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Synthèse





75
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) un repère orthonormé du plan. On considère le quart de cercle de centre O\text{O} et de rayon 1 unité. Le point M\text{M} de coordonnées (xM;yM)\left(x_{\mathrm{M}}\:; y_{\mathrm{M}}\right) est un point mobile dans le quart de disque.
On note H\text{H} le projeté orthogonal de M\text{M} sur (OI)(\mathrm{OI}) et L\mathrm{L} le projeté orthogonal de M\text{M} sur (OJ).(\mathrm{OJ}).

Repérage et configuration dans le plan

1. Montrer que IJ=2.\mathrm{IJ}=\sqrt{2}.

2. Expliquer pourquoi 0xM10 \leqslant x_{\mathrm{M}} \leqslant 1 et 0yM1.0 \leqslant y_{\mathrm{M}} \leqslant 1.

3. Déterminer la distance OM.\text{OM}.

4. Calculer les coordonnées de S,\text{S}, milieu de [OI].[\mathrm{OI}].

5. On considère dans cette question que M est aussi sur la médiatrice de [OI].[\mathrm{OI}].
a. Montrer que xH=xM=12x_{\mathrm{H}}=x_{\mathrm{M}}=\dfrac{1}{2}

b. En déduire la distance MH\text{MH} et les coordonnées du point M.

c. Déterminer la mesure de l’angle HOM^.\widehat{\mathrm{HOM}}.

d. Conclure en donnant les valeurs exactes de cos(60)\cos \left(60^{\circ}\right) et sin(60).\sin \left(60^{\circ}\right).

6. En raisonnant de manière analogue, déterminer les valeurs exactes de cos(30)\cos \left(30^{\circ}\right) et sin(30).\sin \left(30^{\circ}\right).

73
PYTHON
[Modéliser.]
En s’inspirant de l’exercice précédent, écrire un programme Python qui, à partir des coordonnées de trois points A, B\text{A, B} et C,\text{C,} teste si ABC\text{ABC} est équilatéral.




76
[Raisonner.] ◉◉
Soit C\mathcal{C} un cercle de diamètre [OM][\mathrm{OM}] tel que OM=\text{OM} = 5 cm.
P\text{P} est un point de C\mathcal{C} tel que OP=\text{OP} = 3,5 cm et A\text{A} est un point de [MO)[\mathrm{MO}) tel que OA=\text{OA} = 10 cm.

1. Réaliser une figure que l’on complètera au fil de l’exercice.

Lancer le module Geogebra
2. Tracer la droite parallèle à (PM)(\mathrm{PM}) passant par A,\text{A}, elle coupe la droite (OP)(\mathrm{OP}) en B.\text{B}.
3. Montrer que le triangle OAB\text{OAB} est rectangle en B.\text{B}.

4. Calculer les distances PM,AB\mathrm{PM}, \mathrm{AB} et OB.\text{OB}.

5. On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; M , N).(\text{O ; M , N}).
a. Placer le point N\text{N} afin que l’ordonnée du point P\text{P} soit positif.
b. Déterminer les coordonnées des points M, N\text{M, N} et A.\text{A.}

c. Les coordonnées de B\text{B} peuvent-elles être égales à B(4,9;5)?\mathrm{B}(-4\text{,}9\:;-5)\:?

74
[Raisonner.]
On considère un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) du plan. On donne les points A(1;6),B(7;2),C(1;2)\mathrm{A}(-1\: ; 6), \mathrm{B}(7\: ;-2), \mathrm{C}(1\: ;-2) et D(9;6).\mathrm{D}(9\: ; 6).

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Construire le centre Ω\Omega du cercle circonscrit au triangle ABC.\text{ABC}.
3. Donner, sans justification, les coordonnées de Ω\Omega et calculer le rayon du cercle.

4. Montrer que les points A, B, C\text{A, B, C} et D\text{D} appartiennent à un même cercle : on dira qu’ils sont cocycliques.

5. Soit M,\text{M}, un point de coordonnées (4 ;1).(4 ; 1).
a. Montrer que M\text{M} appartient au segment [AB].[\mathrm{AB}].

b. Montrer que M\text{M} appartient au segment [DC].[\mathrm{DC}].

c. Calculer MA×MB\mathrm{MA} \times \mathrm{MB} et MC×MD.\mathrm{MC} \times \mathrm{MD}.

d. Conclure.


