L'étude des positions de différents points (et d'ensembles de points) dans le plan ou dans l'espace constitue la base de la géométrie. Les premières traces écrites de problèmes géométriques, comme pour les nombres, nous viennent de l'Antiquité et concernent, entre autres, l'architecture, la topographie, l'astronomie et l'agriculture. Géométrie provient du grec géo - la Terre - et de metria - la mesure. En ces termes, quel formidable exemple que celui de la mesure du rayon de la Terre par Ératosthène ! Les Grecs ont donné à la géométrie toutes ses lettres de noblesse en y ajoutant la démonstration. Les mathématiciens de l'époque ont laissé leur nom aux théorèmes que l'on connaît, comme Thalès ou Pythagore. Les Éléments d'Euclide ont donné les bases de la géométrie jusqu'à la Renaissance, et la géométrie étudiée au collège en découle. Il a fallu attendre l'apparition de l'algèbre, du calcul littéral et du calcul différentiel pour donner à la géométrie une nouvelle ampleur.

Les Éléments d'Euclide est une encyclopédie mathématique en 13 livres qui date de 300 av. J.-C. Les six premiers livres constituent la base pour effectuer des constructions ou des démonstrations en géométrie. Par exemple, la proposition I dit : « Sur une droite donnée et terminée, décrire un triangle équilatéral. ».
On y retrouve, entre autres, les théorèmes de Thalès et de Pythagore et leur démonstration basée sur les axiomes et les théorèmes contenus dans les Éléments eux-mêmes.

Maryam Mirzakhani (1977-2017) était une mathématicienne iranienne. Elle a travaillé sur la topologie et la géométrie, en particulier sur la géométrie des surfaces de Riemann (géométrie non euclidienne). Elle est la première et l'unique femme à ce jour à avoir reçu la médaille Fields (2014).
Avec l'apparition, entre autres, des fonctions, de l'algèbre et du calcul différentiel, la géométrie s'éloigne de plus en plus de celle proposée dans les Éléments d'Euclide. On arrive alors à concevoir des feuilles avec une seule page (ruban de Möbius), des bouteilles dont on ne peut pas distinguer l'intérieur de l'extérieur (bouteille de Klein, ci-dessous), des surfaces finies dont le périmètre est infini (géométrie fractale qui a, entre autres, permis de réaliser le smartphone).

Réaliser un ruban de Möbius avec une bande de papier.