Vue papier
Découvrez la vue papier en cliquant ici
Chapitre 5
Synthèse
Synthèse
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
72
Python
[Modéliser.]On munit le plan d'un repère orthonormé et on considère trois points de coordonnées respectives
1. Dans la fonction Python ci-après, que représentent les variables
2. Quel théorème teste-t-on avec la ligne 7 ?
3. Quel est le rôle de cette fonction ?
2. Quel théorème teste-t-on avec la ligne 7 ?
3. Quel est le rôle de cette fonction ?
def EstRectangle(x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C):
U = (x_A - x_C)**2 + (y_A - y_C)**2
V = (x_A - x_B)**2 + (y_A - y_B)**2
W = (x_B - x_C)**2 + (y_B - y_C)**2
if U == (V + W):
print("Le triangle ABC est rectangle en B.")
elif V == (U + W):
print("Le triangle ABC est rectangle en C.")
elif W == (U + V):
print("Le triangle ABC est rectangle en A.")
else:
print("Le triangle n'est pas rectangle.")
return()
4. Dans un repère orthonormé, placer les points et
5. Tracer les triangles et Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de ces triangles ?
6. Vérifier ces conjectures au moyen de l'algorithme.
5. Tracer les triangles et Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de ces triangles ?
6. Vérifier ces conjectures au moyen de l'algorithme.
GeoGebra
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
73
Python
[Modéliser.]
En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un programme Python qui, à partir des coordonnées
de trois points et teste si est équilatéral.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
74
[Raisonner.]On considère un repère orthonormé du plan. On donne les points et
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. Construire le centre du cercle circonscrit au triangle
3. Donner, sans justification, les coordonnées de et calculer le rayon du cercle.
4. Montrer que les points et appartiennent à un même cercle : on dira qu'ils sont cocycliques.
5. Soit un point de coordonnées
a. Montrer que appartient au segment
b. Montrer que appartient au segment
c. Calculer et
d. Conclure.
3. Donner, sans justification, les coordonnées de et calculer le rayon du cercle.
4. Montrer que les points et appartiennent à un même cercle : on dira qu'ils sont cocycliques.
5. Soit un point de coordonnées
a. Montrer que appartient au segment
b. Montrer que appartient au segment
c. Calculer et
d. Conclure.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
75
[Raisonner.] Soit un repère orthonormé du plan. On considère le quart de cercle de centre et de rayon 1 unité. Le point de coordonnées est un point mobile dans le quart de disque.
On note le projeté orthogonal de sur et le projeté orthogonal de sur
1. Montrer que
2. Expliquer pourquoi et
3. Déterminer la distance
4. Calculer les coordonnées de milieu de
5. On considère dans cette question que M est aussi sur la médiatrice de
a. Montrer que
2. Expliquer pourquoi et
3. Déterminer la distance
4. Calculer les coordonnées de milieu de
5. On considère dans cette question que M est aussi sur la médiatrice de
a. Montrer que
b. En déduire la distance et les coordonnées du point
M.
c. Déterminer la mesure de l'angle
d. Conclure en donnant les valeurs exactes de et
6. En raisonnant de manière analogue, déterminer les valeurs exactes de et
c. Déterminer la mesure de l'angle
d. Conclure en donnant les valeurs exactes de et
6. En raisonnant de manière analogue, déterminer les valeurs exactes de et
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
76
[Raisonner.]
Soit un cercle de diamètre tel que 5 cm.
est un point de tel que 3,5 cm et est un point de tel que 10 cm.
1. Réaliser une figure que l'on complètera au fil de l'exercice.
GeoGebra
2. Tracer la droite parallèle à passant par elle coupe la droite en
3. Montrer que le triangle est rectangle en
4. Calculer les distances et
5. On munit le plan d'un repère orthonormé
a. Placer le point afin que l'ordonnée du point soit positif.
b. Déterminer les coordonnées des points et
c. Les coordonnées de peuvent-elles être égales à
3. Montrer que le triangle est rectangle en
4. Calculer les distances et
5. On munit le plan d'un repère orthonormé
a. Placer le point afin que l'ordonnée du point soit positif.
b. Déterminer les coordonnées des points et
c. Les coordonnées de peuvent-elles être égales à
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
77
[Raisonner.]
Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité 2 cm. On considère les points et
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. a. Déterminer les coordonnées de milieu de
b. Déterminer les coordonnées de milieu de
c. En déduire que est un parallélogramme.
3. a. Calculer les distances et
b. En déduire la nature du triangle
4. Conclure sur la nature du parallélogramme
b. Déterminer les coordonnées de milieu de
c. En déduire que est un parallélogramme.
3. a. Calculer les distances et
b. En déduire la nature du triangle
4. Conclure sur la nature du parallélogramme
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
78
[Raisonner.]
Soit un rectangle de centre dont la longueur est le double de la largeur. On note le milieu du segment le milieu du segment et le point du segment tel que
L'objectif de l'exercice est de déterminer l'aire du quadrilatère On considère le repère
L'objectif de l'exercice est de déterminer l'aire du quadrilatère On considère le repère
1. Expliquer pourquoi le repère est un repère orthonormé du plan.
2. Donner, sans justification, les coordonnées des points et
3. Calculer et En déduire l'aire du triangle
4. Calculer et En déduire l'aire du triangle
2. Donner, sans justification, les coordonnées des points et
3. Calculer et En déduire l'aire du triangle
4. Calculer et En déduire l'aire du triangle
5. Calculer les coordonnées des points et
6. Calculer l'aire du triangle
7. On note le projeté orthogonal de sur On admet que a pour coordonnées
a. Calculer En déduire l'aire du triangle
b. En déduire l'aire du quadrilatère
6. Calculer l'aire du triangle
7. On note le projeté orthogonal de sur On admet que a pour coordonnées
a. Calculer En déduire l'aire du triangle
b. En déduire l'aire du quadrilatère
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
79
[Raisonner.]
On veut démontrer la propriété suivante :« Le projeté orthogonal d'un point sur une droite est le point de le plus proche de »
1. Réaliser la figure suivante.
a. Tracer une droite et placer un point n'appartenant pas à cette droite ;
b. Construire le point projeté orthogonal de sur
c. Placer deux points distincts et sur et différents de
GeoGebra
b. Construire le point projeté orthogonal de sur
c. Placer deux points distincts et sur et différents de
2. Traduire la propriété que l'on cherche à démontrer en utilisant les points de la figure construite.
3. a. Que peut-on dire des triangles et
b. En déduire le plus grand côté de chacun de ses triangles.
c. La position des points et influence-t-elle la réponse à la question précédente ?
4. Conclure.
3. a. Que peut-on dire des triangles et
b. En déduire le plus grand côté de chacun de ses triangles.
c. La position des points et influence-t-elle la réponse à la question précédente ?
4. Conclure.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
80
[Raisonner.] Soit un carré de côté 5 cm. On considère un point mobile sur On note On considère un point de tel que et un point de tel que
On souhaite démontrer que les droites et sont perpendiculaires.
Partie A : Sans coordonnées
1. Calculer en fonction de
2. Calculer en fonction de
3. Pour calculer on introduit le point projeté orthogonal de sur
a. Que peut-on dire du triangle
b. Donner une expression de en fonction des valeurs de .
c. En déduire en fonction de
4. Conclure.
1. Calculer en fonction de
2. Calculer en fonction de
3. Pour calculer on introduit le point projeté orthogonal de sur
a. Que peut-on dire du triangle
b. Donner une expression de en fonction des valeurs de .
c. En déduire en fonction de
4. Conclure.
Partie B : Avec coordonnées
On introduit le repère .
1. Déterminer les coordonnées de et en fonction de
2. Calculer les distances et
3. Montrer que le triangle est rectangle.
4. Conclure.
On introduit le repère .
1. Déterminer les coordonnées de et en fonction de
2. Calculer les distances et
3. Montrer que le triangle est rectangle.
4. Conclure.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
81
[Calculer.]
