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Entrainement 3


Applications des fonctions de référence





74
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les équations suivantes dans R.\mathbb { R }.
1. x2=12x ^ { 2 } = 12

2. x2=53x ^ { 2 } = - \dfrac { 5 } { 3 }

3. x+1=3\sqrt { x + 1 } = 3

4. x3=25\sqrt [ 3 ] { x } = - \dfrac { 2 } { 5 }

5. 3x=67\dfrac { 3 } { x } = \dfrac { 6 } { 7 }

6. (x3)2=4( x - 3 ) ^ { 2 } = 4

79
[Chercher.] ◉◉
Applications des fonctions de référence - Synthèse - cube

Un forgeron souhaite fabriquer une boîte métallique de forme cubique. Pour ce faire, il dispose d’une plaque métallique de 13,5 m2 qu’il peut fondre à volonté pour lui donner la forme qu’il souhaite.
1. On note xx la longueur d’une arête du cube que le forgeron veut réaliser. Déterminer, en fonction de x,x , la surface S(x)\text{S}(x) du cube.

2. En déduire la longueur de l’arête du plus gros cube qu’il peut réaliser avec 13,5 m2 de plaque métallique.

3. Quels sont les volumes possibles que peut prendre le cube du forgeron ?

4. Le forgeron peut-il réaliser un cube dont le volume est égal à π\pi m3 ? Si oui, quelle est la valeur de xx pour réaliser un tel cube ?

76
[Représenter.] ◉◉
À l’aide de la calculatrice ou d’une représentation graphique à main levée de la fonction inverse, indiquer les solutions des inéquations suivantes dans R.\mathbb { R }.
1. 1x<16\dfrac { 1 } { x } \lt \dfrac { 1 } { 6 }

2. 1x35\dfrac { 1 } { x } \geqslant - \dfrac { 3 } { 5 }

3. 61x2- 6 \leqslant \dfrac { 1 } { x } \leqslant - 2

4. 101x>310 \geqslant \dfrac { 1 } { x } \gt - 3

77
[Chercher.]
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes.
1. f:x11xf : x \mapsto \sqrt { 1 - \dfrac { 1 } { x } }

2. g:x1x21g : x \mapsto \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 }

3. h:x82x2h : x \mapsto \sqrt { 8 - 2 x ^ { 2 } }

4. k:x1x3k : x \mapsto \dfrac { 1 } { x ^ { 3 } }

80
[Calculer.] ◉◉
Ranger les nombres suivants par ordre croissant.
1.
  • (23)2\left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 }
  • (23)3 \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 }
  • 23 \dfrac { 2 } { 3 }
<\lt
<\lt

2.
  • (3231)3\left( \dfrac { 32 } { 31 } \right) ^ { 3 }
  • 3231\dfrac { 32 } { 31 }
  • (3231)2 \left( \dfrac { 32 } { 31 } \right) ^ { 2 }
<\lt
<\lt

3.
  • 0,53\sqrt { 0\text{,}5 } ^ { 3 }
  • 0,5\sqrt { 0\text{,}5 }
  • 0,5 0\text{,}5
<\lt
<\lt

4.
  • π1\sqrt { \pi - 1 }
  • π1\pi - 1
  • (π1)3( \sqrt { \pi - 1 } ) ^ { 3 }
<\lt
<\lt


73
ALGO
[Calculer.]
On considère un réel kk quelconque. Voici un algorithme incomplet permettant d’obtenir en sortie les solutions éventuelles de l’équation x2=k.x^2 = k .

 Si k<0 alors : Solution  Faux  Sinon  Si k=0 alors : Solution  Vrai  Retourner 0 Sinon :SolutionVraim...n...Retourner(m,n)Fin SiFin Si \boxed{ \begin{array} { l } { \text { Si } k\lt 0 \text { alors :} } \\ \quad \text { Solution } \leftarrow \text { Faux } \\ \text{ Sinon } \\ \quad \text { Si } k = 0 \text { alors } : \\ \quad \quad \text { Solution } \leftarrow \text { Vrai } \\ \quad \quad \text { Retourner } 0 \\ \quad \text { Sinon }: \\ \quad \quad \text {Solution} \leftarrow \text {Vrai} \\ \quad \quad m \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad n \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \text {Retourner} (m,n)\\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Fin Si} \end{array} }

1. a. Quel est le signe de kk après le deuxième « Sinon » ?

b. Quel est le but de la variable booléenne « Solution » ?

c. Compléter l’algorithme.
mm \leftarrow
nn \leftarrow
2. Tester l’algorithme avec : k=4,k = 4, k=0k = 0 et k=3.k = -3 .

3. Programmer cet algorithme.




DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 50 ; 57 ; 59 ; 67 ; 76 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 60 ; 62 ; 68 ; 74 ; 79 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 52 ; 65 ; 72 ; 85 ; 88 et 91

78
[Raisonner.]
Soit aa un réel différent de 1.1.
1. Montrer que si a>1,a \gt 1 , alors 11a<0\dfrac { 1 } { 1 - a } \lt 0 puis que si a<1,a \lt 1 , alors 11a>0.\dfrac { 1 } { 1 - a } \gt 0.

2. Déterminer, en fonction de a,a, le nombre de solutions de l’équation x2=11a.x ^ { 2 } = \dfrac { 1 } { 1 - a }.

81
[Raisonner.]
Soient f,f, gg et hh les fonctions définies sur [2;+[[ - 2\:; + \infty [ par :
f(x)=2x+4,f ( x ) = 2 x + 4 , g(x)=(2x+4)3,g ( x ) = ( 2 x + 4 ) ^ { 3 } , h(x)=(2x+4)2.h ( x ) = ( 2 x + 4 ) ^ { 2 }.
1. Résoudre sur [2;+[[ - 2\:; + \infty [ l’inéquation 0f(x)1.0 \leqslant f ( x ) \leqslant 1.

2. Résoudre sur [2;+[[ - 2\:; + \infty [ l’inéquation f(x)1.f ( x ) \geqslant 1.

3. Déduire des questions précédentes la position relative des courbes Cf,C _ { f } , CgC _ { g } et ChC _ { h } sur [2;+[.[ - 2\:; + \infty [.

75
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans R.\mathbb { R }.
1. x220x ^ { 2 } \leqslant 20

2. 2x2+1<92 x ^ { 2 } + 1 \lt 9

3. x2>7- x ^ { 2 } \gt - 7

4. x2+112x ^ { 2 } + 1 \leqslant \dfrac { 1 } { 2 }

5. 5x33<12x5\dfrac { 5 x ^ { 3 } } { 3 } \lt \dfrac { 12 x } { 5 }

6. 2x23xx23x+82 x ^ { 2 } - 3 x \leqslant x ^ { 2 } - 3 x + 8
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