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2. Fonction inverse, fonction cube
P.122-123

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COURS 2


2
Fonction inverse, fonction cube




A
Fonction inverse


Définitions

  • La fonction inverse est la fonction définie sur qui, à tout réel différent de , associe son inverse
  • Sa courbe représentative est une hyperbole.

Fonction inverse - cours - Fonctions de référence

Propriétés

La fonction inverse :
1. est impaire ;
2. ne s’annule pas sur son ensemble de définition ;
3. est strictement décroissante sur et strictement décroissante sur

Fonction inverse - cours - Fonctions de référence

Remarque

La fonction inverse n’est pas décroissante sur En effet, on a par exemple mais

DÉMONSTRATION

1. Soit donc l’image de est l’opposée de l’image de
2. Supposons qu’il existe un réel tel que Alors d’où C’est absurde. Donc la fonction inverse ne s’annule pas sur
3. Voir exercice p. 135

Logique

Le point 2. utilise un raisonnement par l’absurde : si un postulat de départ induit une contradiction, alors ce postulat est faux.

Démonstration au programme

Application et méthode

Énoncé

1. Compléter sans calculatrice avec ou :
a.  b.  c.  d. 
2. Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :

Méthode

1. Si et sont des réels non nuls de même signe, l’application de la fonction inverse change l’ordre.
Si alors
Si et alors et donc on a toujours .

2. On regroupe les négatifs, puis les positifs et on les classe grâce aux variations de la fonction inverse.

SOLUTION

La fonction inverse est strictement décroissante sur et sur
1. a. car b. car

c. car d. car les signes sont opposés.

2. On a car et

Pour s'entraîner : exercices 22 p. 131 ; 59 et 60 p. 134

B
Fonction cube


Définition

La fonction cube est la fonction qui, à tout réel associe le réel

Fonction cube - cours - Fonctions de référence

Remarque

La fonction inverse et la fonction cube sont impaires : leur courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Propriétés

La fonction cube :
1. est impaire ;
2. est strictement croissante sur

Fonction cube - cours - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

1. Pour tout , donc l’image de est l’opposée de l’image de : la fonction cube est impaire.
2. La démonstration de ce point est faite dans exercice p. 135

Propriété (admise)

Pour tout réel , l’équation admet exactement une solution, que l’on appelle racine cubique de .

Exemple

1.
2. L’équation admet pour unique solution donc

NOTATION

La racine cubique d’un réel est notée Par définition On peut démontrer que, pour tous réels et ,

Application et méthode

Énoncé

1. Résoudre dans les équations suivantes :
a.   b.   c.
2. Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :

Méthode

1. Il convient de connaître le cube des entiers au moins. Par imparité de , on connaît alors celui de
2. On utilise la stricte croissance de la fonction cube pour ordonner les réels en rangeant d’abord les antécédents dans l’ordre croissant. L’ordre ne change alors pas.

SOLUTION

1. a.   b.   c. donc

2. On a : donc, comme est strictement croissante sur , on a :

Pour s'entraîner : exercices 23 p. 131, 68 et 69 p. 135
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