Chapitre 5
Synthèse
Synthèse
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72
Python
[Modéliser.]On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O ; I , J}) et on considère trois points \text{A, B, C} de coordonnées respectives \left(x_{\mathrm{A}}\:; y_{\mathrm{A}}\right),\left(x_{\mathrm{B}}\:; y_{\mathrm{B}}\right),\left(x_{\mathrm{C}}\:; y_{\mathrm{C}}\right).
1. Dans la fonction Python ci-après, que représentent les variables \text{U, V, W ?}
2. Quel théorème teste-t-on avec la ligne 7 ?
3. Quel est le rôle de cette fonction ?
2. Quel théorème teste-t-on avec la ligne 7 ?
3. Quel est le rôle de cette fonction ?
def EstRectangle(x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C):
U = (x_A - x_C)**2 + (y_A - y_C)**2
V = (x_A - x_B)**2 + (y_A - y_B)**2
W = (x_B - x_C)**2 + (y_B - y_C)**2
if U == (V + W):
print("Le triangle ABC est rectangle en B.")
elif V == (U + W):
print("Le triangle ABC est rectangle en C.")
elif W == (U + V):
print("Le triangle ABC est rectangle en A.")
else:
print("Le triangle n'est pas rectangle.")
return()
4. Dans un repère orthonormé, placer les points \text{P}_{1}(1\:; 6), \text{P}_{2}(4\:; 3), \text{P}_{3}(2\:; 1), \text{P}_{4}(0\text{,}5\:; 0), \text{P}_{5}(-4\:; 2) et \text{P}_{6}(-2\: ; 7).
5. Tracer les triangles \text{P}_{1} \text{P}_{2} \text{P}_{3} et \text{P}_{4} \text{P}_{5} \text{P}_{6}. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de ces triangles ?
6. Vérifier ces conjectures au moyen de l'algorithme.
5. Tracer les triangles \text{P}_{1} \text{P}_{2} \text{P}_{3} et \text{P}_{4} \text{P}_{5} \text{P}_{6}. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de ces triangles ?
6. Vérifier ces conjectures au moyen de l'algorithme.
GeoGebra
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73
Python
[Modéliser.]
En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un programme Python qui, à partir des coordonnées
de trois points \text{A, B} et \text{C,} teste si \text{ABC} est équilatéral.
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74
[Raisonner.]On considère un repère orthonormé (\text{O ; I , J}) du plan. On donne les points \mathrm{A}(-1\: ; 6), \mathrm{B}(7\: ;-2), \mathrm{C}(1\: ;-2) et \mathrm{D}(9\: ; 6).
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. Construire le centre \Omega du cercle circonscrit au triangle \text{ABC}.
3. Donner, sans justification, les coordonnées de \Omega et calculer le rayon du cercle.
4. Montrer que les points \text{A, B, C} et \text{D} appartiennent à un même cercle : on dira qu'ils sont cocycliques.
5. Soit \text{M}, un point de coordonnées (4 ; 1).
a. Montrer que \text{M} appartient au segment [\mathrm{AB}].
b. Montrer que \text{M} appartient au segment [\mathrm{DC}].
c. Calculer \mathrm{MA} \times \mathrm{MB} et \mathrm{MC} \times \mathrm{MD}.
d. Conclure.
3. Donner, sans justification, les coordonnées de \Omega et calculer le rayon du cercle.
4. Montrer que les points \text{A, B, C} et \text{D} appartiennent à un même cercle : on dira qu'ils sont cocycliques.
5. Soit \text{M}, un point de coordonnées (4 ; 1).
a. Montrer que \text{M} appartient au segment [\mathrm{AB}].
b. Montrer que \text{M} appartient au segment [\mathrm{DC}].
c. Calculer \mathrm{MA} \times \mathrm{MB} et \mathrm{MC} \times \mathrm{MD}.
d. Conclure.
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75
[Raisonner.] Soit (\text{O ; I , J}) un repère orthonormé du plan. On considère le quart de cercle de centre \text{O} et de rayon 1 unité. Le point \text{M} de coordonnées \left(x_{\mathrm{M}}\:; y_{\mathrm{M}}\right) est un point mobile dans le quart de disque.
On note \text{H} le projeté orthogonal de \text{M} sur (\mathrm{OI}) et \mathrm{L} le projeté orthogonal de \text{M} sur (\mathrm{OJ}).
