Entrainement 2


2. Distance dans un repère orthonormé





57
[Calculer.]
Soit (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) un repère orthonormé. Dans chacun des cas, déterminer si les points A , B \text{A , B } et C\text{C} sont alignés.

1. A(1;54),B(5;74)\text{A}\left(1\:; \dfrac{-5}{4}\right), \text{B}\left(5\:; \dfrac{7}{4}\right) et C(12;134).\mathrm{C}\left(12\:; \dfrac{13}{4}\right).


2. A(0;13),B(3;13)\text{A}\left(0\:; \dfrac{1}{3}\right), \text{B}\left(3\:; \dfrac{-1}{3}\right) et C(9;53).\mathrm{C}\left(9\:; \dfrac{-5}{3}\right).


58
PYTHON
[Modéliser.]
On considère le programme suivant écrit avec Python, qui permet de savoir si trois points A, B\text{A, B} et C\text{C} sont alignés dans un repère orthonormé.

from math import sqrt

def Distance(xA, yA, xB, yB):
	return sqrt((xA - xB)**2 + (yA - yB)**2)
  
def Alignement(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
	d1 = Distance(xA, yA, xB, yB)
  d2 = Distance(xB, yB, xC, yC)
  d3 = Distance(xA, yA, xC, yC)
  if d1 + d2 == d3:
  	return True
  else:
  	return False

1. Que fait la fonction Distance ?

2. Tester l’algorithme avec les points A(1;1),B(1;0)\mathrm{A}(-1\:;-1), \mathrm{B}(1\:; 0) et C(5;2).\mathrm{C}(5\:; 2).

3.On considère les points A(2;2),B(5;2)\mathrm{A}(2\:;2), \mathrm{B}(5\:; 2) et C(3;2).\mathrm{C}(3\:; 2).
a. Sont-ils alignés ?

b. Appliquer l’algorithme avec ces points : que renvoit- il ? Expliquer pourquoi.


48
[Raisonner.] ◉◉
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) on considère les trois points A(3;3),B(2;4)\text{A}(-3\:; 3), \text{B}(2\:; 4) et C(1;4).\mathrm{C}(1\:;-4).

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Conjecturer la nature du triangle ABC\text{ABC}.

3. Démontrer cette conjecture.


47
[Calculer.] ◉◉
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) d’unité 1 cm. On considère trois points du plan A(5;2),\mathrm{A}(-5\:; 2), B(4;1)\mathrm{B}(4\:;-1) et C(2;5).\mathrm{C}(-2\:; 5).

1. Placer les points A, B\text{A, B} et C\text{C} dans le repère (O ; I , J).(\text{O ; I , J}).

Lancer le module Geogebra
2. Calculer les distances AB, AC  \text{AB, AC }et BC\text{BC}.

3. En déduire la nature du triangle ABC\text{ABC}. Justifier.



59
[Chercher.] ◉◉
Dans le repère orthonormé ci-dessous, l’unité est le centimètre. On considère deux points fixes A\text{A} et B\text{B} dans ce repère.

Distance dans un repère orthonormé

1. Montrer que AB=72\mathrm{AB}=\sqrt{72}


2. Avec l'outil de dessin sur la figure, construire le cercle C\mathcal{C} de diamètre [AB].[\mathrm{AB}].

3. Placer deux points différents E\text{E} et F\text{F} sur C\mathcal{C} distincts de A\text{A} et B.\text{B.}

4. Montrer que les triangles ABE\text{ABE} et ABF\text{ABF} sont rectangles respectivement en E\text{E} et F.\text{F.}

62
PYTHON
[Modéliser.]
On considère le programme écrit en Python ci-après. On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; I , J).(\text{O ; I , J}).

def Fonction_mystere(xA, yA):
	xN = -1 * xA
  yN = yA
  return(xN, yN)

1. Tester le programme avec les points A1(4;3),A2(0;2)\mathrm{A}_{1}(4 ; 3), \mathrm{A}_{2}(0 ; 2) et A3(1;4)\mathrm{A}_{3}(-1 ;-4) et placer les points N1,N2\mathrm{N}_{1}, \mathrm{N}_{2} et N3\mathrm{N}_{3} correspondants dans un repère.

Lancer le module Geogebra
2. Quel est le rôle de ce programme ?

3. Calculer les distances OAi\mathrm{O} \mathrm{A}_{i} et ONi\mathrm{ON}_{i} pour i=1,i=2i = 1, i = 2 et i=3.i = 3. Quelle propriété vue au collège retrouve-t-on ?

4. Écrire un programme en Python qui caractérise la symétrie de centre O.\text{O}.


60
GEOGEBRA
[Raisonner.]
On considère la figure ci-dessous. P\text{P} est un point mobile sur (OE)\text {(OE)} et OPQR\text{OPQR} est un carré. Le but de l’exercice est de déterminer s’il existe une position du point P\text{P} telle que les points F, Q\text{F, Q} et E\text{E} soient alignés.

Distance dans un repère orthonormé

1. Sur GeoGebra, réaliser la construction.

Lancer le module Geogebra
2. Conjecturer s’il existe une position du point P\text{P} satisfaisant les contraintes.

3. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) en posant xp=4.x_{\mathrm{p}}=4.

