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TP / TICE 2


Le logo à dimension variable






Le logo à dimension variable

Énoncé

L’eau minérale « Les Deux Montagnes » souhaite actualiser le logo apposé sur ses étiquettes. Elle décide d’opter pour un visuel composé de deux triangles équilatéraux. Les graphistes de la société imposent la contrainte que l’aire totale des deux triangles soit égale à 53.5 \sqrt{3}. On note M\text{M} de coordonnées (x;y)(x\:; y) un point mobile sur [AB].[\mathrm{AB}].
On note A1\mathrm{A}_{1} et A2\mathrm{A}_{2} les aires respectives de AMC\text{AMC} et MBD.\text{MBD} .

Question préliminaire :
Démontrer que l’aire d’un triangle équilatéral de côté cc est donnée par la formule A=c234.\text{A}=c^{2} \dfrac{\sqrt{3}}{4}.

bouteille d'eau
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA

Marek décide de trouver les dimensions des triangles, en modélisant la situation avec le logiciel GeoGebra.

Lancer le module Geogebra
1. a. Ouvrir le logiciel GeoGebra et placer dans un repère orthonormé du plan les points A(1;3)\mathrm{A}(1\:; 3) et B(7;3).\mathrm{B}(7\:; 3).
b. Tracer le segment [AB].[\mathrm{AB}].
2. On rappelle que xx représente l’abscisse du point M.\text{M}. Placer un point M\text{M} mobile sur le segment [AB][\mathrm{AB}] et construire les deux triangles AMC\text{AMC} et ABD\text{ABD} en utilisant l’outil
Le logo à dimension variable

3. Ouvrir en parallèle une deuxième fenêtre graphique et créer un point T\text{T} de coordonnées (xT;yT)\left(x_{\mathrm{T}}\:; y_{\mathrm{T}}\right) tel que xT=xx_{\mathrm{T}}=x et yT=A1+A2.y_{\mathrm{T}}=\mathrm{A}_{1}+\mathrm{A}_{2}.
4. Activer la trace du point T\text{T} et déplacer le point M\text{M} pour visualiser la variation de l’aire des deux triangles en fonction de l’abscisse de T.\text{T.}

Le logo à dimension variable

5. En déduire les éventuelles valeurs de xx qui satisfont aux contraintes des graphistes.

MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Miranda a décidé de chercher une solution au problème en utilisant un tableur. Elle propose de travailler avec la feuille de calcul ci-dessous.

Le logo à dimension variable

Ouvrir une feuille de calcul et reproduire les deux premières colonnes du tableau proposé par Miranda.

Lancer le module Geogebra
2. Dans quel intervalle I\text{I} la variable xx varie-t-elle ?

3. Expliciter l’aire A1\mathrm{A}_{1} du triangle ACM\text{ACM} en fonction de x.x .

4. Montrer que, pour tout xI,x \in \text{I}, l’aire A2\mathrm{A}_{2} du triangle MDB\text{MDB} est égale à (7x)234.\dfrac{(7-x)^{2} \sqrt{3}}{4}.

5. En déduire les formules à saisir dans les cellules C2 et D2.

6. Pour répondre aux contraintes, on introduit la quantité d=A1+A253.d=\text{A}_{1}+\text{A}_{2}-5 \sqrt{3}. Compléter les cellules A2, B2, C2, D2 et E2 avec les bonnes formules puis conclure.

Objectif

Déterminer la position du point M\text{M} afin de satisfaire aux contraintes en utilisant une des deux méthodes.
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