1. Montrer que \mathrm{IJ}=\sqrt{2}.
2. Expliquer pourquoi 0 \leqslant x_{\mathrm{M}} \leqslant 1 et 0 \leqslant y_{\mathrm{M}} \leqslant 1.
3. Déterminer la distance \text{OM}.
4. Calculer les coordonnées de \text{S}, milieu de [\mathrm{OI}].
5. On considère dans cette question que M est aussi sur la médiatrice de [\mathrm{OI}].
a. Montrer que x_{\mathrm{H}}=x_{\mathrm{M}}=\dfrac{1}{2}
2. Expliquer pourquoi 0 \leqslant x_{\mathrm{M}} \leqslant 1 et 0 \leqslant y_{\mathrm{M}} \leqslant 1.
3. Déterminer la distance \text{OM}.
4. Calculer les coordonnées de \text{S}, milieu de [\mathrm{OI}].
5. On considère dans cette question que M est aussi sur la médiatrice de [\mathrm{OI}].
a. Montrer que x_{\mathrm{H}}=x_{\mathrm{M}}=\dfrac{1}{2}
b. En déduire la distance \text{MH} et les coordonnées du point
M.
c. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{HOM}}.
d. Conclure en donnant les valeurs exactes de \cos \left(60^{\circ}\right) et \sin \left(60^{\circ}\right).
6. En raisonnant de manière analogue, déterminer les valeurs exactes de \cos \left(30^{\circ}\right) et \sin \left(30^{\circ}\right).
c. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{HOM}}.
d. Conclure en donnant les valeurs exactes de \cos \left(60^{\circ}\right) et \sin \left(60^{\circ}\right).
6. En raisonnant de manière analogue, déterminer les valeurs exactes de \cos \left(30^{\circ}\right) et \sin \left(30^{\circ}\right).
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76
[Raisonner.]
Soit \mathcal{C} un cercle de diamètre [\mathrm{OM}] tel que \text{OM} = 5 cm.
\text{P} est un point de \mathcal{C} tel que \text{OP} = 3,5 cm et \text{A} est un point de [\mathrm{MO}) tel que \text{OA} = 10 cm.
1. Réaliser une figure que l'on complètera au fil de l'exercice.
GeoGebra
2. Tracer la droite parallèle à (\mathrm{PM}) passant par \text{A}, elle coupe la droite (\mathrm{OP}) en \text{B}.
3. Montrer que le triangle \text{OAB} est rectangle en \text{B}.
4. Calculer les distances \mathrm{PM}, \mathrm{AB} et \text{OB}.
5. On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O ; M , N}).
a. Placer le point \text{N} afin que l'ordonnée du point \text{P} soit positif.
b. Déterminer les coordonnées des points \text{M, N} et \text{A.}
c. Les coordonnées de \text{B} peuvent-elles être égales à \mathrm{B}(-4\text{,}9\:;-5)\:?
3. Montrer que le triangle \text{OAB} est rectangle en \text{B}.
4. Calculer les distances \mathrm{PM}, \mathrm{AB} et \text{OB}.
5. On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O ; M , N}).
a. Placer le point \text{N} afin que l'ordonnée du point \text{P} soit positif.
b. Déterminer les coordonnées des points \text{M, N} et \text{A.}
c. Les coordonnées de \text{B} peuvent-elles être égales à \mathrm{B}(-4\text{,}9\:;-5)\:?
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77
[Raisonner.]
Le plan est muni d'un repère orthonormé (\text{O ; I , J}) d'unité 2 cm. On considère les points \mathrm{A}(2\:; 1), \mathrm{B}(5\:; 1), \mathrm{C}(5\:;-2) et \mathrm{D}(2\:;-2).
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. a. Déterminer les coordonnées de \text{K}, milieu de [\mathrm{AC}].
b. Déterminer les coordonnées de \text{L}, milieu de [\mathrm{BD}].
c. En déduire que \text{ABCD} est un parallélogramme.
3. a. Calculer les distances \text{AC, AD} et \text{DC.}
b. En déduire la nature du triangle \text{ADC.}
4. Conclure sur la nature du parallélogramme \text{ABCD}.
b. Déterminer les coordonnées de \text{L}, milieu de [\mathrm{BD}].
c. En déduire que \text{ABCD} est un parallélogramme.
3. a. Calculer les distances \text{AC, AD} et \text{DC.}
b. En déduire la nature du triangle \text{ADC.}
4. Conclure sur la nature du parallélogramme \text{ABCD}.
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78
[Raisonner.]
Soit \text{ABCD} un rectangle de centre \text{O} dont la longueur est le double de la largeur. On note \text{R} le milieu du segment [\mathrm{AB}], \mathrm{P} le milieu du segment [\mathrm{OC}] et \text{Q} le point du segment [\mathrm{BC}] tel que \mathrm{BQ}=\dfrac{1}{4} \mathrm{BC}.