79
[Raisonner.]
On veut démontrer la propriété suivante :
« Le projeté orthogonal d’un point M\text{M} sur une droite Δ\Delta est le point de Δ\Delta le plus proche de M.\text{M}. »

1. Réaliser la figure suivante.

Lancer le module Geogebra
a. Tracer une droite Δ\Delta et placer un point M\text{M} n’appartenant pas à cette droite ;
b. Construire le point H,\text{H}, projeté orthogonal de M\text{M} sur Δ.\Delta.
c. Placer deux points distincts A\text{A} et B\text{B} sur Δ.\Delta. et différents de H.\text{H}.
2. Traduire la propriété que l’on cherche à démontrer en utilisant les points de la figure construite.

3. a. Que peut-on dire des triangles AMH\mathrm{AMH} et MBH?\mathrm{MBH} \:?

b. En déduire le plus grand côté de chacun de ses triangles.

c. La position des points A\text{A} et B\text{B} influence-t-elle la réponse à la question précédente ?

4. Conclure.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 34 ; 47 ; 54 et 65
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 40 ; 48 ; 59 ; 66 ; 76 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 43 ; 53 ; 69 ; 70 ; 75 et 80

78
[Raisonner.]
Soit ABCD\text{ABCD} un rectangle de centre O\text{O} dont la longueur est le double de la largeur. On note R\text{R} le milieu du segment [AB],P[\mathrm{AB}], \mathrm{P} le milieu du segment [OC][\mathrm{OC}] et Q\text{Q} un point du segment [BC][\mathrm{BC}] tel que BQ=14BC.\mathrm{BQ}=\dfrac{1}{4} \mathrm{BC}.
L’objectif de l’exercice est de déterminer l’aire du quadrilatère OPQR.\text{OPQR}.

Repérage et configuration dans le plan

On considère le repère (A ; R , D).(\text{A ; R , D}).

1. Expliquer pourquoi le repère (A ; R , D)(\text{A ; R , D}) est un repère orthonormé du plan.

2. Donner, sans justification, les coordonnées des points A,B,C,R\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{R} et Q. \mathrm{Q}.

3. Calculer AB\text{AB} et CB.\text{CB}. En déduire l’aire du triangle ABC.\text{ABC}.

4. Calculer BR\text{BR} et BQ.\text{BQ}. En déduire l’aire du triangle BQR.\text{BQR}.

5. Calculer les coordonnées des points O\text{O} et P.\text{P}.

6. Calculer l’aire du triangle ARO.\text{ARO}.

7. On note H\text{H} le projeté orthogonal de P\text{P} sur (BC).(\mathrm{BC}). On admet que H\text{H} a pour coordonnées (2;34).\left(2\:; \dfrac{3}{4}\right).
a. Calculer HP.\text{HP}. En déduire l’aire du triangle CQP.\text{CQP}.

b. En déduire l’aire du quadrilatère OPQR.\text{OPQR}.

80
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit ABCD\text{ABCD} un carré de côté 5 cm. On considère un point M\text{M} mobile sur [AB].[\mathrm{AB}]. On note AM=x.\text{AM} = x . On considère un point R\text{R} de [BC][\mathrm{BC}] tel que BR=AM\text{BR} = \text{AM} et un point S\text{S} de [AD][\mathrm{AD}] tel que AS=BM.\text{AS} = \text{BM}.
On souhaite démontrer que les droites (MS)(\mathrm{MS}) et (MR)(\mathrm{MR}) sont perpendiculaires.

Repérage et configuration dans le plan

Partie A : Sans coordonnées

1. Calculer MS2\mathrm{MS}^{2} en fonction de x.x .

2. Calculer MR2\mathrm{MR}^{2} en fonction de x.x .

3. Pour calculer RS2,\mathrm{RS}^{2}, on introduit le point H\text{H} projeté orthogonal de R\text{R} sur (AD).(\mathrm{AD}).
a. Que peut-on dire du triangle RSH ?\text{RSH ?}

b. Montrer que SH=2x5.\text{SH} = 2x - 5 .

c. En déduire RS2\text{RS}^2 en fonction de x.x .

4. Conclure.


Partie B : Avec coordonnées
On introduit le repère (D ; C , A)\text{(D ; C , A)}.
1. Déterminer les coordonnées de M,\text{M,} R\text{R} et S\text{S} en fonction de x.x .

2. Calculer les distances MS,\text{MS,} MR\text{MR} et RS.\text{RS.}

3. Montrer que le triangle MRS\text{MRS} est rectangle.

4. Conclure.


81
[Calculer.]
On considère un triangle quelconque ABC.\text{ABC}. La formule d’Al-Kâshi est :
AB2=AC2+BC22×AC×BC×cos(BCA^)\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BCA}})

1. Calculer la longueur AB\text{AB} lorsque AC=\text{AC} = 8, BC=\text{BC} = 10 et BCA^=60\widehat{\mathrm{BCA}}=60^{\circ}

2. Calculer l’angle BCA^\widehat{\mathrm{BCA}} lorsque AB=\text{AB} = 5 , AC=\text{AC} = 4 et BC=\text{BC} = 6 .

3. De façon générale, que donne la formule d’Al-Kâshi lorsque BCA^=90°?\widehat{\mathrm{BCA}} = 90° ? Est-ce surprenant ?


