Applications des fonctions de référence

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 50 ; 57 ; 59 ; 67 ; 76 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 60 ; 62 ; 68 ; 74 ; 79 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 52 ; 65 ; 72 ; 85 ; 88 et 91

73

ALGO

[Calculer.]
On considère un réel $k$ quelconque. Voici un algorithme incomplet permettant d’obtenir en sortie les solutions éventuelles de l’équation $x^2 = k .$

$\boxed{ \begin{array} { l } { \text { Si } k\lt 0 \text { alors :} } \\ \quad \text { Solution } \leftarrow \text { Faux } \\ \text{ Sinon } \\ \quad \text { Si } k = 0 \text { alors } : \\ \quad \quad \text { Solution } \leftarrow \text { Vrai } \\ \quad \quad \text { Retourner } 0 \\ \quad \text { Sinon }: \\ \quad \quad \text {Solution} \leftarrow \text {Vrai} \\ \quad \quad m \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad n \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \text {Retourner} (m,n)\\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Fin Si} \end{array} }$

1. a. Quel est le signe de $k$ après le deuxième « Sinon » ?

b. Quel est le but de la variable booléenne « Solution » ?

c. Compléter l’algorithme.
$m \leftarrow$
$n \leftarrow$
2. Tester l’algorithme avec : $k = 4,$ $k = 0$ et $k = -3 .$

3. Programmer cet algorithme.

74

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb { R }.$
1. $x ^ { 2 } = 12$

2. $x ^ { 2 } = - \dfrac { 5 } { 3 }$

3. $\sqrt { x + 1 } = 3$

4. $\sqrt [ 3 ] { x } = - \dfrac { 2 } { 5 }$

5. $\dfrac { 3 } { x } = \dfrac { 6 } { 7 }$

6. $( x - 3 ) ^ { 2 } = 4$

75

[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb { R }.$
1. $x ^ { 2 } \leqslant 20$

2. $2 x ^ { 2 } + 1 \lt 9$

3. $- x ^ { 2 } \gt - 7$

4. $x ^ { 2 } + 1 \leqslant \dfrac { 1 } { 2 }$

5. $\dfrac { 5 x ^ { 3 } } { 3 } \lt \dfrac { 12 x } { 5 }$

6. $2 x ^ { 2 } - 3 x \leqslant x ^ { 2 } - 3 x + 8$

76

[Représenter.] ◉◉◉
À l’aide de la calculatrice ou d’une représentation graphique à main levée de la fonction inverse, indiquer les solutions des inéquations suivantes dans $\mathbb { R }.$
1. $\dfrac { 1 } { x } \lt \dfrac { 1 } { 6 }$

2. $\dfrac { 1 } { x } \geqslant - \dfrac { 3 } { 5 }$

3. $- 6 \leqslant \dfrac { 1 } { x } \leqslant - 2$

4. $10 \geqslant \dfrac { 1 } { x } \gt - 3$

77

[Chercher.]
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes.
1. $f : x \mapsto \sqrt { 1 - \dfrac { 1 } { x } }$

2. $g : x \mapsto \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$

3. $h : x \mapsto \sqrt { 8 - 2 x ^ { 2 } }$

4. $k : x \mapsto \dfrac { 1 } { x ^ { 3 } }$

78

[Raisonner.]
Soit $a$ un réel différent de $1.$
1. Montrer que si $a \gt 1 ,$ alors $\dfrac { 1 } { 1 - a } \lt 0$ puis que si $a \lt 1 ,$ alors $\dfrac { 1 } { 1 - a } \gt 0.$

2. Déterminer, en fonction de $a,$ le nombre de solutions de l’équation $x ^ { 2 } = \dfrac { 1 } { 1 - a }.$

79

[Chercher.] ◉◉◉

Un forgeron souhaite fabriquer une boîte métallique de forme cubique. Pour ce faire, il dispose d’une plaque métallique de 13,5 m² qu’il peut fondre à volonté pour lui donner la forme qu’il souhaite.
1. On note $x$ la longueur d’une arête du cube que le forgeron veut réaliser. Déterminer, en fonction de $x ,$ la surface $\text{S}(x)$ du cube.

2. En déduire la longueur de l’arête du plus gros cube qu’il peut réaliser avec 13,5 m² de plaque métallique.

3. Quels sont les volumes possibles que peut prendre le cube du forgeron ?

4. Le forgeron peut-il réaliser un cube dont le volume est égal à $\pi$ m³ ? Si oui, quelle est la valeur de $x$ pour réaliser un tel cube ?

80

[Calculer.] ◉◉◉
Ranger les nombres suivants par ordre croissant.
1.

• $\left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 }$
• $\left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 }$
• $\dfrac { 2 } { 3 }$

$\lt$ $\lt$
2.

• $\left( \dfrac { 32 } { 31 } \right) ^ { 3 }$
• $\dfrac { 32 } { 31 }$
• $\left( \dfrac { 32 } { 31 } \right) ^ { 2 }$

$\lt$ $\lt$
3.

• $\sqrt { 0\text{,}5 } ^ { 3 }$
• $\sqrt { 0\text{,}5 }$
• $0\text{,}5$

$\lt$ $\lt$
4.

• $\sqrt { \pi - 1 }$
• $\pi - 1$
• $( \sqrt { \pi - 1 } ) ^ { 3 }$

$\lt$ $\lt$

81

[Raisonner.]
Soient $f,$ $g$ et $h$ les fonctions définies sur $[ - 2\:; + \infty [$ par :
$f ( x ) = 2 x + 4 ,$ $g ( x ) = ( 2 x + 4 ) ^ { 3 } ,$ $h ( x ) = ( 2 x + 4 ) ^ { 2 }.$
1. Résoudre sur $[ - 2\:; + \infty [$ l’inéquation $0 \leqslant f ( x ) \leqslant 1.$

2. Résoudre sur $[ - 2\:; + \infty [$ l’inéquation $f ( x ) \geqslant 1.$

3. Déduire des questions précédentes la position relative des courbes $C _ { f } ,$ $C _ { g }$ et $C _ { h }$ sur $[ - 2\:; + \infty [.$