COURS 2


2
Fonction inverse, fonction cube




A
Fonction inverse

Remarque

La fonction inverse n’est pas décroissante sur R.\mathbb { R } ^ { * }. En effet, on a par exemple 2<3- 2 \lt 3 mais 12<13.\dfrac { 1 } { - 2 } \lt \dfrac { 1 } { 3 }.

Propriétés

La fonction inverse :
1. est impaire ;
2. ne s’annule pas sur son ensemble de définition ;
3. est strictement décroissante sur ];0[] - \infty\:; 0 [ et strictement décroissante sur ]0;+[.] 0\:; + \infty [.

Fonction inverse - cours - Fonctions de référence

Fonction inverse - cours - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

1. Soit xR.x \in \mathbb { R } ^ { * }. 1x=1x\dfrac { 1 } { - x } = - \dfrac { 1 } { x } donc l’image de x-x est l’opposée de l’image de x.x .
2. Supposons qu’il existe un réel xx tel que 1x=0.\dfrac { 1 } { x } = 0. Alors 1=0×x,1 = 0 \times x, d’où 0=1.0 = 1. C’est absurde. Donc la fonction inverse ne s’annule pas sur R.\mathbb { R } ^ { * }.
3. Voir exercice p. 135

Démonstration au programme


Définitions

  • La fonction inverse est la fonction définie sur R=];0[]0;+[\mathbb { R } ^ { * } = ] - \infty\:; 0 [ \cup ] 0\:; + \infty [ qui, à tout réel xx différent de 00, associe son inverse 1x.\dfrac { 1 } { x }.
  • Sa courbe représentative est une hyperbole.

Logique

Le point 2. utilise un raisonnement par l’absurde : si un postulat de départ induit une contradiction, alors ce postulat est faux.

B
Fonction cube


NOTATION

La racine cubique d’un réel aa est notée a3.\sqrt [ 3 ] { a }. Par définition (a3)3=a.( \sqrt [ 3 ] { a } ) ^ { 3 } = a. On peut démontrer que, pour tous réels aa et bb, a×b3=a3×b3.\sqrt [ 3 ] { a \times b } = \sqrt [ 3 ] { a } \times \sqrt [ 3 ] { b }.

Propriétés

La fonction cube :
1. est impaire ;
2. est strictement croissante sur R.\mathbb { R }.

DÉMONSTRATION

1. Pour tout xRx \in \mathbb { R }, (x)3=(x)×(x)×(x)=x×x×x=x3( - x ) ^ { 3 } = ( - x ) \times ( - x ) \times ( - x ) = - x \times x \times x = - x ^ { 3 } donc l’image de x-x est l’opposée de l’image de xx : la fonction cube est impaire.
2. La démonstration de ce point est faite dans exercice p. 135

Propriété (admise)

Pour tout réel aa, l’équation x3=ax ^ { 3 } = a admet exactement une solution, que l’on appelle racine cubique de aa.

Définition

La fonction cube est la fonction qui, à tout réel x,x, associe le réel x3.x ^ { 3 }.

Fonction cube - cours - Fonctions de référence

Fonction cube - cours - Fonctions de référence

Remarque

La fonction inverse et la fonction cube sont impaires : leur courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple

1. 23=2×2×2=8;(13)3=1333=127;53=52×5=55.2 ^ { 3 } = 2 \times 2 \times 2 = 8\: ; \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 3 } = \dfrac { 1 ^ { 3 } } { 3 ^ { 3 } } = \dfrac { 1 } { 27 }\: ; \sqrt { 5 } ^ { 3 } = \sqrt { 5 } ^ { 2 } \times \sqrt { 5 } = 5 \sqrt { 5 }.
2. L’équation x3=125x ^ { 3 } = 125 admet pour unique solution x=5x = 5 donc 1253=5.\sqrt [ 3 ] { 125 } = 5.