72
PYTHON
[Modéliser.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) et on considère trois points A, B, C\text{A, B, C} de coordonnées respectives (xA;yA),(xB;yB),(xC;yC).\left(x_{\mathrm{A}}\:; y_{\mathrm{A}}\right),\left(x_{\mathrm{B}}\:; y_{\mathrm{B}}\right),\left(x_{\mathrm{C}}\:; y_{\mathrm{C}}\right).

 def EstRectangle(x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C):
  
	U = (x_A - x_C)**2 + (y_A - y_C)**2
  V = (x_A - x_B)**2 + (y_A - y_B)**2
  W = (x_B - x_C)**2 + (y_B - y_C)**2
  
  if U == (V + W):
  	print("Le triangle ABC est rectangle en B.")
  elif V == (U + W):
  	print("Le triangle ABC est rectangle en C.")
  elif W == (U + V):
  	print("Le triangle ABC est rectangle en A.")
  else:
  	print("Le triangle n'est pas rectangle.")
  return()

1. Dans la fonction Python ci-dessus, que représentent les variables U, V, W ?\text{U, V, W ?}


2. Quel théorème teste-t-on avec la ligne 7 ?


3. Quel est le rôle de cette fonction ?


4. Dans un repère orthonormé, placer les points P1(1;6),P2(4;3),P3(2;1),P4(0,5;0),P5(4;2)\text{P}_{1}(1\:; 6), \text{P}_{2}(4\:; 3), \text{P}_{3}(2\:; 1), \text{P}_{4}(0\text{,}5\:; 0), \text{P}_{5}(-4\:; 2) et P6(2;7).\text{P}_{6}(-2\: ; 7).

Lancer le module Geogebra
5. Tracer les triangles P1P2P3\text{P}_{1} \text{P}_{2} \text{P}_{3} et P4P5P6.\text{P}_{4} \text{P}_{5} \text{P}_{6}. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de ces triangles ?


6. Vérifier ces conjectures au moyen de l’algorithme.

77
[Raisonner.] ◉◉
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) d’unité 2 cm. On considère les points A(2;1),B(5;1),C(5;2)\mathrm{A}(2\:; 1), \mathrm{B}(5\:; 1), \mathrm{C}(5\:;-2) et D(2;2).\mathrm{D}(2\:;-2).

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
2. a. Déterminer les coordonnées de K,\text{K}, milieu de [AC].[\mathrm{AC}].

b. Déterminer les coordonnées de L,\text{L}, milieu de [BD].[\mathrm{BD}].

c. En déduire que ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme.

3. a. Calculer les distances AC, AD\text{AC, AD} et DC.\text{DC.}

b. En déduire la nature du triangle ADC.\text{ADC.}

4. Conclure sur la nature du parallélogramme ABCD.\text{ABCD}.

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
; ; ; ; et

Club de Maths


87
DÉMO
APPROFONDISSEMENT

On souhaite démontrer la formule d’Al-Kâshi qui dit que, dans un triangle ABC\text{ABC} quelconque, AB2=AC2+BC22×AC×BC×cos(BCA^).\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BCA}}).

1. Tracer un triangle ABC\text{ABC} et construire la hauteur issue du point B.\text{B} . On appelle H\text{H} le pied de cette hauteur.


Lancer le module Geogebra
2. En utilisant le triangle BHC,\text{BHC} , démontrer que :
a. HC=BC×cos(BCA^);\mathrm{HC}=\mathrm{BC} \times \cos(\widehat{\mathrm{BCA}})\: ;

b. HC=BC×sin(BCA^).\mathrm{HC}=\mathrm{BC} \times \sin(\widehat{\mathrm{BCA}}).

3. En déduire une expression de AH\text{AH} en fonction de BC,AC\text{BC} , \text{AC} et cos(BCA^).\cos (\widehat{\mathrm{BCA}}).

4. En utilisant le triangle ABH,\text{ABH}, donner une expression de AB2\mathrm{AB}^{2} puis retrouver la formule d’Al-Kâshi.


84
DÉMO
APPROFONDISSEMENT

On considère un triangle ABC\text{ABC} quelconque.
On veut démontrer que les trois médiatrices dans le triangle ABC\text{ABC} sont concourantes et que leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. On appelle m1m_{1} la médiatrice du segment [AB],m2[\mathrm{AB}], m_{2} la médiatrice du segment [AC][\mathrm{AC}] et m3m_{3} la médiatrice du segment [BC].[\mathrm{BC}].
On pourra faire une figure pour se faire une idée.

