Distance dans un repère orthonormé

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 34 ; 47 ; 54 et 65
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 40 ; 48 ; 59 ; 66 ; 76 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 43 ; 53 ; 69 ; 70 ; 75 et 80

47

[Calculer.] ◉◉◉
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(\text{O ; I , J})$ d’unité 1 cm. On considère trois points du plan $\mathrm{A}(-5\:; 2),$ $\mathrm{B}(4\:;-1)$ et $\mathrm{C}(-2\:; 5).$

1. Placer les points $\text{A, B}$ et $\text{C}$ dans le repère $(\text{O ; I , J}).$

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2. Calculer les distances $\text{AB, AC }$et $\text{BC}$.

3. En déduire la nature du triangle $\text{ABC}$. Justifier.

48

[Raisonner.] ◉◉◉
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(\text{O ; I , J})$ on considère les trois points $\text{A}(-3\:; 3), \text{B}(2\:; 4)$ et $\mathrm{C}(1\:;-4).$

1. Faire une figure.

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2. Conjecturer la nature du triangle $\text{ABC}$.

3. Démontrer cette conjecture.

49

[Communiquer.]
Aïden souhaite réaliser un logo pour la gazette médicale de son quartier. Il propose la maquette suivante composée d’un coeur et d’une ligne brisée. Le plan est muni d’un repère $(\text{O ; A , J})$ orthonormé.

1. Dans le repère $(\text{O ; A , J})$, déterminer les coordonnées des points $\text{A, B, C, D, E, F}$ et $\text{G.}$

2. Pour être imprimée sans frais supplémentaires, la longueur de la ligne brisée $\text{ABCDEFG}$ doit être inférieure à 7 unités. Aïden doit-il prévoir un budget additionnel ?

50

[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O ; I , J})$, on considère les points $\mathrm{A}\left(\dfrac{-1}{2} ;-1\right), \mathrm{B}\left(\dfrac{1}{2} ; 2\right), \mathrm{C}\left(\dfrac{3}{2} ;-1\right)$ et $\mathrm{D}\left(\dfrac{1}{2} ;-4\right).$

1. Faire une figure.

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2. Conjecturer la nature du quadrilatère $\text{ABCD.}$


3. Démontrer cette conjecture.

51

[Chercher.]
Fabrice doit réaliser le logo ci-dessous. Il est composé d’un carré $\text{ABCD}$ de centre $\text{O}$ et de trois triangles hachurés. La droite $(\mathrm{OH})$ est un axe de symétrie.

Calculer le rapport de l’aire de la partie hachurée sur l’aire de $\text{ABCD.}$

52

[Calculer.]
Soit $\text{ABCD}$ un carré de centre $\text{O.}$ On considère les points $\text{E}$ et $\text{F,}$ milieux respectifs de $[\mathrm{DC}]$ et $[\mathrm{OB}].$

1. Faire une figure.

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2. Lire les coordonnées de tous les points dans le repère $(\text{A ; B , D})$

3. Calculer $\text{EF, EA}$ et $\text{FA.}$

4. En déduire la nature du triangle $\text{EFA.}$

53

GEOGEBRA

[Chercher.] ◉◉◉
Soit $\text{ABCD}$ un rectangle. On considère un point $\text{M}$ à l’intérieur de ce rectangle. On cherche à énoncer une propriété sur le nombre $q=\mathrm{MA}^{2}-\mathrm{MB}^{2}+\mathrm{MC}^{2}-\mathrm{MD}^{2}.$

1. Ouvrir la fenêtre graphique de GeoGebra et refaire la figure.

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2. Afficher la valeur de $q.$

3. Déplacer le point $\text{M}$ et faire une conjecture.

4. On considère deux points $\text{E}$ et $\text{F}$ du rectangle $\text{ABCD}$ tels que $\text{AEFD}$ soit un carré.
a. Placer les points $\text{E}$ et $\text{F.}$

b. Que peut-on dire du repère $(\text{A ; E , D})\: ?$

c. Soit $(a\: ; b)$ les coordonnées du point $\text{M}$ dans le repère $(\text{A ; E , D})\: ?$ Exprimer $\text{MA , MB , MC}$ et $\text{MD}$ en fonction de $a$ et $b .$ Conclure.

54

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(\text{O ; I , J})$ un repère orthonormé. Dans chacun des cas, déterminer si les points $\text{A , B }$ et $\text{C}$ sont alignés.

1. $\mathrm{A}(1\:; 1), \mathrm{B}(4\:; 1)$ et $\mathrm{C}(4\:; 5)$

2. $\mathrm{A}(3\:; 2), \mathrm{B}(-3\:; -1)$ et $\mathrm{C}(4\:; 3)$

3. $\mathrm{A}(6\:; -1), \mathrm{B}(4\:; 0)$ et $\mathrm{C}(0\:; 2)$

55

[Représenter.]

Les points suivants $\text{R, S }$et $\text{T}$ sont-ils alignés ? Justifier.

