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Entrainement 3


Configurations du plan





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 34 ; 47 ; 54 et 65
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 40 ; 48 ; 59 ; 66 ; 76 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 43 ; 53 ; 69 ; 70 ; 75 et 80

63
[Calculer.]
L’unité est le centimètre. On considère le triangle RST\text{RST} tel que RS=4,8\mathrm{RS}=4\text{,}8 cm, ST=5,2\mathrm{ST}=5\text{,}2 cm et RT=2 \mathrm{RT}=2 cm.
1. Démontrer que le triangle est rectangle en R.\text{R} .

2. Calculer alors la mesure de tous les angles de ce triangle.

64
[Calculer.]
On considère un triangle LMN\text{LMN} rectangle en N\text{N} tel que cos(MLN^)=0,6.\cos (\widehat{\mathrm{MLN}})=0\text{,}6.
1. Calculer la valeur exacte de sin(MLN^).\sin (\widehat{\mathrm{MLN}}).

2. Sachant que LM=\text{LM} = 10 cm, calculer la longueur des autres côtés du triangle. Arrondir au dixième.

65
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉
Soit (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) un repère orthonormé du plan.
On donne les points A(2;1)\mathrm{A}(-2\:; 1) et B(4;3).\mathrm{B}(4\:; 3).
1. Calculer les coordonnées de K,\text{K}, milieu de [AB].[\mathrm{AB}].

2. Faire une figure et construire le cercle C\mathcal{C} de diamètre [AB].[\mathrm{AB}].

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3. Soit M(a;b)\text{M}(a\,;b) un point du cercle C\mathcal{C} distinct de A\text{A} et B.\text{B}.
a. Conjecturer la nature du triangle AMB.\text{AMB}.

b. Montrer que AB=2KM.\mathrm{AB}=2 \mathrm{KM}.

c. Exprimer AM2\mathrm{AM}^{2} et BM2\mathrm{BM}^{2} en fonction de aa et b.b .

d. Prouver la conjecture.

66
[Raisonner.] ◉◉
A\text{A} et B\text{B} sont deux points du plan et C\mathcal{C} est le cercle de diamètre [AB][\mathrm{AB}] et de centre O.\text{O}. Le triangle ABC\text{ABC} est tel que [AC][\mathrm{AC}] coupe C\mathcal{C} en I.\text{I.}
On note J\text{J} le symétrique de I\text{I} par rapport au centre O.\text{O}.

1. Faire une figure.

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2. Conjecturer la nature du quadrilatère AIBJ.\text{AIBJ}.

3. Démontrer la conjecture.

67
[Raisonner.]
On considère deux cercles C1\mathcal{C}_1 et C2\mathcal{C}_2 de rayons différents sécants en deux points A\text{A} et B.\text{B}.
Les points M\text{M} et N\text{N} sont tels que [AM][\mathrm{AM}] et [AN][\mathrm{AN}] soient des diamètres respectifs de C1\mathcal{C}_1 et C2.\mathcal{C}_2.

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Démontrer que les points M, B\text{M, B} et N\text{N} sont alignés.

68
[Chercher.]
On considère la figure ci-dessous composée d’un triangle ABC\text{ABC} et de trois demi-cercles de diamètre [AC],[AB][\mathrm{AC}], [\mathrm{AB}] et [BC].[\mathrm{BC}].
On pose a=ABa=\mathrm{AB} et b=AC.b=\mathrm{AC}.

Configurations du plan

On admet que ABC\text{ABC} est un rectangle en A.\text{A}.
1. Déterminer l’aire des deux lunules oranges.

2. Comparer cette aire avec celle du triangle ABC.\text{ABC}.


69
[Représenter.] ◉◉◉
On considère un carré EFGH\text{EFGH} inscrit dans un cercle C\mathcal{C} qui est lui-même inscrit dans un carré ABCD.\text{ABCD}.

Configurations du plan

Déterminer la proportion de la surface bleue par rapport à l’aire totale du carré ABCD.\text{ABCD}.


Aide
On pourra introduire un repère orthonormé.

70
PYTHON
[Chercher.] ◉◉◉
On considère la figure ci-après et un programme correspondant écrit en Python où nn est un entier naturel non nul. On donne OM1=\mathrm{OM}_{1}= 1 unité.

Configurations du plan


from math import sqrt
def Escargot(n):
	a = 1
  b = 1
  i = 1
  while i < n:
  	c = sqrt(a**2 + b**2)
    a = c
    i = i + 1
  return(c)

1. Montrer que OM2=2\mathrm{OM}_{2}=\sqrt{2}

2. Calculer la valeur exacte de OM5.\mathrm{OM}_{5}.

3. Conjecturer la valeur de OMi\mathrm{OM}_{i}ii est un entier naturel non nul.

4. Tester le programme pour n=3n = 3 en résumant chaque étape.

5. Déterminer le rôle de ce programme.

6. Le nombre 1+52,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, noté φ,\varphi, est appelé le nombre d’or.
a. Placer sur [OM1)\left[\mathrm{OM}_{1}\right) le point A\text{A} tel que M1A=OM5.\mathrm{M}_{1} \mathrm{A}=\mathrm{OM}_{5}.

b. En déduire la position du point B\text{B} sur [OM1)\left[\mathrm{OM}_{1}\right) tel que OB=φ.\mathrm{OB}=\varphi.


71
GEOGEBRA
[Raisonner.]
On considère la figure suivante composée d’un quadrilatère ABCD\text{ABCD} quelconque. On note I, J, K\text{I, J, K} et L\text{L} les milieux respectifs de [CD],[BC],[AB][\mathrm{CD}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{AB}] et [AD].\text{[AD].}
Configurations du plan

1. Sur la fenêtre graphique de GeoGebra, réaliser la figure.

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2. Construire le quadrilatère IJKL\text{IJKL} et conjecturer sa nature.

3. a. Montrer que les droites (IJ)(\mathrm{IJ}) et (BD)(\mathrm{BD}) sont parallèles.

b. Montrer que les droites (LK)(\mathrm{L} \mathrm{K}) et (BD)(\mathrm{BD}) sont parallèles.

c. Que peut-on en déduire ?

4. Montrer que les droites (IL)(\mathrm{I} \mathrm{L}) et (KJ)(\mathrm{KJ}) sont parallèles.

5. Conclure.

Remarque

Cet exercice démontre le théorème de Varignon. Voir aussi l’exercice transversal n°14 p. 326.
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