On considère un triangle quelconque La formule d'Al-Kâshi est :1. Calculer la longueur lorsque 8, 10 et
2. Calculer l'angle lorsque 5 , 4 et 6 .
3. De façon générale, que donne la formule d'Al-Kâshi lorsque Est-ce surprenant ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Club de Maths
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
82
Énigme
Soit un carré de centre . et sont les milieux respectifs de et Quelle est la nature du triangle
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
83
Énigme
Dans un repère orthonormé , on considère les points
et Les points et sont-ils cocycliques ? Justifier.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
84
Démo
Approfondissement
On considère un triangle quelconque.
On veut démontrer que les trois médiatrices dans le triangle sont concourantes et que leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. On appelle la médiatrice du segment la médiatrice du segment et la médiatrice du segment
On pourra faire une figure pour se faire une idée.
GeoGebra
1. a. Démontrer que et ne sont pas parallèles.
2. On appelle le point d'intersection de et
a. Puisque appartient à , quelle relation existe-t-il entre les longueurs et
b. De même, comparer les longueurs et
3. a.Que peut-on en déduire sur les longueurs et
b. Le point appartient-il alors à
4. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la comparaison des trois longueurs et
5. Conclure en résumant les propriétés démontrées.
2. On appelle le point d'intersection de et
a. Puisque appartient à , quelle relation existe-t-il entre les longueurs et
b. De même, comparer les longueurs et
3. a.Que peut-on en déduire sur les longueurs et
b. Le point appartient-il alors à
4. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la comparaison des trois longueurs et
5. Conclure en résumant les propriétés démontrées.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
85
Démo
Approfondissement
On considère un triangle quelconque avec ses trois hauteurs. et sont les pieds des hauteurs respectivement issues de et
On veut démontrer que les trois hauteurs sont concourantes.
1. Reproduire la figure dans le module GeoGebra et construire :
a. la droite passant par et parallèle à
b. la droite passant par et parallèle à
c. la droite passant par et parallèle à
d. le point point d'intersection de et
e. le point point d'intersection de et
f. le point point d'intersection de et
On veut démontrer que les trois hauteurs sont concourantes.
a. la droite passant par et parallèle à
b. la droite passant par et parallèle à
c. la droite passant par et parallèle à
d. le point point d'intersection de et
e. le point point d'intersection de et
f. le point point d'intersection de et
GeoGebra
2. a. Démontrer que les quadrilatères et sont des parallélogrammes.
b. En déduire que est le milieu de
c. En déduire alors que la droite est la médiatrice du segment
3. De même, démontrer que est la médiatrice de et que est la médiatrice de
4. En utilisant les médiatrices du triangle que peut-on conclure sur les hauteurs du triangle
b. En déduire que est le milieu de
c. En déduire alors que la droite est la médiatrice du segment
3. De même, démontrer que est la médiatrice de et que est la médiatrice de
4. En utilisant les médiatrices du triangle que peut-on conclure sur les hauteurs du triangle
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
86
Démo
Approfondissement
On considère un triangle et on appelle le projeté orthogonal de sur la droite
1. Donner la formule permettant de calculer l'aire du triangle en utilisant les notations de l'énoncé.
2. Démontrer que
3. En déduire alors une nouvelle expression de l'aire du triangle sans utiliser une hauteur.
4. Calculer l'aire du triangle telle que et
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
87
Démo
Appronfondissement
On souhaite démontrer la formule d'Al-Kâshi qui dit que, dans un triangle quelconque,
1. Tracer un triangle et construire la hauteur issue du point On appelle le pied de cette hauteur.
GeoGebra
2. En utilisant le triangle démontrer que :
et que
3. En déduire une expression de en fonction de et
4. En utilisant le triangle donner une expression de puis retrouver la formule d'Al-Kâshi.
3. En déduire une expression de en fonction de et
4. En utilisant le triangle donner une expression de puis retrouver la formule d'Al-Kâshi.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
