TRAVAILLER ENSEMBLE


Autour du comportement des fonctions carré, cube, et racine carrée





Lorsque l’on trace les courbes représentatives des fonctions carré, cube et racine carrée, on remarque que ces fonctions ne croissent pas « à la même vitesse ». Un artisan nous aide à le comprendre.
L’artisan souhaite carreler une terrasse extérieure de forme carrée. Curieux, il réfléchit à l’impact qu’aurait une augmentation de la longueur des côtés par rapport au nombre de carreaux à acheter.

PARTIE 1 ☆☆

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1. On suppose que la terrasse mesure 10 m de côté. Quelle est l’augmentation de l’aire si on augmente chaque côté de 1 m ?


2. Même question si la terrasse mesure finalement 15 m de côté. Même question avec 20 m de côté.


3. Comparer ces résultats.


4. On note gg la fonction carré. Pour tout x>0,x \gt 0, calculer g(x+1)g(x)g(x + 1) - g(x) et faire le lien avec la question précédente.


Lancer le module Geogebra

PARTIE 3 ★★

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L’artisan souhaite poser sur sa terrasse une véranda en verre de forme cubique (la terrasse représente la face du bas du cube). Il s’intéresse à l’évolution du volume de ce cube lorsqu’on augmente la longueur de ses arêtes d’une même longueur.

1. On suppose que le cube a des arêtes de 2 m de longueur. Quelle est l’augmentation du volume du cube si l’on ajoute 1 m à chaque arête ?


2. Même question si les arêtes ont initialement une longueur de 5 m. Même question avec 8 m.


3. Comparer ces résultats.


4. On note kk la fonction cube. Pour tout x>0,x \gt 0 , calculer k(x+1)k(x).k(x + 1) - k(x) .

Autour du comportement des fonctions carré, cube, et racine carrée - Fonctions de référence

Mise en commun

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1. Pour chaque fonction g,g , hh et k,k , tracer leur courbe représentative avec GeoGebra ou à la calculatrice.
2. Que semblent montrer les résultats obtenus dans chaque partie sur la « vitesse de croissance » des trois fonctions ?

3. Nuancer les résultats obtenus sur l’intervalle [0;1]. [ 0\: ; 1 ]. En classe de première, la notion de dérivée permettra de comprendre précisément les variations d’une fonction.


En classe de première, la notion de dérivée permettra de comprendre précisément les variations d'une fonction.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 2 ★★

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Cet artisan, toujours aussi curieux, réfléchit également à l’impact qu’aurait une augmentation de l’aire de la terrasse sur la longueur des côtés de celle-ci selon l’aire initiale du carré.

1. On suppose que la terrasse a une aire de 9 m2. De quelle longueur faut-il augmenter celle des côtés du carré pour que l’aire augmente de 1 m2 ?


2. Même question lorsque la terrasse a finalement une aire de 25 m2. Même question avec une aire de 49 m2.


3. Comparer ces résultats.


4. On note hh la fonction racine carrée. Pour tout x>0,x \gt 0 , calculer h(x+1)h(x).h(x + 1) - h(x) .
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