{,}03
b. \sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } > 1 car \dfrac { 3 } { 2 } > 1
c. \sqrt { 6 } \lt \sqrt { 2 \pi } car 6 \lt 2 \pi
b. Impossible car -3 \lt 0
c. 5
d. 11
e. Impossible car 3 - \pi \lt 0
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur \mathbb { R } ^ { + } donc :
a. \sqrt { 2 } \lt \sqrt { 2\text{,}03 } car 2 \lt 2\text{,}03
b. \sqrt { \dfrac { 3 } { 2 } } > 1 car \dfrac { 3 } { 2 } > 1
c. \sqrt { 6 } \lt \sqrt { 2 \pi } car 6 \lt 2 \pi
Pour s'entraîner
Exercices p. 131, et p. 133
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