L'objectif de l'exercice est de déterminer l'aire du quadrilatère \text{OPQR}. On considère le repère (\text{A ; R , D}).
L'objectif de l'exercice est de déterminer l'aire du quadrilatère \text{OPQR}. On considère le repère (\text{A ; R , D}).
1. Expliquer pourquoi le repère (\text{A ; R , D}) est un repère orthonormé du plan.
2. Donner, sans justification, les coordonnées des points \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{R} et \mathrm{Q}.
3. Calculer \text{AB} et \text{CB}. En déduire l'aire du triangle \text{ABC}.
4. Calculer \text{BR} et \text{BQ}. En déduire l'aire du triangle \text{BQR}.
2. Donner, sans justification, les coordonnées des points \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{R} et \mathrm{Q}.
3. Calculer \text{AB} et \text{CB}. En déduire l'aire du triangle \text{ABC}.
4. Calculer \text{BR} et \text{BQ}. En déduire l'aire du triangle \text{BQR}.
5. Calculer les coordonnées des points \text{O} et \text{P}.
6. Calculer l'aire du triangle \text{ARO}.
7. On note \text{H} le projeté orthogonal de \text{P} sur (\mathrm{BC}). On admet que \text{H} a pour coordonnées \left(2\:; \dfrac{3}{4}\right).
a. Calculer \text{HP}. En déduire l'aire du triangle \text{CQP}.
b. En déduire l'aire du quadrilatère \text{OPQR}.
6. Calculer l'aire du triangle \text{ARO}.
7. On note \text{H} le projeté orthogonal de \text{P} sur (\mathrm{BC}). On admet que \text{H} a pour coordonnées \left(2\:; \dfrac{3}{4}\right).
a. Calculer \text{HP}. En déduire l'aire du triangle \text{CQP}.
b. En déduire l'aire du quadrilatère \text{OPQR}.
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79
[Raisonner.]
On veut démontrer la propriété suivante :« Le projeté orthogonal d'un point \text{M} sur une droite \Delta est le point de \Delta le plus proche de \text{M}. »
1. Réaliser la figure suivante.
a. Tracer une droite \Delta et placer un point \text{M} n'appartenant pas à cette droite ;
b. Construire le point \text{H}, projeté orthogonal de \text{M} sur \Delta.
c. Placer deux points distincts \text{A} et \text{B} sur \Delta. et différents de \text{H}.
GeoGebra
b. Construire le point \text{H}, projeté orthogonal de \text{M} sur \Delta.
c. Placer deux points distincts \text{A} et \text{B} sur \Delta. et différents de \text{H}.
2. Traduire la propriété que l'on cherche à démontrer en utilisant les points de la figure construite.
3. a. Que peut-on dire des triangles \mathrm{AMH} et \mathrm{MBH} \:?
b. En déduire le plus grand côté de chacun de ses triangles.
c. La position des points \text{A} et \text{B} influence-t-elle la réponse à la question précédente ?
4. Conclure.
3. a. Que peut-on dire des triangles \mathrm{AMH} et \mathrm{MBH} \:?
b. En déduire le plus grand côté de chacun de ses triangles.
c. La position des points \text{A} et \text{B} influence-t-elle la réponse à la question précédente ?
4. Conclure.
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80
[Raisonner.] Soit \text{ABCD} un carré de côté 5 cm. On considère un point \text{M} mobile sur [\mathrm{AB}]. On note \text{AM} = x . On considère un point \text{R} de [\mathrm{BC}] tel que \text{BR} = \text{AM} et un point \text{S} de [\mathrm{AD}] tel que \text{AS} = \text{BM}.
On souhaite démontrer que les droites (\mathrm{MS}) et (\mathrm{MR}) sont perpendiculaires.
Partie A : Sans coordonnées
1. Calculer \mathrm{MS}^{2} en fonction de x .
2. Calculer \mathrm{MR}^{2} en fonction de x .
3. Pour calculer \mathrm{RS}^{2}, on introduit le point \text{H} projeté orthogonal de \text{R} sur (\mathrm{AD}).
a. Que peut-on dire du triangle \text{RSH ?}
b. Donner une expression de \text{SH} en fonction des valeurs de x.
c. En déduire \text{RS}^2 en fonction de x .