Lancer le module Geogebra
1. a. Démontrer que m1m_{1} et m2m_{2} ne sont pas parallèles.

2. On appelle O\text{O} le point d’intersection de m1m_{1} et m2.m_{2} .
a. Puisque O\text{O} appartient à m1m_{1}, quelle relation existe-t-il entre les longueurs OA\text{OA} et OB?\text{OB}\:?

b. De même, comparer les longueurs OA\text{OA} et OC.\text{OC}.

3. a.Que peut-on en déduire sur les longueurs OB\text{OB} et OC?\text{OC}\:?

b. Le point O\text{O} appartient-il alors à m3?m_{3}\:?

4. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la comparaison des trois longueurs OA,OB\text{OA} , \text{OB} et OC?\text{OC}\:?

5. Conclure en résumant les propriétés démontrées.


83
ÉNIGME

Dans un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}), on considère les points A(6;5),B(2;7),C(4;3)\text{A}(6\:; 5), \text{B}(-2\:; 7), \text{C}(4\:;-3) et D(2;3).\text{D}(-2\:;-3). Les points A,B,C\text{A} , \text{B} , \text{C} et D\text{D} sont-ils cocycliques ? Justifier.


85
DÉMO
APPROFONDISSEMENT

On considère un triangle ABC\text{ABC} quelconque avec ses trois hauteurs. HA,HB\mathrm{H}_{\mathrm{A}}, \mathrm{H}_{\mathrm{B}} et HC\text{H}_\text{C} sont les pieds des hauteurs respectivement issues de A,B\text{A} , \text{B} et C.\text{C}.
On veut démontrer que les trois hauteurs sont concourantes.
Repérage et configuration dans le plan
1. Reproduire la figure dans le module GeoGebra et construire :
a. la droite dAd_{\mathrm{A}} passant par A\text{A} et parallèle à (BC);(\mathrm{BC})\: ;
b. la droite dBd_{\mathrm{B}} passant par B\text{B} et parallèle à (AC);(\mathrm{AC})\: ;
c. la droite dCd_{\mathrm{C}} passant par C\text{C} et parallèle à (AB);(\mathrm{AB})\: ;
d. le point R,\text{R} , point d’intersection de dAd_{\mathrm{A}} et dB;d_{\mathrm{B}}\: ;
e. le point S,\text{S} , point d’intersection de dBd_{\mathrm{B}} et dC;d_{\mathrm{C}}\: ;
f. le point T,\text{T} , point d’intersection de dAd_{\mathrm{A}} et dC.d_{\mathrm{C}}.

Lancer le module Geogebra
2. a. Démontrer que les quadrilatères ABCT\text{ABCT} et ACBR\text{ACBR} sont des parallélogrammes.

b. En déduire que A\text{A} est le milieu de [RT].[\mathrm{RT}] .

c. En déduire alors que la droite (AHA)\left(\mathrm{AH}_{\mathrm{A}}\right) est la médiatrice du segment [RT].[\mathrm{RT}].

3. De même, démontrer que (BHB)\left(\mathrm{BH}_{\mathrm{B}}\right) est la médiatrice de [RS][\mathrm{RS}] et que (CHC)\left(\mathrm{CH}_{\mathrm{C}}\right) est la médiatrice de [ST].[\mathrm{ST}].

4. En utilisant les médiatrices du triangle RST,\text{RST} , que peut-on conclure sur les hauteurs du triangle ABC?\text{ABC}\: ?


82
ÉNIGME

Soit ABCD\text{ABCD} un carré de centre O\text{O}. K\text{K} et L\text{L} sont les milieux respectifs de [AB][\mathrm{AB}] et [OC].[\mathrm{OC}]. Quelle est la nature du triangle KLD?\text{KLD} ?


86
DÉMO
APPROFONDISSEMENT

On considère un triangle JKL\text{JKL} et on appelle H\text{H} le projeté orthogonal de K\text{K} sur la droite (JL).(\mathrm{JL}).

1. Donner la formule permettant de calculer l’aire du triangle JKL\text{JKL} en utilisant les notations de l’énoncé.

2. Démontrer que KH=JK×sin(LJK^).\mathrm{KH}=\mathrm{JK} \times \sin (\widehat{\mathrm{LJK}}).

3. En déduire alors une nouvelle expression de l’aire du triangle JKL\text{JKL} sans utiliser une hauteur.

4. Calculer l’aire du triangle ABC\text{ABC} telle que AB=6,AC=5\text{AB} = 6 , \text{AC} = 5 et BAC^=30.\widehat{\mathrm{BAC}}=30^{\circ}.

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