Applications des fonctions de référence

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 50 ; 57 ; 59 ; 67 ; 76 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 60 ; 62 ; 68 ; 74 ; 79 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 52 ; 65 ; 72 ; 85 ; 88 et 91

73

ALGO

[Calculer.]
On considère un réel $k$ quelconque. Voici un algorithme incomplet permettant d’obtenir en sortie les solutions éventuelles de l’équation $x^2=k.$

$\boxed{\begin{array}{l}\text{ Si }k<0\text{ alors :}\\ \text{ Solution }\leftarrow \text{ Faux }\\ \text{ Sinon }\\ \text{ Si }k=0\text{ alors }:\\ \text{ Solution }\leftarrow \text{ Vrai }\\ \text{ Retourner }0\\ \text{ Sinon }:\\ \text{Solution}\leftarrow \text{Vrai}\\ m\leftarrow \text{...}\\ n\leftarrow \text{...}\\ \text{Retourner}(m,n)\\ \text{Fin Si}\\ \text{Fin Si}\end{array}}$

1. a. Quel est le signe de $k$ après le deuxième « Sinon » ?

b. Quel est le but de la variable booléenne « Solution » ?

c. Compléter l’algorithme.
$m\leftarrow$
$n\leftarrow$
2. Tester l’algorithme avec : $k=4,$ $k=0$ et $k=-3.$

3. Programmer cet algorithme.

74

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}.$
1. $x^2=12$

2. $x^2=-\frac{5}{3}$

3. $\sqrt{x+1}=3$

4. $\sqrt[3]{x}=-\frac{2}{5}$

5. $\frac{3}{x}=\frac{6}{7}$

6. $(x-3{)}^2=4$

75

[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}.$
1. $x^2⩽20$

2. $2x^2+1<9$

3. $-x^2>-7$

4. $x^2+1⩽\frac{1}{2}$

5. $\frac{5x^3}{3}<\frac{12x}{5}$

6. $2x^2-3x⩽x^2-3x+8$

76

[Représenter.] ◉◉◉
À l’aide de la calculatrice ou d’une représentation graphique à main levée de la fonction inverse, indiquer les solutions des inéquations suivantes dans $\mathbb{R}.$
1. $\frac{1}{x}<\frac{1}{6}$

2. $\frac{1}{x}⩾-\frac{3}{5}$

3. $-6⩽\frac{1}{x}⩽-2$

4. $10⩾\frac{1}{x}>-3$

77

[Chercher.]
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes.
1. $f:x\mapsto \sqrt{1-\frac{1}{x}}$

2. $g:x\mapsto \frac{1}{x^2-1}$

3. $h:x\mapsto \sqrt{8-2x^2}$

4. $k:x\mapsto \frac{1}{x^3}$

78

[Raisonner.]
Soit $a$ un réel différent de $1.$
1. Montrer que si $a>1,$ alors $\frac{1}{1-a}<0$ puis que si $a<1,$ alors $\frac{1}{1-a}>0.$

2. Déterminer, en fonction de $a,$ le nombre de solutions de l’équation $x^2=\frac{1}{1-a}.$

79

[Chercher.] ◉◉◉

Un forgeron souhaite fabriquer une boîte métallique de forme cubique. Pour ce faire, il dispose d’une plaque métallique de 13,5 m² qu’il peut fondre à volonté pour lui donner la forme qu’il souhaite.
1. On note $x$ la longueur d’une arête du cube que le forgeron veut réaliser. Déterminer, en fonction de $x,$ la surface $\text{S}(x)$ du cube.

2. En déduire la longueur de l’arête du plus gros cube qu’il peut réaliser avec 13,5 m² de plaque métallique.

3. Quels sont les volumes possibles que peut prendre le cube du forgeron ?

4. Le forgeron peut-il réaliser un cube dont le volume est égal à $\pi$ m³ ? Si oui, quelle est la valeur de $x$ pour réaliser un tel cube ?

80

[Calculer.] ◉◉◉
Ranger les nombres suivants par ordre croissant.
1.
2.
3.
4.

81

[Raisonner.]
Soient $f,$ $g$ et $h$ les fonctions définies sur $[-2;+\infty [$ par :
$f(x)=2x+4,$ $g(x)=(2x+4{)}^3,$ $h(x)=(2x+4{)}^2.$
1. Résoudre sur $[-2;+\infty [$ l’inéquation $0⩽f(x)⩽1.$

2. Résoudre sur $[-2;+\infty [$ l’inéquation $f(x)⩾1.$

3. Déduire des questions précédentes la position relative des courbes $C_f,$ $C_g$ et $C_h$ sur $[-2;+\infty [.$