4. Conclure.
1. Calculer \mathrm{MS}^{2} en fonction de x .
2. Calculer \mathrm{MR}^{2} en fonction de x .
3. Pour calculer \mathrm{RS}^{2}, on introduit le point \text{H} projeté orthogonal de \text{R} sur (\mathrm{AD}).
a. Que peut-on dire du triangle \text{RSH ?}
b. Donner une expression de \text{SH} en fonction des valeurs de x.
c. En déduire \text{RS}^2 en fonction de x .
4. Conclure.
Partie B : Avec coordonnées
On introduit le repère \text{(D ; C , A)}.
1. Déterminer les coordonnées de \text{M,} \text{R} et \text{S} en fonction de x .
2. Calculer les distances \text{MS,} \text{MR} et \text{RS.}
3. Montrer que le triangle \text{MRS} est rectangle.
4. Conclure.
On introduit le repère \text{(D ; C , A)}.
1. Déterminer les coordonnées de \text{M,} \text{R} et \text{S} en fonction de x .
2. Calculer les distances \text{MS,} \text{MR} et \text{RS.}
3. Montrer que le triangle \text{MRS} est rectangle.
4. Conclure.
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81
[Calculer.]
On considère un triangle quelconque \text{ABC}. La formule d'Al-Kâshi est :\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BCA}})
1. Calculer la longueur \text{AB} lorsque \text{AC} = 8, \text{BC} = 10 et \widehat{\mathrm{BCA}}=60^{\circ}
2. Calculer l'angle \widehat{\mathrm{BCA}} lorsque \text{AB} = 5 , \text{AC} = 4 et \text{BC} = 6 .
3. De façon générale, que donne la formule d'Al-Kâshi lorsque \widehat{\mathrm{BCA}} = 90° ? Est-ce surprenant ?
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Club de Maths
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82
Énigme
Soit \text{ABCD} un carré de centre \text{O}. \text{K} et \text{L} sont les milieux respectifs de [\mathrm{AB}] et [\mathrm{OC}]. Quelle est la nature du triangle \text{KLD} ?
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83
Énigme
Dans un repère orthonormé (\text{O ; I , J}), on considère les points \text{A}(6\:; 5), \text{B}(-2\:; 7), \text{C}(4\:;-3)
et \text{D}(-2\:;-3). Les points \text{A} , \text{B} , \text{C} et \text{D} sont-ils cocycliques ? Justifier.
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84
Démo
Approfondissement
On considère un triangle \text{ABC} quelconque.
On veut démontrer que les trois médiatrices dans le triangle \text{ABC} sont concourantes et que leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. On appelle m_{1} la médiatrice du segment [\mathrm{AB}], m_{2} la médiatrice du segment [\mathrm{AC}] et m_{3} la médiatrice du segment [\mathrm{BC}].
On pourra faire une figure pour se faire une idée.
GeoGebra
1. a. Démontrer que m_{1} et m_{2} ne sont pas parallèles.
2. On appelle \text{O} le point d'intersection de m_{1} et m_{2} .
a. Puisque \text{O} appartient à m_{1}, quelle relation existe-t-il entre les longueurs \text{OA} et \text{OB}\:?
b. De même, comparer les longueurs \text{OA} et \text{OC}.
3. a.Que peut-on en déduire sur les longueurs \text{OB} et \text{OC}\:?
b. Le point \text{O} appartient-il alors à m_{3}\:?
4. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la comparaison des trois longueurs \text{OA} , \text{OB} et \text{OC}\:?
5. Conclure en résumant les propriétés démontrées.
2. On appelle \text{O} le point d'intersection de m_{1} et m_{2} .
a. Puisque \text{O} appartient à m_{1}, quelle relation existe-t-il entre les longueurs \text{OA} et \text{OB}\:?
b. De même, comparer les longueurs \text{OA} et \text{OC}.
3. a.Que peut-on en déduire sur les longueurs \text{OB} et \text{OC}\:?
b. Le point \text{O} appartient-il alors à m_{3}\:?
4. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la comparaison des trois longueurs \text{OA} , \text{OB} et \text{OC}\:?
5. Conclure en résumant les propriétés démontrées.
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85
Démo
Approfondissement
On considère un triangle \text{ABC} quelconque avec ses trois hauteurs. \mathrm{H}_{\mathrm{A}}, \mathrm{H}_{\mathrm{B}} et \text{H}_\text{C} sont les pieds des hauteurs respectivement issues de \text{A} , \text{B} et \text{C}.
On veut démontrer que les trois hauteurs sont concourantes.