56

[Chercher.]
Une famille de touristes visite New-York et se trouve au niveau du point rouge indiqué. Dans le repère, une unité est égale à 180 mètres.

La famille souhaite se rendre à la salle de concert Carnegie Hall puis au musée d’art moderne en suivant les rues. En utilisant le repère et l’échelle indiquée, donner une estimation de la distance parcourue en mètres.

57

[Calculer.]
Soit $(\text{O ; I , J})$ un repère orthonormé. Dans chacun des cas, déterminer si les points $\text{A , B }$ et $\text{C}$ sont alignés.

1. $\text{A}\left(1\:; \dfrac{-5}{4}\right), \text{B}\left(5\:; \dfrac{7}{4}\right)$ et $\mathrm{C}\left(12\:; \dfrac{13}{4}\right).$


2. $\text{A}\left(0\:; \dfrac{1}{3}\right), \text{B}\left(3\:; \dfrac{-1}{3}\right)$ et $\mathrm{C}\left(9\:; \dfrac{-5}{3}\right).$

58

PYTHON

[Modéliser.]
On considère le programme suivant écrit avec Python, qui permet de savoir si trois points $\text{A, B}$ et $\text{C}$ sont alignés dans un repère orthonormé.

from math import sqrt

def Distance(xA, yA, xB, yB):
	return sqrt((xA - xB)**2 + (yA - yB)**2)

def Alignement(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
	d1 = Distance(xA, yA, xB, yB)
  d2 = Distance(xB, yB, xC, yC)
  d3 = Distance(xA, yA, xC, yC)
  if d1 + d2 == d3:
  	return True
  else:
  	return False

1. Que fait la fonction Distance ?

2. Tester l’algorithme avec les points $\mathrm{A}(-1\:;-1), \mathrm{B}(1\:; 0)$ et $\mathrm{C}(5\:; 2).$

3.On considère les points $\mathrm{A}(2\:;2), \mathrm{B}(5\:; 2)$ et $\mathrm{C}(3\:; 2).$
a. Sont-ils alignés ?

b. Appliquer l’algorithme avec ces points : que renvoit- il$$? Expliquer pourquoi.

59

[Chercher.] ◉◉◉
Dans le repère orthonormé ci-dessous, l’unité est le centimètre. On considère deux points fixes $\text{A}$ et $\text{B}$ dans ce repère.

1. Montrer que $\mathrm{AB}=\sqrt{72}$ cm.


2. Avec l'outil de dessin sur la figure, construire le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[\mathrm{AB}].$

3. Placer deux points différents $\text{E}$ et $\text{F}$ sur $\mathcal{C}$ distincts de $\text{A}$ et $\text{B.}$

4. Montrer que les triangles $\text{ABE}$ et $\text{ABF}$ sont rectangles respectivement en $\text{E}$ et $\text{F.}$

60

GEOGEBRA

[Raisonner.]
On considère la figure ci-dessous. $\text{P}$ est un point mobile sur $\text {(OE)}$ et $\text{OPQR}$ est un carré. Le but de l’exercice est de déterminer s’il existe une position du point $\text{P}$ telle que les points $\text{F, Q}$ et $\text{E}$ soient alignés.

1. Sur GeoGebra, réaliser la construction.

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2. Conjecturer s’il existe une position du point $\text{P}$ satisfaisant les contraintes.

3. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère $(\text{O ; I , J})$ en posant $x_{\mathrm{p}}=4.$

4. Calculer les distances $\text{FQ, QE}$ et $\text{FE.}$

5. Conclure.

61

[Chercher.]
La façade d’une maison que l’on souhaite peindre a été modélisée à l’aide du logiciel GeoGebra. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(\text{O ; U , V})$ non représenté.
Les quadrilatères $\text{FGHI, JKLM}$ et $\text{PQRS}$ ne doivent pas être peints. La droite $(\mathrm{EH})$ est un axe de symétrie.

Déterminer l’aire de la surface à peindre de la façade avant.

62

PYTHON

[Modéliser.]
On considère le programme écrit en Python ci-après. On munit le plan d’un repère orthonormé $(\text{O ; I , J}).$

def Fonction_mystere(xA, yA):
	xN = -1 * xA
  yN = yA
  return(xN, yN)

1. Tester le programme avec les points $\mathrm{A}_{1}(4 ; 3), \mathrm{A}_{2}(0 ; 2)$ et $\mathrm{A}_{3}(-1 ;-4)$ et placer les points $\mathrm{N}_{1}, \mathrm{N}_{2}$ et $\mathrm{N}_{3}$ correspondants dans un repère.

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2. Quel est le rôle de ce programme ?

3. Calculer les distances $\mathrm{O} \mathrm{A}_{i}$ et $\mathrm{ON}_{i}$ pour $i = 1, i = 2$ et $i = 3.$ Quelle propriété vue au collège retrouve-t-on ?

4. Écrire un programme en Python qui caractérise la symétrie de centre $\text{O}.$