Application et méthode


Méthode

1. Si aa et bb sont des réels non nuls de même signe, l’application de la fonction inverse change l’ordre.
Si a<ba \lt b alors 1a>1b.\dfrac { 1 } { a } \gt \dfrac { 1 } { b }.
Si a<0a \lt 0 et b>0 b \gt 0 alors 1a<0\dfrac { 1 } { a } \lt 0 et 1b>0\dfrac { 1 } { b } > 0 donc on a toujours 1a<1b \dfrac { 1 } { a } \lt \dfrac { 1 } { b } .

2. On regroupe les négatifs, puis les positifs et on les classe grâce aux variations de la fonction inverse.

SOLUTION

La fonction inverse est strictement décroissante sur ];0[] - \infty\:; 0[ et sur ]0;+[.] 0\:; + \infty [.
1. a. 15>18\dfrac { 1 } { 5 } \gt \dfrac { 1 } { 8 } car 5<85 \lt 8 b. 12<13- \dfrac { 1 } { 2 } \lt - \dfrac { 1 } { 3 } car 2>3-2 \gt -3

c. 37<35 \dfrac { 3 } { 7 } \lt \dfrac { 3 } { 5 } car 73>53\dfrac { 7 } { 3 } \gt \dfrac { 5 } { 3 } d. 25>43\dfrac { 2 } { 5 } \gt - \dfrac { 4 } { 3 } car les signes sont opposés.

2. On a 1<12<12π<13- 1 \lt - \dfrac { 1 } { 2 } \lt \dfrac { 1 } { 2 \pi } \lt \dfrac { 1 } { 3 } car 2<1<0-2 \lt -1 \lt 0 et 0<3<2π.0 \lt 3 \lt 2 \pi.

Pour s'entraîner : exercices 22 p. 131 ; 59 et 60 p. 134

Énoncé

1. Compléter sans calculatrice avec <\lt ou >\gt :
a. 1518\dfrac { 1 } { 5 } \dots \dfrac { 1 } { 8 } b. 1213- \dfrac { 1 } { 2 } \ldots - \dfrac { 1 } { 3 } c. 3735\dfrac { 3 } { 7 } \dots \dfrac { 3 } { 5 } d. 2543\dfrac { 2 } { 5 } \dots - \dfrac { 4 } { 3 }
2. Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants : 12;12π;1;13.- \dfrac { 1 } { 2 }\:; \dfrac { 1 } { 2 \pi }\:; - 1\:; \dfrac { 1 } { 3 }.

Application et méthode


SOLUTION

1. a. x=2x = 2  b. x=3x = - 3  c. x3=(23)3x ^ { 3 } = \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 } donc x=23x = \dfrac { 2 } { 3 }

2. On a : 2<32<45<π- 2 \lt - \dfrac { 3 } { 2 } \lt \dfrac { 4 } { 5 } \lt \pi donc, comme xx3x \mapsto x ^ { 3 } est strictement croissante sur R\mathbb { R }, on a : (2)3<(32)3<64125<π3.( - 2 ) ^ { 3 } \lt \left( - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 } \lt \dfrac { 64 } { 125 } \lt \pi ^ { 3 }.

Pour s'entraîner : exercices 23 p. 131, 68 et 69 p. 135

Énoncé

1. Résoudre dans R\mathbb { R } les équations suivantes :
a. x3=8x ^ { 3 } = 8  b. x3=27x ^ { 3 } = - 27  c. x3=827x ^ { 3 } = \dfrac { 8 } { 27 }
2. Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants : (2)3;π3;64125;(32)3.( - 2 ) ^ { 3 }\: ; \pi ^ { 3 }\: ; \dfrac { 64 } { 125 }\: ; \left( - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 }.

Méthode

1. Il convient de connaître le cube des entiers 0,...,50, ... , 5 au moins. Par imparité de xx3x \mapsto x ^ { 3 }, on connaît alors celui de 5,...,0.–5, ... , 0.
2. On utilise la stricte croissance de la fonction cube pour ordonner les réels en rangeant d’abord les antécédents dans l’ordre croissant. L’ordre ne change alors pas.
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