1. Reproduire la figure dans le module GeoGebra et construire :
a. la droite d_{\mathrm{A}} passant par \text{A} et parallèle à (\mathrm{BC})\: ;
b. la droite d_{\mathrm{B}} passant par \text{B} et parallèle à (\mathrm{AC})\: ;
c. la droite d_{\mathrm{C}} passant par \text{C} et parallèle à (\mathrm{AB})\: ;
d. le point \text{R} , point d'intersection de d_{\mathrm{A}} et d_{\mathrm{B}}\: ;
e. le point \text{S} , point d'intersection de d_{\mathrm{B}} et d_{\mathrm{C}}\: ;
f. le point \text{T} , point d'intersection de d_{\mathrm{A}} et d_{\mathrm{C}}.
On veut démontrer que les trois hauteurs sont concourantes.
a. la droite d_{\mathrm{A}} passant par \text{A} et parallèle à (\mathrm{BC})\: ;
b. la droite d_{\mathrm{B}} passant par \text{B} et parallèle à (\mathrm{AC})\: ;
c. la droite d_{\mathrm{C}} passant par \text{C} et parallèle à (\mathrm{AB})\: ;
d. le point \text{R} , point d'intersection de d_{\mathrm{A}} et d_{\mathrm{B}}\: ;
e. le point \text{S} , point d'intersection de d_{\mathrm{B}} et d_{\mathrm{C}}\: ;
f. le point \text{T} , point d'intersection de d_{\mathrm{A}} et d_{\mathrm{C}}.
GeoGebra
2. a. Démontrer que les quadrilatères \text{ABCT} et \text{ACBR} sont des parallélogrammes.
b. En déduire que \text{A} est le milieu de [\mathrm{RT}] .
c. En déduire alors que la droite \left(\mathrm{AH}_{\mathrm{A}}\right) est la médiatrice du segment [\mathrm{RT}].
3. De même, démontrer que \left(\mathrm{BH}_{\mathrm{B}}\right) est la médiatrice de [\mathrm{RS}] et que \left(\mathrm{CH}_{\mathrm{C}}\right) est la médiatrice de [\mathrm{ST}].
4. En utilisant les médiatrices du triangle \text{RST} , que peut-on conclure sur les hauteurs du triangle \text{ABC}\: ?
b. En déduire que \text{A} est le milieu de [\mathrm{RT}] .
c. En déduire alors que la droite \left(\mathrm{AH}_{\mathrm{A}}\right) est la médiatrice du segment [\mathrm{RT}].
3. De même, démontrer que \left(\mathrm{BH}_{\mathrm{B}}\right) est la médiatrice de [\mathrm{RS}] et que \left(\mathrm{CH}_{\mathrm{C}}\right) est la médiatrice de [\mathrm{ST}].
4. En utilisant les médiatrices du triangle \text{RST} , que peut-on conclure sur les hauteurs du triangle \text{ABC}\: ?
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86
Démo
Approfondissement
On considère un triangle \text{JKL} et on appelle \text{H} le projeté orthogonal de \text{K} sur la droite (\mathrm{JL}).
1. Donner la formule permettant de calculer l'aire du triangle \text{JKL} en utilisant les notations de l'énoncé.
2. Démontrer que \mathrm{KH}=\mathrm{JK} \times \sin (\widehat{\mathrm{LJK}}).
3. En déduire alors une nouvelle expression de l'aire du triangle \text{JKL} sans utiliser une hauteur.
4. Calculer l'aire du triangle \text{ABC} telle que \text{AB} = 6 , \text{AC} = 5 et \widehat{\mathrm{BAC}}=30^{\circ}.
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87
Démo
Appronfondissement
On souhaite démontrer la formule d'Al-Kâshi qui dit que, dans un triangle \text{ABC} quelconque, \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BCA}}).
1. Tracer un triangle \text{ABC} et construire la hauteur issue du point \text{B} . On appelle \text{H} le pied de cette hauteur.
GeoGebra
2. En utilisant le triangle \text{BHC} , démontrer que :
\mathrm{HC}=\mathrm{BC} \times \cos(\widehat{\mathrm{BCA}})\:
et que \mathrm{HC}=\mathrm{BC} \times \sin(\widehat{\mathrm{BCA}}).
3. En déduire une expression de \text{AH} en fonction de \text{BC} , \text{AC} et \cos (\widehat{\mathrm{BCA}}).
4. En utilisant le triangle \text{ABH}, donner une expression de \mathrm{AB}^{2} puis retrouver la formule d'Al-Kâshi.
3. En déduire une expression de \text{AH} en fonction de \text{BC} , \text{AC} et \cos (\widehat{\mathrm{BCA}}).
4. En utilisant le triangle \text{ABH}, donner une expression de \mathrm{AB}^{2} puis retrouver la formule d'Al-Kâshi.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