4. Calculer les distances FQ, QE\text{FQ, QE} et FE.\text{FE.}

5. Conclure.

55
[Représenter.]
MAT2_CH5_p164_EX55

Les points suivants R, S \text{R, S }et T\text{T} sont-ils alignés ? Justifier.

54
[Calculer.] ◉◉
Soit (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) un repère orthonormé. Dans chacun des cas, déterminer si les points A , B \text{A , B } et C\text{C} sont alignés.

1. A(1;1),B(4;1) \mathrm{A}(1\:; 1), \mathrm{B}(4\:; 1) et C(4;5)\mathrm{C}(4\:; 5)

2. A(3;2),B(3;1) \mathrm{A}(3\:; 2), \mathrm{B}(-3\:; -1) et C(4;3)\mathrm{C}(4\:; 3)

3. A(6;1),B(4;0) \mathrm{A}(6\:; -1), \mathrm{B}(4\:; 0) et C(0;2)\mathrm{C}(0\:; 2)

61
[Chercher.]
La façade d’une maison que l’on souhaite peindre a été modélisée à l’aide du logiciel GeoGebra. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; U , V)(\text{O ; U , V}) non représenté.
Les quadrilatères FGHI, JKLM\text{FGHI, JKLM} et PQRS\text{PQRS} ne doivent pas être peints. La droite (EH)(\mathrm{EH}) est un axe de symétrie.

Distance dans un repère orthonormé

Déterminer l’aire de la surface à peindre de la façade avant.

50
[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}), on considère les points A(12;1),B(12;2),C(32;1)\mathrm{A}\left(\dfrac{-1}{2} ;-1\right), \mathrm{B}\left(\dfrac{1}{2} ; 2\right), \mathrm{C}\left(\dfrac{3}{2} ;-1\right) et D(12;4).\mathrm{D}\left(\dfrac{1}{2} ;-4\right).

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Conjecturer la nature du quadrilatère ABCD.\text{ABCD.}


3. Démontrer cette conjecture.


49
[Communiquer.]
Aïden souhaite réaliser un logo pour la gazette médicale de son quartier. Il propose la maquette suivante composée d’un coeur et d’une ligne brisée. Le plan est muni d’un repère (O ; A , J)(\text{O ; A , J}) orthonormé.

Distance dans un repère orthonormé

1. Dans le repère (O ; A , J)(\text{O ; A , J}), déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E, F\text{A, B, C, D, E, F} et G.\text{G.}

2. Pour être imprimée sans frais supplémentaires, la longueur de la ligne brisée ABCDEFG\text{ABCDEFG} doit être inférieure à 7 unités. Aïden doit-il prévoir un budget additionnel ?

52
[Calculer.]
Soit ABCD\text{ABCD} un carré de centre O.\text{O.} On considère les points E\text{E} et F,\text{F,} milieux respectifs de [DC][\mathrm{DC}] et [OB].[\mathrm{OB}].

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Lire les coordonnées de tous les points dans le repère (A ; B , D)(\text{A ; B , D})

3. Calculer EF, EA\text{EF, EA} et FA.\text{FA.}

4. En déduire la nature du triangle EFA.\text{EFA.}

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 34 ; 47 ; 54 et 65
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 40 ; 48 ; 59 ; 66 ; 76 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 43 ; 53 ; 69 ; 70 ; 75 et 80

53
GEOGEBRA
[Chercher.] ◉◉◉
Soit ABCD\text{ABCD} un rectangle. On considère un point M\text{M} à l’intérieur de ce rectangle. On cherche à énoncer une propriété sur le nombre q=MA2MB2+MC2MD2.q=\mathrm{MA}^{2}-\mathrm{MB}^{2}+\mathrm{MC}^{2}-\mathrm{MD}^{2}.

Distance dans un repère orthonormé

1. Ouvrir la fenêtre graphique de GeoGebra et refaire la figure.

Lancer le module Geogebra
2. Afficher la valeur de q.q.

3. Déplacer le point M\text{M} et faire une conjecture.

4. On considère deux points E\text{E} et F\text{F} du rectangle ABCD\text{ABCD} tels que AEFD\text{AEFD} soit un carré.
a. Placer les points E\text{E} et F.\text{F.}

b. Que peut-on dire du repère (A ; E , D)?(\text{A ; E , D})\: ?

c. Soit (a;b)(a\: ; b) les coordonnées du point M\text{M} dans le repère (A ; E , D)?(\text{A ; E , D})\: ? Exprimer MA , MB , MC\text{MA , MB , MC} et MD\text{MD} en fonction de aa et b.b . Conclure.

56
[Chercher.]
Une famille de touristes visite New-York et se trouve au niveau du point rouge indiqué. Dans le repère, une unité est égale à 180 mètres.

Distance dans un repère orthonormé

La famille souhaite se rendre à la salle de concert Carnegie Hall puis au musée d’art moderne en suivant les rues. En utilisant le repère et l’échelle indiquée, donner une estimation de la distance parcourue en mètres.


Central-park

51
[Chercher.]
Fabrice doit réaliser le logo ci-dessous. Il est composé d’un carré ABCD\text{ABCD} de centre O\text{O} et de trois triangles hachurés. La droite (OH)(\mathrm{OH}) est un axe de symétrie.

Distance dans un repère orthonormé

Calculer le rapport de l’aire de la partie hachurée sur l’aire de ABCD.\text{ABCD.}
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