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1. Fonctions carré, racine carrée et valeur absolue
P.128

TP / TICE 1


Fonctions carré, racine carrée et valeur absolue




Énoncé

On s’intéresse aux fonctions : c:xx2c : x \mapsto x ^ { 2 } ; r:xxr : x \mapsto \sqrt { x } et a:xx.a : x \mapsto | x |.
La première fonction est la fonction carré, la seconde est la fonction racine carrée et la dernière est la fonction valeur absolue qui, à tout réel xx , associe sa valeur absolue, c’est-à-dire sa distance à l’origine sur une droite graduée. Par exemple : 2=2| 2 | = 2 ; 3=3|-3| = 3 ; 1,5=1,5|-1{,}5| = 1{,}5 et π=π.|\pi| = \pi.

Questions préliminaires :
1. Déterminer la valeur absolue des nombres suivants : 5;6;1,8;4,73;25;34.5\:; - 6\:; - 1\text{,}8\:; 4\text{,}73\:; - \dfrac { 2 } { 5 }\:; \dfrac { 3 } { 4 }.

2. Que remarque-t-on pour x|x| lorsque x0x \geqslant 0 ? Lorsque x<0x \lt 0 ?

3. Justifier alors que a(x)={xsi x0,xsi x<0.a ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x } \text{\:\:\,\,\, si } x \geqslant 0, \\ { - x \text {\: si } x \lt 0.} \end{array} \right.

4. Est-il vrai que, pour tout xRx \in \mathbb { R }, x2=x\sqrt { x ^ { 2 } } = x ?


Fonctions carré, racine carrée et valeur absolue - TP - TICE

Objectif

Découvrir une relation simple entre les fonctions carré, racine carrée et valeur absolue en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Nous allons tracer la courbe représentative de la fonction aa puis la comparer avec la courbe représentative d’une fonction faisant intervenir cc et r.r.

1. Tracer la courbe représentative de la fonction a.a. Pour ce faire, on entrera la commande : a(x)=abs(x)a(x) = abs(x).

2. Vérifier que les valeurs trouvées dans la première question préliminaire sont correctes en tapant : a(5)a(5), a(6)a(-6), etc.

3. Définir les fonctions cc et rr en tapant : c(x)=xc(x) = x ^ 22 et r(x)=sqrt(x)r(x) = sqrt(x).

4. Supprimer l’affichage des courbes représentatives des fonctions cc et rr en cliquant sur les disques de couleur.

Fonctions carré, racine carrée et valeur absolue

5. Tracer la courbe représentative de la fonction définie sur GeoGebra par f(x)=r(c(x)).f(x) = r(c(x)). Que remarque-t-on ? En déduire une nouvelle expression de x.|x|.


Remarque : « sqrt » vient de l’anglais square root qui signifie « racine carrée ».

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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
CALCULATRICE
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Dans cette partie, nous allons observer que l’on peut donner une expression de aa à partir de cc et de rr en comparant deux tableaux de valeurs.

Fonctions carré, racine carrée et valeur absolue - TP - TICE
Voir les réponses

1. À l’aide de l’outil absabs de la calculatrice, vérifier que les résultats de la question préliminaire sont corrects.

2. Entrer la fonction aa dans la calculatrice, ainsi que la fonction xx2.x \mapsto \sqrt { x ^ { 2 } }.
3. Avec les outils de la calculatrice, afficher un tableau de valeurs en commençant à 2-2 avec un pas de 0,50{,}5 puis compléter le tableau suivant.
 xx -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
 x2\sqrt { x ^ { 2 } }

4. Afficher la table des deux fonctions et en déduire que l’on semble avoir x=x2| x | = \sqrt { x ^ { 2 } } pour tout xR.x \in \mathbb { R }.

5. Renforcer cette conjecture en traçant le graphe des deux fonctions.

Pour aller plus loin

La fonction valeur absolue est étudiée en classe de première, spécialité maths.
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